correction (deuxième partie)
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s
é
g
i
r
r
o
C
e
3
L - Les fonctions
Savoir L.1 : Interprétation d'un graphique *
Savoir L.2 : Interprétation et comparaison de plusieurs graphiques *
Savoir L.3 : Antécédent et image à partir d'un graphique *
Savoir L.4 : Graphiques, intersections et appartenance *
Co
rri
gé
s
Savoir L.5 : Construire la représentation graphique d'une fonction à partir d'un
tableau de valeur
Savoir L.6 : Calculer l'image d'un nombre à partir de l'expression littérale d'une
fonction
Savoir L.7 : Construire la représentation graphique d'une fonction affine
Savoir L.8 : Antécédent et image à partir d'un tableau de valeurs
Savoir L.9 : Reconnaître si un point appartient à une courbe
Savoir L.10 : Antécédent et image à partir de la notation f(x) = y
Savoir L.11 : Coefficient directeur et ordonnée à l'origine *
2013 - 2014
M - Définitions et constructions
M - Définitions et constructions
Savoir M.1 : Configuration de Thalès et fractions associées
M.1.1
Seule les deux premières configurations M.1.2
sont des configurations de Thalès. La
troisième ne l'est pas car les points F, H
et J ne sont pas alignés.
Seule les deux dernières configurations
sont des configurations de Thalès. La
première ne l'est pas car les points P, N
et G ne sont pas alignés.
Les trois fractions correspondantes sont:
Les trois fractions correspondantes sont:
Configuration 1:
KL
KO
LO
=
=
KM
KN
MN
Configuration 2:
BH
BL
HL
=
=
BK
BE
KE
Configuration 2:
DB
DA
BA
=
=
DC
DE
CE
Configuration 3:
MI
IJ
MJ
=
=
DI
IC
DC
Savoir M.2 : Vocabulaire & Triangle rectangle
M.2.1
a) Le côté adjacent à l’angle
A est [AB].
est [AB].
b) Le côté opposé à l’angle C
c) Le côté opposé à l’angle
HFG est [GH].
est : [HE] dans EFH et [EF] dans EFG.
d) Le côté adjacent à l’angle E
et le côté
e) Dans le triangle rectangle EFG, le côté [FG] est le côté opposé à l'angle E
. Dans le triangle rectangle EFG, c'est l'hypoténuse.
adjacent à l'angle G
f) [AC] est l'hypoténuse du triangle rectangle ABC, [GF] celle de FGH, [GE] celle EFG et
[FE] celle de FHE.
M.2.2
a) Le côté adjacent à l’angle F est [FH].
est [FH].
b) Le côté opposé à l’angle G
est [AB] dans ABC.
c) Le côté opposé à C
d) Le côté adjacent à l’angle
A dans le triangle rectangle AED est [AE] et dans le triangle
ABC, c'est [AB].
e) Dans le triangle ABC, le côté [BC] est le côté opposé à l'angle
A et le côté adjacent à
.
l'angle C
f) [AD] est l'hypoténuse du triangle rectangle AED, [AC] celle de ABC et [GF] celle de FGH.
– Page 2 –
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Savoir M.3 : Définition des coefficients trigonométriques
M.3.1
M.3.2
AB
cos (
A)=
AC
BC
sin (
A)=
AC
BC
tan (
A)=
AB
) = GH = GF
cos ( G
GF
EG
) = HF = EF
sin ( G
GF
EG
) = HF = EF
tan ( G
HG
GF
AE
AB
cos (
=
A)=
AD
AC
ED
BC
sin (
=
A)=
AD
AC
ED
BC
tan (
=
A)=
AE
AB
)=
cos ( G
GH
GF
)=
sin ( G
HF
FG
)=
tan ( G
HF
HG
Savoir M.4 : Polygones réguliers
M.4.1
M.4.2
A
4 cm
3 cm
A
O
O
360 ÷ 6 = 60°
360 ÷ 9 = 40°
Savoir M.5 : Inégalité, intervalle et droite graduée *
M.5.1
Encadrement
Intervalle
−2x3
]– 2 ;3]
3x5
[3 ;5[
−8x−2 [– 8 ;– 2]
£<0
]– ∞ ;0]
Représentation
graphique
–2
3
3
5
–8
–2
M.5.2
0
– Page 3 –
Encadrement
Intervalle
x10
[10; + ∞[
x≥−2
]–2; + ∞[
x−1
]– ∞ ; – 1]
3x7
]3;7[
Représentation
graphique
10
–2
–1
3
7
N - Espace
N - Espace
Savoir N.1 : Les surfaces en 6e, 5e et 4e
2×π×8
a)
8c
m
Aire du rectangle :
35 cm
2 × π × 8 × 35
Aire des deux disques :
35 cm
2 × (π × 82)
16 cm
L'aire de la surface du cylindre est donc égale à :
A = 2 × ( π × 8 ) + 2 × π × 8 × 35
A = 128 π + 560 π = 688 π cm² ≈ 2 161 cm²
2
b)
A = 6 × 5 = 6 × 25 = 150 cm
2
5 cm
2
Savoir N.2 : Les volumes en 6e, 5e et 4e
a)
b)
17 cm
7 cm
20 cm
12 cm
11 cm
Hauteur
V
1
= 3 ×7×17×12 = 476 cm3
Base
V
Hauteur
= π × (11÷2) × 20
Base
V = π × 1214
– Page 4 –
2
× 20 = 605 π cm3 ≈1 901 cm3
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Savoir N.3 : Surface d'une sphère
a)
b)
17 cm
A = 4 π × (17/2)
A = 4 π × 2894 = 289 π
12 cm
A = 4 π × (12)
A = 4 π × 144 = 576 π cm
2
2
2
cm2
≈ 1 810 cm²
≈ 908 cm²
Savoir N.4 : Volume d'une sphère
a)
a)
16 cm
V=
V=
7 cm
4
3
3 × π × (16/2)
4
4096
2048
3
×
π
×
=
3
8
3 × π cm
≈2 145 cm3
V=
4
3
3 ×π×7
V=
4
1372
×
π
×
343
=
3
3
π
cm3 ≈1 437 cm3
Savoir N.5 : Sections & Solides
a) la section d'une pyramide à base
carrée par un plan parallèle à sa base
est une réduction de sa base, donc un
carré.
– Page 5 –
b) la section d'un cube par
un plan parallèle à l'une de
ses faces est un carré de
même dimension que cette
face.
N - Espace
c) La section d'un cylindre par un plan
parallèle à sa base est un cercle de même rayon
que cette base.
La section d'un cylindre par un plan perpendiculaire
à sa base est un rectangle dont l'une des dimensions
varie suivant la position du plan par rapport à ce
cylindre.
