☛ ✡ I- Ch.3 Nombres premiers ✟ ✠ Objectifs du chapitre Notion de nombre premier Décomposition d’un nombre premier en produit de facteurs premiers II1) Cours Nombre premier Définition 1 (Nombre premier) Un nombre premier est un nombre qui possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et luimême Remarque : (Cas particulier : le nombre 1 ) D’après la définition, 1 n’est pas premier. Propriété 2 (Diviseurs premiers d’un nombre) Si un√nombre n admet des diviseurs, alors il existe un nombre premier p diviseur de n tel que p < n. Méthode 3 (Montrer qu’un nombre n’est pas premier) Pour prouver qu’un √ nombre n n’est pas premier (admet des diviseurs), on peut tester les nombres premiers jusqu’à n seulement. 2) Décomposition en facteurs premiers Propriété 4 (Décomposition) Soit un nombre entier n, et p1 , p2 , . . . , pk les nombres premiers inférieurs à n. Alors il existe α1 , α2 , . . . , αk des entiers (éventuellement nuls) tels que n s’écrit de manière unique comme le produit : n = pα1 1 × pα2 1 2 × · · · × pαk k Exemple : (Décompositions) Ex 14 p 64 Remarque : (Notation simplifiée) n= k Y i=1 pαi i 3) Application aux pgcd et au ppcm Propriété 5 (pgcd) Soient deux nombre a et b dont les décompositions sont a= k Y pαi i b= k Y pβi i i=1 i=1 Alors on a : pgcd(a; b) = k Y pγi i i=1 où pour tout 1 ≤ i ≤ k, γi est le minimum des deux nombres αi et βi . Remarque : (ppcm) De la même manière on a ppcm(a; b) = k Y pξi i i=1 où pour tout 1 ≤ i ≤ k, ξi est le maximum des deux nombres αi et βi . III- Exercices résolus Ex N° 18, 31 p 65, 37 p 66 IV1) Enjeux des nombres premiers Cryptographie : Le système RSA Act 46 p 74 2) Histoire : Infinitude, répartition, nombres particuliers, etc. • Il y a une infinité de nombres premiers : act 44 p 70, Partie 1 • plus grand intervalle sans nombres premiers : act 44 p 70, Partie 2 • Graphe de répartition • Nombres de Fermat : act 46 p 74, Partie 1 • Nombres de Mersenne : act 46 p 74, Partie 2 • Autres formules générant des nombres premiers