Pour chacune des questions, quatre propositions de réponse sont

E XERCICE 1
Pour chacune des questions, quatre propositions de réponse sont données dont
une seule est exacte. Pour chacune des questions indiquer, en justifiant, la bonne
réponse sur la copie. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse ou
l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Il en est de même dans le
cas où plusieurs réponses sont données pour une même question.
L’espace est rapporté à un repère orthonormal. t et t 0 désignent des paramètres
réels.
Le plan (P) a pour équation x − 2y + 3z + 5 = 0.

0
 x = −2 + t + 2t
0
y = −t − 2t
Le plan (S) a pour représentation paramétrique

z = −1 − t + 3t 0

 x = −2 + t
y = −t
La droite (D) a pour représentation paramétrique

z = −1 − t
On donne les points de l’espace M(−1 ; 2 ; 3) et N(1 ; −2 ; 9).
1. Une représentation paramétrique du plan (P) est :
a.
2.

 x
y

z
=
=
=
t
1 − 2t
−1 + 3t
b.

 x
y

z
=
=
=
t + 2t 0
1− t + t0
−1 − t
c.

 x
y

z
=
=
=
t + t0
1 − t − 2t 0
1 − t − 3t 0
d.

 x
y

z
=
=
=
1 + 2t + t 0
1 − 2t + 2t 0
−1 − t 0
a. La droite (D) et le plan (P) sont sécants au point A(−8 ; 3 ; 2).
b. La droite (D) et le plan (P) sont perpendiculaires.
c. La droite (D) est une droite du plan (P).
d. La droite (D) et le plan (P) sont strictement parallèles.
3.
a. La droite (MN) et la droite (D) sont orthogonales.
b. La droite (MN) et la droite (D) sont parallèles.
c. La droite (MN) et la droite (D) sont sécantes.
d. La droite (MN) et la droite (D) sont confondues.
4.
a. Les plans (P) et (S) sont parallèles.

 x
y
b. La droite (∆) de représentation paramétrique

z
droite d’intersection des plans (P) et (S).
=
=
=
c. Le point M appartient à l’intersection des plans (P) et (S).
d. Les plans (P) et (S) sont perpendiculaires.
1
t
−2 − t
−3 − t
est la
E XERCICE 2
³ →
− →
−´
On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct O, u , v .
1. Un triangle
p
a. On considère
les points A, B et C d’affixes respectives a = 2, b = 3 + i 3
p
et c = 2i 3.
.
Déterminer une mesure de l’angle ABC
b. En déduire que
p l’affixe ω du centre Ω du cercle circonscrit au triangle
ABC est 1 + i 3.
2. Une transformation du plan
On note (z n ) la suite de nombres complexes, de terme initiale zO = 0, et telle
que :
p
1+i 3
z n + 2, pour tout entier naturel n.
z n+1 =
2
Pour tout entier naturel n, on note A n le point d’affixe z n .
a. Montrer que les points A 2 , A 3 et A 4 ont pour affixes respectives :
p
3 + i 3,
p
p
2 + 2i 3 et 2i 3
On remarquera que : A 1 = A, A 2 = B et A 4 = C .
b. Comparer les longueurs des segments [A 1 A 2 ], [A 2 A 3 ] et [A 3 A 4 ].
c. Etablir que pour tout entier naturel n, on a :
p
1+i 3
z n+1 − ω =
(z n − ω),
2
où ω désigne le nombre complexe défini à la question 1. b.
d. En déduire que le triangle ΩA n A n+1 est équilatéral..
e. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : A n+6 = A n . Déterminer
l’affixe du point A 2014 .
3. Pour tout entier naturel n, on note a n la longueur A n A n+1 et L n la somme
n
X
ak .
k=0
L n est ainsi la longueur de la ligne polygonale A 0 A 1 · · · A n A n+1 .
Déterminer la limite de L n quand n tend vers +∞.
2