Savoir N.6 : Agrandissement et réduction
1)
O
1. a) Le coefficient de réduction qui permet de passer
du grand cône au plus petit est donné par la fraction
SO '
3
=
SO
7
M
10 cm
7 cm
O'
b)
V
petit cône
=
V
grand cône
× (3/7)3
= 343 × (3/7)3
27
= 343 ×
= 27 cm3
343
3 cm
S
2)
1. a) Le coefficient d'agrandissement qui permet de passer de la petite pyramide à la plus grande est donné
SH
10
5
S
par la fraction
=
=
SH '
6
3
SH' = 5,1 cm
c)
V
grande pyramide
=
V
petite pyramide
6c
5
5
= 5,1 ×
= 8,5 cm
3
3
D'
10
cm
SH = SH' ×
m
b) La hauteur SH de la plus grande pyramide est:
A'
× (5/3)3
= 63 × (5/3)
125
875
= 63 ×
=
cm3
27
3
3
– Page 6 –
B'
D
A
C'
H'
C
H
B
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O - Déterminer une longueur ou un angle
Savoir O.1 : Avec le théorème de Pythagore – Niveau 1
O.1.1 Le triangle MAP est rectangle en P. Je peux donc appliquer le théorème de Pythagore :
MA2 = MP2 + PA2
Valeur exacte :
MA =
MA2 = 92 + 52
MA2 = 81 + 25
MA2 = 106
106 cm
Valeur approchée au millimètre : MA ≈ 10,3 cm
TEX est un triangle rectangle en T.
Je peux donc utiliser le théorème de Pythagore :
XE2 = XT2 + TE2
132 = 52 + TE2
TE2 = 169 – 25 = 144
169 = 25 + TE2
donc
d'où TE = 12 cm
Je ne sais pas si le triangle HOU est rectangle, donc je ne peux pas calculer la longueur HU.
O.1.2
Je ne sais pas si le triangle PAX est rectangle, donc je ne peux pas calculer la longueur PA.
Le triangle MOT est rectangle en O donc je peux donc appliquer le théorème de Pythagore :
MT2 = MO2 + OT2
52 = 22 + OT2
25 = 4 + OT2 donc OT2 = 21
d'où
OT =
21 cm
OT ≈ 4,6 cm
Comme les droites (RI) et (IU) sont perpendiculaires, le triangle RIU est un triangle rectangle
en I donc je peux utiliser le théorème de Pythagore :
RU2 = 72 + 82
donc
RU =
RU2 = 49 + 64
113 cm
RU2 = RI2 + IU2
RU2 = 113
RU ≈ 10,6 cm
Savoir O.2 : Avec le théorème de Pythagore – Niveau 2
O.2.1
Le triangle APS est rectangle en P.
P
D’après le théorème de Pythagore, on a donc :
5c
AS2 = AP2 + PS2
m
102 = 52 + PS2
(car AS = AT + TS = 7 + 3 = 10 cm)
100 = 25 + PS2
S
3 cm
T
7 cm
A
PS2 = 100 – 25 = 75
PS =
75 cm (valeur exacte)
PS ≈ 8,7 cm (valeur approchée)
– Page 7 –
O - Déterminer une longueur ou un angle
A
Le triangle ADB est rectangle
en D donc je peux utiliser le
théorème de Pythagore :
6 cm
O.2.2
J
B
D
cm
10
C
AB2 = AD2 + DB2
AB2 = 62 + 62
AB2 = 36 + 36 = 72
AB = 72 cm valeur exacte
AB ≈ 8,5 cm valeur approchée
Le triangle JBC est rectangle en B
donc je peux utiliser le théorème de
Pythagore : JC2 = JB2 + BC2
Comme J est le milieu de [DB], on
a JB = DB ÷ 2 = 3 cm
102 = 32 + BC2
100 = 9 + BC2
BC2 = 100 – 9 = 91
BC = 91 cm valeur exacte
BC ≈ 9,5 cm valeur approchée
Savoir O.3 : Calculer une longueur à l'aide de Thalès – Niveau 1
O.3.1
Les droites (FH) et (ED) sont sécantes en G et les
droites (EF) et (HD) sont parallèles.
Je peux donc utiliser le théorème de Thalès, les
côtés des triangles EFG et GDH ont des longueurs
proportionnelles :
F
6 cm
E
G
D
15 cm
5,8 cm
c
7,3
m
H
Calcul de EF :
6×7,3
EF =
= 2,92 cm valeur exacte
15
EF ≈ 2,9 cm valeur approchée
O.3.2
m
3c
2,5
cm
T
4 cm
5 cm
GF
EF
GD
GH
DH
Ce qui
donne
5,8
6
EF
GD
15
7,3
Calcul de GD :
15×5,8
GD =
= 14,5 cm valeur exacte
6
Les droites (ST) et (UV) sont sécantes en R et les
droites (US) et (VT) sont parallèles.
Je peux donc utiliser le théorème de Thalès, les
côtés des triangles RSU et RTV ont des longueurs
proportionnelles :
R
S
EG
U
V
RS
RU
SU
RT
RV
TV
Ce qui
donne
RS
2,5
4
3
RV
5
Calcul de RS :
3×4
RS =
= 2,4 cm valeur exacte
5
Calcul de RV :
2,5×5
RV =
= 3,125 cm valeur exacte
4
RV ≈ 3,1 cm valeur approchée
– Page 8 –
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Savoir O.4 : Calculer une longueur à l'aide de Thalès – Niveau 2
O.4.1
D 2,12 m C
1,59 m
A
3,18 m
3m
E
1,06 m F
1) les droites (EF) et (DD’) sont parallèles donc je
peux donc utiliser le théorème de Thalès:
D'
AF AE EF
1,06 AE 1,59
=
=
=
=
d'où
AD ' AD DD '
AD '
3
3,18
comme DD'BC est un rectangle, on a DD'=BC
Calcul de AD' : AD' =
B
Calcul de AE : AE =
suite de la correction sur la page suivante
1,06×3,18
= 2,12 m
1,59
3×1,59
= 1,5 m
3,18
2) FB = FD' + D'B
comme DD'BC est un rectangle, on a D'B=DC
et FD' = AD' – AF
FB = AD' – AF + DC
FB = 2,12 – 1,06 + 2,12
FB = 3,18 m
8 cm
car CG = FC – FG = 10 – 2 = 8
GB =
8×6
= 4,8 cm
10
cm
G
D
2
cm
Calcul de BG:
Comme les droites (BG) et (AF) sont
parallèles, je peux utiliser le théorème
de Thalès:
C
6 cm
G est un point du segment [FC] situé à
2 cm de F
donc FG = 2 cm
CB CG BG
=
=
CA CF AF
CB 10 – 2 BG
=
=
d'où
8
10
6
B
A
10
Comme ACEF est un rectangle, on a:
AC = EF = 8 cm et CE = AF = 6 cm
6 cm
O.4.2
F
8 cm
E
Calcul de AB:
AB = AC – BC
Or, en utilisant les rapports écrits ci dessus, on a :
8×8
BC =
= 6,4 cm
10
Donc : AB = 8 – 6,4 = 1,6 cm
– Page 9 –
O - Déterminer une longueur ou un angle
Savoir O.5 : Calculer une longueur à l'aide de la trigonométrie – Niveau 1
O.5.1
ABD est un triangle rectangle en D, donc je peux
utiliser les formules trigonométriques :
5
(3
n
Si
AD
7
ce qui donne : Sin (35°) =
AB
AB
7
D'où : AB =
cm valeur exacte
sin 35 °
AB ≈ 12,2 cm
valeur approchée
7 cm
Calcul de AB:
°)
Calcul de DB:
D
A
Sin(
ABD ) =
AD
