Nombres premiers

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Ch.3 Nombres premiers
I- Objectifs du chapitre
Notion de nombre premier
D´ecomposition d’un nombre premier en produit de facteurs premiers
II- Cours
1) Nombre premier
Un nombre premier est un nombre qui poss`ede exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-
mˆeme
D´efinition 1 (Nombre premier)
Remarque : (Cas particulier : le nombre 1 )
D’apr`es la d´efinition, 1 n’est pas premier.
Si un nombre nadmet des diviseurs, alors il existe un nombre premier pdiviseur de ntel que
p < √n.
Propri´et´e 2 (Diviseurs premiers d’un nombre)
Pour prouver qu’un nombre nn’est pas premier (admet des diviseurs), on peut tester les nombres
premiers jusqu’`a √nseulement.
M´ethode 3 (Montrer qu’un nombre n’est pas premier)
2) D´ecomposition en facteurs premiers
Soit un nombre entier n, et p1, p2,...,pkles nombres premiers inf´erieurs `a n.
Alors il existe α1, α2,...,αkdes entiers (´eventuellement nuls) tels que ns’´ecrit de mani`ere unique
comme le produit :
n=pα1
1×pα12 2× ··· × pαk
k
Propri´et´e 4 (D´ecomposition)
Exemple : (D´ecompositions)
Ex 14 p 64
Remarque : (Notation simplifi´ee)
n=
k
Y
i=1
pαi
i

3) Application aux pgcd et au ppcm
Soient deux nombre aet bdont les d´ecompositions sont
a=
k
Y
i=1
pαi
ib=
k
Y
i=1
pβi
i
Alors on a :
pgcd(a;b) =
k
Y
i=1
pγi
i
o`u pour tout 1 ≤i≤k,γiest le minimum des deux nombres αiet βi.
Propri´et´e 5 (pgcd)
Remarque : (ppcm)
De la mˆeme mani`ere on a
ppcm(a;b) =
k
Y
i=1
pξi
i
o`u pour tout 1≤i≤k,ξiest le maximum des deux nombres αiet βi.
III- Exercices r´esolus
Ex N°18, 31 p 65, 37 p 66
IV- Enjeux des nombres premiers
1) Cryptographie : Le syst`eme RSA
Act 46 p 74
2) Histoire : Infinitude, r´epartition, nombres particuliers, etc.
•Il y a une infinit´e de nombres premiers : act 44 p 70, Partie 1
•plus grand intervalle sans nombres premiers : act 44 p 70, Partie 2
•Graphe de r´epartition
•Nombres de Fermat : act 46 p 74, Partie 1
•Nombres de Mersenne : act 46 p 74, Partie 2
•Autres formules g´en´erant des nombres premiers