Nombres premiers

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I-
Ch.3 Nombres premiers
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Objectifs du chapitre
Notion de nombre premier
Décomposition d’un nombre premier en produit de facteurs premiers
II1)
Cours
Nombre premier
Définition 1 (Nombre premier)
Un nombre premier est un nombre qui possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et luimême
Remarque : (Cas particulier : le nombre 1 )
D’après la définition, 1 n’est pas premier.
Propriété 2 (Diviseurs premiers d’un nombre)
Si un√nombre n admet des diviseurs, alors il existe un nombre premier p diviseur de n tel que
p < n.
Méthode 3 (Montrer qu’un nombre n’est pas premier)
Pour prouver qu’un
√ nombre n n’est pas premier (admet des diviseurs), on peut tester les nombres
premiers jusqu’à n seulement.
2)
Décomposition en facteurs premiers
Propriété 4 (Décomposition)
Soit un nombre entier n, et p1 , p2 , . . . , pk les nombres premiers inférieurs à n.
Alors il existe α1 , α2 , . . . , αk des entiers (éventuellement nuls) tels que n s’écrit de manière unique
comme le produit :
n = pα1 1 × pα2 1 2 × · · · × pαk k
Exemple : (Décompositions)
Ex 14 p 64
Remarque : (Notation simplifiée)
n=
k
Y
i=1
pαi i
3)
Application aux pgcd et au ppcm
Propriété 5 (pgcd)
Soient deux nombre a et b dont les décompositions sont
a=
k
Y
pαi i
b=
k
Y
pβi i
i=1
i=1
Alors on a :
pgcd(a; b) =
k
Y
pγi i
i=1
où pour tout 1 ≤ i ≤ k, γi est le minimum des deux nombres αi et βi .
Remarque : (ppcm)
De la même manière on a
ppcm(a; b) =
k
Y
pξi i
i=1
où pour tout 1 ≤ i ≤ k, ξi est le maximum des deux nombres αi et βi .
III-
Exercices résolus
Ex N° 18, 31 p 65, 37 p 66
IV1)
Enjeux des nombres premiers
Cryptographie : Le système RSA
Act 46 p 74
2)
Histoire : Infinitude, répartition, nombres particuliers, etc.
• Il y a une infinité de nombres premiers : act 44 p 70, Partie 1
• plus grand intervalle sans nombres premiers : act 44 p 70, Partie 2
• Graphe de répartition
• Nombres de Fermat : act 46 p 74, Partie 1
• Nombres de Mersenne : act 46 p 74, Partie 2
• Autres formules générant des nombres premiers