7
Tan(
ce qui donne Tan (35°) =
ABD )=
DB
DB
7
D'où : DB =
cm valeur exacte
tan 35°
DB ≈ 10 cm
valeur approchée
Ta
n
(3
35°
B
5°
)
utiliser les formules trigonométriques :
A
Calcul de AC:
AC
AC
sin
AFC=
ce qui donne :Sin(65°) =
10
CF
sin
65×10
D'où : AC =
valeur exacte
AC ≈ 9,1 cm valeur approchée
65°
c
10
Calcul de AF:
AF
AF
cos
AFC =
ce qui donne :Cos(65°) =
10
CF
D'où : AF = cos 65×10 valeur exacte
AF ≈ 4,2 cm valeur approchée
Sin
F
°)
Cos ( 65
O.5.2 ACF est un triangle rectangle en A, donc je peux
m
C
( 65
°)
Savoir O.6 : Calculer une longueur à l'aide de la trigonométrie – Niveau 2
O.6.1
ARP est un triangle rectangle en R, donc, donc je peux utiliser les formules trigonométriques :
8
AR
8
P)=
Tan (
⇒
Tan
(70°)
=
⇒
RP
=
tan 70 ° ≈ 2,9 cm
RP
RP
Donc on obtient :
MR = MP − RP = 13,5−
8
cm
tan 70°
MR ≈ 13,5 cm − 2,9 cm ≈ 10,6 cm
O.6.2
Calcul de UY :
AUY est un triangle rectangle en U, donc je peux utiliser les formules trigonométriques :
tan 60° UY
UY
=
Tan
⇒
⇒
UY = 5 × Tan(60°) ≈ 8,7 cm
A = AU
1
5
– Page 10 –
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Calcul de LY :
Dans le triangle AUY, la somme des angles est égale à 180°, donc :
−
A = 180° − 90° − 60° = 30°
Y = 180 − U
LKY est un triangle rectangle en K, donc je peux utiliser les formules trigonométriques :
cos 30°
4
cos ( Y ) = YK
⇒
= 4
⇒
LY =
cm ≈ 4,6 cm
1
cos 30°
LY
YL
Savoir O.7 : Déterminer un angle à l'aide de la trigonométrie – Niveau 1
T)
Comme le triangle RST est rectangle en T, je peux
utiliser les formules trigonométriques.
Je connais la longueur du côté adjacent à l’angle
RST et celle de son côté opposé, donc je vais
RT
utiliser la tangente : tan (
RST ) =
TS
6
tan (
RST ) = 10
RST = tan- 1 6 ≈ 31°
J'en déduis :
10
)
O.7.1
Le triangle DEF n'est pas un triangle rectangle, je ne
peux donc pas utiliser les formules de trigonométrie.
6 cm
R
n(
Ta
T
S
10 cm
Si
n
(H
RS
G
7 cm
Dans le triangle GHI rectangle en I, je peux utiliser
les formules trigonométriques.
Comme je connais la longueur de l’hypoténuse et
, donc je vais
celle du côté opposé à l’angle H
) = GI
utiliser le sinus :
sin ( H
GH
)= 7
sin ( H
12
–1 7
= sin ≈ 36°
J'en déduis : H
12
I
m
12 c
H
C
5c
B
m
3 cm
A
Sin ( BCA)
O.7.2
Dans le triangle DEF rectangle en F, je peux
utiliser les formules trigonométriques. Je connais la
longueur de l’hypoténuse et celle du côté adjacent à
, donc je vais utiliser le cosinus :
l’angle D
) = DF
cos ( D
DE
) = 10
cos( D
25
= cos – 1 10 ≈ 66°
J'en déduis : D
25
Dans le triangle ABC rectangle en B, je peux
– Page 11 –
O - Déterminer une longueur ou un angle
F
D
m
25 c
)
cm
Cos
(D
10
E
utiliser les formules trigonométriques. Je connais la
longueur de l’hypoténuse et celle du côté opposé à
, donc je vais utiliser le sinus :
l’angle C
) = AB
sin ( C
AC
)= 3
≈ 37°
sin ( C
J'en déduis : C
5
Le triangle IGH n’est pas un triangle rectangle, je
ne peux pas utiliser les formules trigonométriques,
.
donc je ne peux pas calculer l'angle H
Savoir O.8 : Déterminer un angle à l'aide de la trigonométrie – Niveau 2
O.8.1
Comme le triangle IJM est rectangle en J, on a :
On a donc :
JIM = sin– 1 (0,5) ≈ 30°
Comme le triangle JKL est rectangle en L, on a :
On a donc :
JKL = cos– 1
JM
3
sin (
=
= 0,5
JIM ) =
IM
6
JKL ) = LK = 12
cos (
13
JK
12
≈ 23°
13
JM
3
Comme le triangle JML est rectangle en M, on a : tan (
=
= 0,75
JLM ) =
ML
4
On a donc :
JLM = tan– 1 (0,75) ≈ 37°
O.8.2
M est le milieu de [DC] donc : DM = MC = DC ÷ 2 = 8 ÷ 2 = 4 cm
Les diagonales d’un rectangle se coupent en leur milieu, donc : DO = DB ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5 cm
Comme le triangle MDO est rectangle, on a :
DM
cos (
Þ cos (
CDO ) =
CDO ) = 4
DO
5
4
= cos– 1
On a donc :
( valeur exacte )
CDO
5
CDO ≈ 37° ( valeur approchée au degré près )
Comme ABCD est un rectangle, alors le triangle DAC est rectangle et on a :
) = DC = 8
sin ( DAC
AC
10
8
On a donc :
≈ 53°
DAC = sin– 1
10
Comme le triangle MOC est rectangle, on a :
On a donc :
4
MC
MOC ) =
tan (
=
3
MO
4
≈ 53°
MOC = tan– 1
3
Savoir O.9 : Angles inscrits et angles au centre
O.9.1
Puisque les angles
CAB et
BOC interceptent le même arc de cercle, on peut utiliser le
– Page 12 –
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théorème de l’angle au centre :
BOC = 2 ×
CAB = 46°
Puisque les angles
EFD et
DPE interceptent le même arc de cercle, on peut utiliser le
1
théorème de l’angle au centre :
×
EFD =
DPE = 29°
2
O.9.2
Puisque les angles
RKL et
LMR interceptent le même arc de cercle, on peut utiliser le
théorème de l’angle au centre :
RKL = 2 ×
LMR = 148°
Puisque les angles
SLR et
RKS interceptent le même arc de cercle, on peut utiliser le
SLR = 1 ×
SLR = 23°
théorème de l’angle au centre :
2
P - Caractériser un point
Q - Caractériser une droite ou un segment
Savoir Q.1 : Droites parallèles & Thalès – Niveau 1
Q.1.1
a) [GM] et [HL] sont sécants en F et on a :
FL 6,5
= =1,3
FH 5
FK 2,6
=
=1,3
D'autre part :
FG 2
D'une part :
FL
FK
et
sont égaux. Et comme
FH
FG
les points G, F et K sont alignés dans le même ordre que
les points H, F, et L, alors d’après la réciproque du
théorème de Thalès les droites (GH) et (ML) sont donc
parallèles.
Donc les rapports
b) [MR) et [OP) sont sécantes en N et on a :
NM
42
=
=1,25
NR 33,6
NO 33,5
=
≈1,24
D'autre part :
NP
27
D'une part :
Comme les rapports et ne sont pas égaux, la contraposée
du théorème de Thalès nous permet de dire que les
droites (RP) et (OM) ne sont donc pas parallèles.
Q.1.2 a) On a d’une part : JI = 9 – 3 = 6 =2
JL
3
3
Et d’autre part :
JM 4
= =2
JK 2
JI
JM
et
sont égaux. Et comme les points I, J et L sont alignés dans le
JL
JK
même ordre que les points M, J, et K, alors la réciproque du théorème de Thalès nous permet
de dire que les droites (IM) et (KL) sont parallèles.
Donc les rapports
b) On a d’une part :
SR 6 3
= =
SP 14 7
SN 8 2
= =
SO 20 5
Comme les rapports SR et SN ne sont pas égaux, la contraposée du théorème de Thalès
SP
SO
nous permet de dire que les droites (RN) et (PO) ne sont pas parallèles.
Et d’autre part :
– Page 13 –
Q - Caractériser une droite ou un segment
Savoir Q.2 : Droites parallèles & Thalès – Niveau 2
Q.2.1
DB 8
=
≈ 2,3
DF 3,5
Donc les rapports et ne sont pas égaux.
On a d’une part :
Et d’autre part :
DA 55 10
=
= =2,5
DE
4
4
Variante 1 :
Si les droites (AB) et (EF) étaient parallèles, alors on pourrait appliquer le théorème de
DB DA AB
=
=
Thalès et on devrait avoir :
DF DE FE
Or ce n’est pas le cas, donc les droites (AB) et (EF) ne sont pas parallèles.
Variante 2 :
DB
DA
Comme les rapports DF et DE ne sont pas égaux, la contraposée du théorème de Thalès
nous permet de dire que les droites (AB) et (EF) ne sont pas parallèles.
Q.2.2
CG 15 – 5 10 2
CD 6 2
=
= =
= =
Et d’autre part
CF
15
15 3
CE 9 3
JI
JM
Donc, les rapports
et
sont égaux. Et comme les points C, G et F sont alignés dans
JL
JK
le même ordre que les points C, D, et E, alors la réciproque du théorème de Thalès nous
permet de dire que les droites (GD) et (EF) sont parallèles.
On a d’une part :
Savoir Q.3 : Droites parallèles & Savoirs de 6e, 5e et 4e
Q.3.1
Les codages de la figures nous indique que l'on a : (AE) ⊥ (EC)
(BD) ⊥ (EC)
Les droites (AE) et (BD) sont parallèles car elles sont toutes deux perpendiculaires à la même
droite (EC).
Q.3.2
On a d'une part : AC2 = 100
Et d'autre part : AE2 + EC2 = 36 + 64 = 100
Comme AC2 = AE2 + EC2, la réciproque du théorème de Pythagore nous permet de dire que le
triangle AEC est rectangle en E. Donc les droites (AE) et (EC) sont perpendiculaires.
Ainsi, les droites (AE) et (BD) sont parallèles car elles sont toutes les deux perpendiculaires à
la droite (EC).
Q.3.3
Le point B appartient au cercle C dont [AC] est l'un des diamètres, donc le triangle ABC est
rectangle en B ce qui fait que les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires.
Ainsi, les droites (BC) et (DE) sont parallèles car elles sont toutes les deux perpendiculaires à
la droite (EB).
– Page 14 –
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Q.3.4
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ABCD est un parallélogramme, donc on a : (AD) // (BC)
De plus, I est le milieu de [CE] et de [BB'].
Or, un quadrilatère dont les diagonales se croisent en leur milieu est un parallélogramme.
Donc BEB'C est un parallélogramme et donc, (BC) // (EB')
Ainsi, on a : (BC) // (EB')
(AD) // (BC)
Donc les droites (AD) et (B'E) sont parallèles car elles sont toutes les deux parallèles à la
même droites (BC).
Q.3.5
ABCD est un quadrilatère dont les côtés opposés sont égaux deux à deux, c'est donc un
parallélogramme.
Or, dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles.
Donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Q.3.6
ABCD est un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu, c'est donc un
parallélogramme.
Or, dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles.
Donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Q.3.7
La somme des angles d'un triangle est égale à 180°.
= 180° – 70° – 20° = 90°
Donc, dans le triangle ABD, on a : B
On en conclut que le triangle ABD est rectangle et que les droites (AB) et (FD) sont
perpendiculaires.
Donc les droites (EF) et (AB) sont parallèles car elles sont toutes les deux perpendiculaires à
la droite (FD).
R - Caractériser un polygone
Savoir R.1 : Avec la réciproque du théorème de Pythagore – Niveau 1
R.1.1
Dans le triangle BOT, le plus grand côté est [OT]. Je compare :
D’une part :
OT² = 15² = 225
D’autre part : OB² + BT² = 12² + 9² = 144 + 81 = 225
On a donc OT² = OB² + BT² et la réciproque du théorème de Pythagore me permet de
conclure que le triangle BOT est rectangle en B.
Dans le triangle PAF, le plus grand côté est [PF]. Je compare :
D’une part :
PF² = 7² = 49
D’autre part : PA² + AF² = 2² + 5² = 4 + 25 = 29
On a donc PF² ≠ PA² + AF² et la contraposée du théorème de Pythagore me permet de
conclure que le le triangle PAF n’est pas rectangle.
– Page 15 –
R - Caractériser un polygone
R.1.2
Dans le triangle ABC, le plus grand coté est [AC]. Je compare :
D’une part :
AC² = 6² = 36
D’autre part : AB² + BC² = 3² + 5² = 9 + 25 = 34
On a donc AC²≠ AB² + BC² et la contraposée du théorème de Pythagore me permet de
conclure que le triangle ABC n’est pas rectangle.
Dans le triangle DEF, de plus grand côté [DE], je compare :
D’une part :
DE² = 13² = 169
D’autre part : DF² + FE² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169
On a donc DE² = DF² + FE² et la réciproque du théorème de Pythagore me permet de
conclure que le triangle DEF est rectangle en F.
Savoir R.2 : Avec la réciproque du théorème de Pythagore – Niveau 2
R.2.1
a) Dans le triangle PAT, de plus grand côté [PA], je compare :
D’une part :
PA² = 7,8² = 60,84
D’autre part : PT² + TA² = 3² + 7,2² = 9 + 51,84 = 60,84
car TA = SA – ST = 10,8 – 3,6 = 7,2 cm
On a donc PA² = PT² + TA² et je peux utiliser la réciproque du théorème de Pythagore pour
conclure que le triangle TAP est rectangle en T.
b) Dans le triangle JGC, de plus grand côté [JG], je compare:
D’une part :
JG² = 8² = 64
D’autre part : JC² + CG² = 4² + 7² = 16 + 49 = 65 car CG = CB + BG = 5 + 2 = 7 cm
On a donc JG² ≠ JC² + CG² et la contraposée du théorème de Pythagore, me permet de
conclure que le triangle JGC n’est pas rectangle
R.2.2
a) Dans le triangle DEA, de plus grand côté [DE], je compare :
D’une part :
DE² = 6,5² = 42,25
car DE = BE – BD = 17 – 10,5 = 6,5 m
D’autre part : DA² + AE² = 5,2² + 3,9² = 27,04 + 15,21 = 42,25
On a donc: DE² = DA² + AE² et la réciproque du théorème de Pythagore me permet de
conclure que le triangle DAE est rectangle en A.
b) [Pour appliquer Pythagore dans le triangle FGI, il manque la longueur GI. Mais on peut
montrer que le triangle FGH est rectangle en F… et du coup FGI le sera aussi.]
Dans le triangle FGH, de plus grand côté [GH], je compare :
D’une part :
GH² = 10² = 100
D’autre part : GF² + FH² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 car FH = FI – IH = 6 + 2 = 8 m
On a donc : GH² = GF² + FH² et la réciproque du théorème de Pythagore me permet de
conclure que le triangle FGH est rectangle en F. Donc le triangle FGI est rectangle en F.
– Page 16 –
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Savoir R.3 : Triangles rectangles & Savoirs de 6e, 5e et 4e
R.3.1
D'après les codages de la figure, les quatre côtés du quadrilatère ABCD ont la même
longueur, donc c'est un losange. Or, les diagonales d'un losange sont perpendiculaires, donc le
triangle ATB est un triangle rectangle.
R.3.2
Le point C appartient au cercle
rectangle en B.
R.3.3
ACDE est un parallélogramme, donc ses angles opposés sont de même mesure :
C dont un des diamètres est [AC], donc le triangle ABC est
= E
= 65°
C
= 180 − D
− C
Dans le triangle BCD, la somme des angles vaut 180°, donc on a : B
= 180 − 25 − 65 = 90°
B
Le triangle BCD est donc un triangle rectangle.
R.3.4
Comme ABC est isocèle en B, alors AB = BC.
Comme A’ est le symétrique de A par rapport à B, alors AB = BA’.
Donc : BA = BC = BA’
Donc, les points A, C et A’ sont sur un même cercle de centre B (car ils sont tous à la même
distance de B).
A, C et A’ sont sur un même cercle, et, comme B est le milieu de [AA’], [AA’] est donc un
diamètre de ce cercle.
Or, si les trois sommets d’un triangle appartiennent à un même cercle et qu’un côté forme un
diamètre, alors ce triangle est rectangle.
Donc ACA’ est un triangle rectangle en C.
R.3.5
A’ et B’ appartiennent au cercle de diamètre [AB], donc les triangles ABA’ et ABB’ sont des
triangles rectangles respectivement en A' et B’.
Dans le triangle ABC, (AA’) et (BB’) sont deux hauteurs, se coupant en D.
Or, les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point appelé orthocentre.
Donc, D est l’orthocentre du triangle ABC.
Par conséquent, la droite (CD) (passant par D), est aussi une hauteur de ABC.
Comme le triangle ABC est isocèle en C, la hauteur issue de C est aussi une médiane.
Donc, (CD) passe par O, qui est le milieu de [AB].
Et donc, comme (CD) est aussi une hauteur de ABC, (DO) est perpendiculaire à (AB) et le
triangle BDO est un triangle rectangle en O.
S - Transformations
– Page 17 –
T - Proportionnalité & Pourcentage
T - Proportionnalité & Pourcentage
Savoir T.1 : Appliquer un taux de pourcentage
T.1.1
a) Pour calculer 73% de 45, je dois faire le calcul 45×
73
qui donne 32,85.
100
95
= 266
100
Donc 266 élèves pensent qu’il faut travailler régulièrement pour progresser.
b) Il faut calculer 95% de 280 : 280×
T.1.2
14
qui donne 210.
100
[C'est faisable mentalement : 14 % de 1 000 = 140, 14% de 500 = 70 d'où 14% de 1500 = 210]
a) Pour calculer 14% de 1 500, je dois faire le calcul 1 500×
20
= 2 275
100
Mme Hémoi a obtenu 2 275 voix sur les 11 375 suffrages exprimés.
b) Il faut calculer 20% de 11 375 : 11 375×
Savoir T.2 : Calculer un pourcentage
T.2.1
1) a) La proportion 3 pour 10 correspond à la proportion 30 pour 100, c'est à dire à 30%.
1) b) La proportion de 4 pour 5 correspond à la proportion 4×20 pour 5×20, c'est à dire 80%.
2) Nous sommes dans une situation de proportionnalité :
Nombre d'élèves qui font leurs
devoirs au dernier moment
90
P
Nombre total d'élèves
600
100
P=
90×100
= 15
600
Donc 15% des élèves font leurs devoirs au dernier moment.
T.2.2
1) a) La proportion de 15 pour 20 correspond à la proportion 15×5 pour 20×5, c'est à dire à
75%.
b) La proportion de 5 pour 25 correspond à la proportion 5×4 pour 25×4, c'est à dire à 20%.
2) Nous sommes dans une situation de proportionnalité :
Votes pour M. Khan Didat
1820
P
Suffrages exprimés
11375
100
P=
1 820×100
= 16
11 375
Donc M. Khan Didat a obtenu 16% des suffrages exprimés.
Savoir T.3 : Comparaison de pourcentages
T.3.1
Problème A : Nous sommes dans une situation de proportionnalité :
Votes pour M. Arthur
6
P
Total des voix
25
100
– Page 18 –
P=
6×100
= 24
25
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Donc Arthur a obtenu 24% des voix.
Votes pour M. Arthur
2
P
Total des voix
5
100
5 × 20 = 100
donc P = 2 × 20 = 40
Donc Guenièvre a obtenu 40% des voix.
Lancelot ayant obtenu 36% des voix, c'est Guenièvre qui a été élue déléguée.
Problème B
30
= 36
100
25
Je dois calculer ce que représente 25% des élèves 144 élèves de 4e : 144×
= 36
100
Je dois calculer ce que représente 30% des élèves 120 élèves de 5e : 120×
Il y a donc autant d'élèves de 5e que de 4e qui participent aux clubs du foyer socio éducatif.
T.3.2
Problème A
Nous sommes dans une situation de proportionnalité :
Savoirs réussis par Xavier
15
P
Nombre de Savoirs
20
100
Savoirs réussis par Marion
4
P
Nombre de Savoirs
5
100
P=
15×100
= 75
20
Donc Xavier à 75% de réussite.
5 × 20 = 100
donc P = 4 × 20 = 80
Donc Marion a 80% de réussite.
Sébastien ayant 60% de réussite, c'est Marion qui a le mieux réussi.
Problème B
25
= 13€
100
30
Je dois calculer ce que représente 30% de 65€ : 65×
= 19€50
100
Je dois calculer ce que représente 25% de 52 € : 52×
La remise la plus grande est donc pour l'article de 65€.
52€ – 13€ = 39€
65€ – 19€50 = 45€50
L'article le moins cher sera celui qui était à 52€ au départ.
Savoir T.4 : Augmenter et diminuer une grandeur d’un pourcentage donné
T.4.1
20
= 52.
100
L'effectif pour les garçons a augmenté de 52 élèves, donc il y a 312 garçons inscrits au
collège cette année.
Je dois calculer ce que représente 20% de 260 élèves : 260×
– Page 19 –
T - Proportionnalité & Pourcentage
10
= 32.
100
L'effectif pour les filles a diminué de 32 élèves, donc il y a 288 filles inscrites au collège
cette année.
Je dois calculer ce que représente 10% de 320 élèves : 320×
T.4.2
30
= 24.
100
L'effectif pour les garçons a augmenté de 24 joueurs, donc il y a 104 garçons inscrits à ce
club cette année.
15
Je dois calculer ce que représente 15% de 120 joueuses : 120×
= 18.
100
L'effectif pour les filles a diminué de 18 joueuses, donc il y a 102 filles inscrites à ce club de
cette année.
Je dois calculer ce que représente 30% de 80 joueurs : 80×
Savoir T.5 : Deux variations successives
4
, c'est à dire 1,04.
100
Si cette nouvelles valeur est encore augmentée de 3%, il faut la multiplier par 1,03.
Donc au final, la valeur de départ aura été multipliée par 1,04×1,03, c'est à dire 1,0712.
Je peux en déduire que l'augmentation de loyer en deux ans aura été de 7,12%.
T.5.1
Augmenter une valeur de 4% revient à la multiplier par 1 +
T.5.2
Augmenter une valeur de 12% revient à la multiplier par 1 +
12
, c'est à dire 1,12.
100
12
Si cette nouvelles valeur est diminuer de 12%, il faut la multiplier par 1 –
, c'est à dire
100
0,88.
Donc au final, la valeur de départ aura été multipliée par 1,12×0,88, c'est à dire 0,9856.
1 – 0,9856 = 0,0144 Donc les salaires auront diminué en deux ans de 1,44%.
Les employés qui savent utiliser les pourcentages ne sont pas content car ils savent qu'une
augmentation de 12% ne compense pas une baisse de 12% car on ne revient pas au salaire de
départ.
Savoir T.6 : Retrouver la valeur d’une grandeur avant une variation
25
, c'est à dire 1,25.
100
Comme en multipliant le nombre d'inscrits de l'année dernière par 1,25 on doit trouver 975,
il suffit de diviser 975 par 1,25 pour retrouver ce nombre d'inscrits.
Il y en avait 720 élèves inscrits à ce lycée l’année dernière.
T.6.1
Augmenter une valeur de 25% revient à la multiplier par 1 +
T.6.2
Diminuer une valeur 6,5% revient à la multiplier par 1 –
6,5
, c'est à dire 0,935.
100
Comme en multipliant le prix de la maison de l'année dernière par 0,935 on doit trouver
168 300 euros, il suffit de diviser 168 300 par 0,935 pour retrouver le prix de l'année
dernière.
Cette maison coûtait 180 000 euros l'année dernière.
– Page 20 –
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Savoir T.7 : Calculer la variation d’une grandeur en pourcentage
T.7.1
1 197 – 950 = 247
Donc le nombre d'élèves inscrits au lycée l'année dernière a baissé de 247.
Cette baisse de 247 inscrits par rapport aux 1 197 inscrit de l'année dernière correspond à une
baisse d'environ 20,6%.
T.7.2
7 499 € – 6 999 € = 500 €
Le prix de la voiture a donc augmenté de 500€.
Cette augmentation de 500€ pour un prix de départ 6 999€ correspond à une augmentation
d'environ 7,14%.
U - Les probabilités
Savoir U.1 : Probabilités & Bon sens
U.1.1
Malgré tous les résultats passés connus, tous les tirages se font au hasard (les résultats sont
aléatoires), on ne peut donc rien dire sur les prochains tirages. Tous les numéros ont toujours
autant de chances de sortir. Xavier a donc raison.
U.1.2
Le lancer est fait de façon aléatoire, il y a donc autant de chances de tirer pile que face, même
si les tirages précédents ont tous été face. C'est donc Marion qui a raison.
Savoir U.2 : Probabilité d'une issue dans une expérience équiprobable
U.2.1
Expérience 1 :1) Les issues possibles sont tous les tirages que l'ont peut obtenir. Il s'agit ici
de chacune des lettres du mot GUSTAVE, c'est à dire G ou U ou S ou T ou A ou V ou E
2) Chaque lettre a autant de chance d'être tirée. Comme il y a 7 lettres et 1 seule fois la lettre
1
A, la probabilité de tirer la lettre A est .
7
Expérience 2 : 1) Cette roue est bien équilibrée, donc chaque jour de la semaine a autant de
chance de sortir. Comme il y a 5 jours possibles sur la roue, la probabilité de passer son oral le
1
vendredi est de .
5
2) Le mercredi n'apparait pas sur la roue, il y a donc aucune chance pour un élève de passer
son oral un mercredi. La probabilité est donc égale à 0.
U.2.2
Expérience 1 : 1) Les issues possibles sont toutes les possibilités de gain. Ce sont donc 0 € ;
10 € ; 100 € ; 1000 € ; 10 000 € et 100 000 €
2) Il y a un seul panneau 100€ sur les 6 panneaux. Comme les sommes sont réparties
1
aléatoirement, la probabilité de gagner 100€ est donc de
6
– Page 21 –
U - Les probabilités
Expérience 2 : 1) Chaque boule a autant de chance de sortir et il y a 15 boules. La
1
.
15
2) Il n'y a pas de boule portant le n° 16 dans l'urne. Antoine n'a donc aucune chance de gagner
son pari. La probabilité est donc égale à 0.
probabilité de voir sortir un 7 est donc de
Savoir U.3 : Probabilité d'une issue dans une expérience non équiprobable
U.3.1
Expérience 1 :1) Les issues possibles sont « un crayon rouge », « un crayon noir » et « un
crayon jaune ».
2) Il y a 7 crayons noirs dans la boîte et il y a au total 21 crayons dans la boîte. La probabilité
7
1
de tirer un crayon noir est donc de
soit .
21
3
Expérience 2 : 1) La probabilité que la copie choisie ait une note de 4 sur 5 est égale à zéro
puisqu'aucune copie n'a eu la note de 4/5.
2) Alphonsine, Elam et Fanny ont toutes eu 3/5. Il y a au total 8 copies de mélangées, donc la
3
probabilité de tirer une copie qui porte la note 3 est de .
8
U.3.2
Expérience 1 :1) Les issues possibles sont de tirer « un bonbon à la fraise » ou « un bonbon
à l'abricot » ou « un bonbon à la menthe ».
2) Il y a 7 bonbons à la menthe dans le sachet sur un total de 14. La probabilité de tirer un
7
1
bonbon à la menthe est donc de
soit .
14
2
Expérience 2 :1) Il y a au total 12 cases sur cette roue et il y a 5 fois le nombre trois qui
5
12
2) Il y a 3 fois le nombre 2 qui apparaît sur les 12 cases que comporte la roue, la probabilité de
3
1
tirer le nombre 2 est donc égale à
soit .
12
4
apparaît dessus. La probabilité de tirer le nombre 3 est donc de
Savoir U.4 : Probabilité d'un événement composé de différentes issues
U.4.1
Expérience 1 :1) a) L’événement « Obtenir une dame » a 4 issues possibles : une dame de
cœur, une dame de carreau, une dame de pique et une dame de trèfle.
b) Il y a 4dames sur les 32cartes du jeu, la probabilité d'obtenir une dame est donc de
4
1
= .
32 8
2) Pour obtenir un 7 noir, on peut obtenir soit un 7 de pique soit un 7 de trèfle, soit 2
2
1
possibilités sur les 32 cartes. La probabilité de tirer un 7 noir est donc de
soit
.
32
16
3) Les têtes rouges sont :
.valet de cœur et valet de carreau.
.dame de cœur et dame de carreau
.roi de cœur et roi de carreau.
Il y a donc 6 possibilités sur les 32 cartes. La probabilité d'obtenir une tête rouge est donc de
6
3
soit
.
32
16
– Page 22 –
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Expérience 21) Sur ce dé, il y a 6 faces.
•Le
nombre 1 n'apparaît qu'une seule fois, sa probabilité est donc de
1
6
3
1
, soit
6
2
2
1
•Le nombre 6 apparaît 2 fois, sa probabilité est donc de
, soit
6
3
•Le
nombre 3 apparaît 3 fois, sa probabilité est donc de
1/
6
1
3/6
On peut alors dessiner l'arbre des possibles comme fait ci-contre :
3
2/
6
6
2) Pour obtenir un nombre impair, on peut obtenir soit 1 soit 3. La probabilité d'obtenir un
nombre impair est donc égale à la somme des probabilités d'obtenir 1 et 3
p(impair) = p(1) + p(3) =
1 3 4 2
= = .
6 6 6 3
La probabilité d'obtenir un nombre impair est donc égale à
Expérience 1 : 1) a) Les issues de l’événement « Obtenir un multiple de 4 » sont obtenir 0 ;
4 ; 8 ; 12 ou 16.
1) b) Il y a 5 multiples de 4 dans la liste sur un total de 20 numéros. Comme de 0 à 19 il y a 20
5
1
nombres, la probabilité d'obtenir un multiple de 4 est donc de
soit .
20
4
2) De 13 à 16, avec 13 et 16 inclus, il y a 4 nombres sur un total de 20. La probabilité
4
1
d'obtenir un nombre entre 13 et 16 est donc de
soit .
20
5
3) Pour obtenir moins de 7, il faut obtenir un nombre compris entre 0 et 6. Il y a donc 7
7
possibilités. La probabilité d'obtenir moins de 7 est donc de
, qui est une fraction
20
irréductible.
Expérience 2 : 1) La boîte contient un total de 14 boules.
5
.
14
3
●Il y a 3 boules vertes, la probabilité de tirer une boule verte est donc de
.
14
●Il
y a 5 boules rouges, la probabilité de tirer une boule rouge est donc de
●Il
y a 6 boules blanches, la probabilité de tirer une boule blanche est donc de
5/
14
U.4.2
2
.
3
3/14
On obtient alors l'arbre des possibles ci-contre. :
6/
1
Boule
rouge
Boule verte
4
Boule blanche
– Page 23 –
2
.
7
U - Les probabilités
2) Pour connaître la probabilité de tirer une boule de couleur verte ou rouge, on fait la somme
des probabilités de tirer une boule rouge et une boule verte.
5
3
8
4
p(rouge ou verte) = p(rouge) + p(verte) =
=
= .
14 14
14
7
4
La probabilité de tirer une boule rouge ou une boule verte est donc de .
7
Savoir U.5 : Probabilité d'un événement contraire & Somme de probabilités
U.5.1
Expérience 1
1) a) L’événement « Non S » est l'événement : « ne pas obtenir une lettre du mot SAVOIR »,
c'est à dire « n'obtenir ni S, ni A, ni V, ni O, ni I, ni R »
6 26 6 20 10
= – = =
26 26 26 26 13
10
La probabilité de l'événement non S est
13
1) b) p(non S) = 1 – p(S) = 1 –
Suite de la correction à la page suivante
2) La probabilité d'obtenir une des 10 premières lettres de l'alphabet, qui en comporte 26 est
10
5
soit
.
26
13
Expérience 2
1) Pour calculer la probabilité d'obtenir un numéro différent de 0, on fait :
p(numéro ≠ 0) = 1 – p(0) = 1 – 0,25 = 0,75
La probabilité d'obtenir un numéro différent de 0 est de 0,75.
2) Pour calculer la probabilité d'obtenir un numéro supérieur ou égal à 6 on additionne les
probabilités de chacun des nombres supérieurs ou égaux à 6.
p (numéro à 6) = p (6) + p (7) + p (8) + p (9)
= 0,1 + 0,02 + 0,15 + 0,03 = 0,3
La probabilité d'obtenir un numéro supérieur ou égal à 6 est de 0,3
U.5.2
Expérience 1 : 1) a) L’événement « Non C » correspond à « ne pas obtenir un carreau »
(c'est à dire obtenir un cœur, un pique ou un trèfle)
1) b) Pour calculer l'événement Non C, je calcule la probabilité de l'événement C.
Comme il y a 4 couleurs et que chacune a autant de carte, la probabilité de l'événement C est
1
p(C) =
= 0,25
4
donc p(non C) = 1 – p(C) = 1 – 0,25 = 0,75
2) Je compte le nombre de têtes : il y a 4 valets, 4 dames et 4 rois, soit 12 têtes sur un total de
12
3
52 cartes. La probabilité d'obtenir une tête est donc de
soit
.
52
13
Expérience 2 1) p(numéro ≠8) = 1 – p(8) = 1 – 0,13 = 0,87
La probabilité de ne pas obtenir 8 est de 0,87.
– Page 24 –
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2) Pour connaitre la probabilité d’obtenir un nombre inférieur ou égal à 3, on additionne les
probabilités de chacun des nombres inférieurs ou égaux à 3.
p (nombre 3) = p(1) + p(2) + p(3) = 0,1 + 0,05 + 0,03 = 0,18
La probabilité d’obtenir un nombre inférieur ou égal à 3 est 0,18
Savoir U.6 : Probabilités dans une expérience à 2 issues
U.6.1
Expérience1
3
1/
=
6
2/
1/6
3/6
=
1 /2
Blanche
Rouge
Noire
1/2
Gauche
Proba (B ; G) = 1/3 × 1/2 = 1/6
1/2
1/2
Droite
Gauche
Proba (B ; D) = 1/6
Proba (R ; G) = 1/12
1/2
Droite
Proba (R ; D) = 1/12
1/2
Gauche
Proba (N ; G) = 1/4
1/2
Droite
Proba (N ; D) = 1/4
5
2
10
Expérience 2/1) p(voyelle ; impair) = p (voyelle) × p (impair) = 9 × 3 = 27
2) p(voyelle ; pair) + p(consonne ; impair) =
U.6.2
7/
14
Noir
Expérience 1 1)
6/14 Rouge
1/
14
Blanc
5 1 4 2
5
8 13
× × =
=
9 3 9 3
27 27 27
1/2
1
1/2
1/2
0
1
1/2
1/2
0
1
1/2
0
2) Pour calculer la probabilité d’obtenir l’issue (Rouge ; 0), on multiplie les probabilités
d'obtenir rouge et d'obtenir 0.
6 1 3
× =
p(rouge ; 0) =
14 2 14
Expérience 2.1) Pour d’obtenir deux voyelles, il faut tirer d'abord un A puis un E.
p(deux voyelles) = p(A).p(E) = 0,3×0,2 = 0,06.
2) Pour obtenir deux consonnes, il faut tirer d'abord un R puis un F ou un G.
p(deux consonnes) = p(R ; F) + p(R ; G) = 0,7×0,10,7×0,7 = 0,07+0,49 = 0,56
La probabilité d'obtenir deux consonnes est de 0,56.
– Page 25 –
V - Les statistiques
V - Les statistiques
Savoir V.1 : Calculer une moyenne pondérée
V.1.1
3×2562×3061×208 768612208 1992
=
=
=2,49
25130620835
800
800
La moyenne de cette série statistiques est de 2,49 brossages de dents par jour.
Cela veut dire que si toute les personnes interrogées se brossaient les dents le même nombre
de fois, ils se brosserai les dents 2,49 fois par jour.
V.1.2
1×102×193×284×55×2 1038842010 162
=
=
≈2,31
610192852
70
70
La moyenne de cette série statistiques est d'environ 2,31 pièces défectueuses par lot.
Cela veut dire que si tous les lots avaient le même nombre de pièces défectueuses, ils en
auraient à peu près 2,31.
Savoir V.2 : Calculer une moyenne avec classe
V.2.1
5×21015×42025×15035×7045×6055×20 17350
=
≈18,6
210420150706020
930
La moyenne de cette série statistiques est d'environ 18 minutes et 39 secondes.
Cela veut dire que si tous les internautes étaient restés connectés le même temps, ils seraient
restés connectés environ 18 minutes et 39 secondes.
V.2.2
2,5×377,5×5212,5×4417,5×2822,5×10 1747,5
=
≈10,22
3752442810
171
La moyenne de cette série statistiques est d'environ 10 minutes et 13 secondes.
Cela veut dire que si tous les appels avaient eu la même durée, elle aurait été d'environ
10 minutes et 13 secondes.
Savoir V.3 : Déterminer une médiane et l’interpréter
V.3.1
8 + 6 + 21 + 12 + 18 + 10 + 25 + 12 + 6 + 10 + 5 = 133
133 ÷ 2 = 66,5
Il y a 133 notes en tout.
Notes
0
4
5
6
7
8
10
12
15
18
20
Effectifs
8
6
21
12
18
10
25
12
6
10
5
Effectifs
cumulés
8
14
35
47
65
75
La note médiane de cette série statistique est 8.
Cela veut dire que si l'on range les personnes dans l'ordre croissant de leur note, c'est une
personne qui aura eu la note 8 qui partage le groupe en deux groupes de même effectif.
– Page 26 –
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V.3.2
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6 + 10 + 19 + 28 + 5 + 2 = 70
70 ÷ 2 = 35
DnrP
Il y a eu 70 pièces défectueuses en tout.
n
0
1
2
3
4
5
Effectifs
6
10
19
28
5
2
Effectifs
cumulés
6
16
35
Il n'y a pas de valeur de la série qui puisse la partager en deux groupes de même effectif.
La valeur médiane de cette série est donc la moyenne des valeurs 2 et 3, c'est à dire 2,5.
Il y a autant de lots qui ont eu plus de 2,5 pièces défectueuses que de lots qui ont eu plus de
2,5 pièces défectueuses.
Savoir V.4 : Déterminer un quartile et l’interpréter
V.4.1
Cette série est composée de 21 données.
Le quart de 21 est égal à 5,25 et les trois quarts de 21 font 15,75.
Je range ces 21 données en ordre croissant :
6 valeurs
4 ; 5 ; 8 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 11 ; 12 ; 12 ; 14 ; 16 ; 16 ; 20 ; 20 ; 20 ; 23 ; 24 ; 31 ; 34 ; 35
16 valeurs
10
20
et le troisième quartile est la note
.
40
40
10
Un quart au moins des élève ont eu une note inférieure ou égale à
et au moins les trois
40
20
quarts des élèves ont eu une note inférieure ou égale à
.
40
Le premier quartile est la note
V.4.2
Cette série est composée de 21 données.
Le quart de 21 est égal à 5,25 et les trois quarts de 21 font 15,75.
Je range ces 21 données en ordre croissant :
6 valeurs
32 ; 36 ; 52 ; 68 ; 75 ; 90 ; 143 ; 189 ; 234 ; 278 ; 340 ; 340 ; 340 ; 435 ; 540 ; 899 ; 960 ; 2 307 ; 2 450 ; 2 600 ; 6 904
16 valeurs
Le premier quartile est la distance 90 km et le troisième quartile est la distance 899 km.
Un quart au moins des élève ont parcouru une distance inférieure ou égale à 90 km et au
moins les trois quarts des élèves ont parcouru une distance inférieure ou égale à 899 km.
– Page 27 –
V - Les statistiques
Savoir V.5 : Calculer une étendue à partir d’un tableau et d’une série
V.5.1
a) La valeur la plus petite est 4 et la plus grande est 16, donc l'étendue de cette série
statistique est de 12 points.
b) La valeur la plus petite est 0 et la plus grande est 20, donc l'étendue de cette série
statistique est de 20 points.
V.5.2
a) La valeur la plus petite est 2 et la plus grande est 12, donc l'étendue de cette série
statistique est de 10 minutes.
b) La valeur la plus petite possible est 3 et la plus grande est 15, donc l'étendue de cette série
statistique est de 12 minutes.
Savoir V.6 : Interprétation d'une représentation graphique
V.6.1
Ceux deux graphiques concernent les notes de tous les élèves de 3 e au dernier contrôle de
français. Détermine les valeurs de la moyenne, de la médiane, du premier quartile, du dernier
quartile, et de l'étendue de cette série, et donne à chaque fois une interprétation.
L'effectif total de cette série se lit sur le graphique des effectifs cumulés, il est de 120.
Étendue :
Sur le graphique des effectifs, on peut lire que le plus grande valeur prise est 18 et la plus
petite est 5. Donc l'étendue de cette série est de 13 points.
Il y a 13 points d'écart entre la meilleure et la plus mauvaise note.
Moyenne :
Le graphique des effectifs me permet de trouver les valeurs pour la calculer :
5×66×217×128×189×1011×2513×1216×618×10 1181
=
≈9,84
120
120
La note moyenne de cette série statistiques est d'environ 9,84 sur 20.
Cela veut dire que si tous les élèves avaient eu la même note, ils en auraient à peu près 9,84.
Premier quartile, médiane et troisième quartile :
Ils se lisent directement sur le graphique des effectifs cumulés.
L'effectif total est de 120.
Le premier quartile se lit pour 30 : c'est la moyenne de 6 et 7, c'est à dire 6,5.
6,5
Un quart au moins des élève ont eu une note inférieure ou égale à
.
20
La médiane se lit pour 60 : c'est la moyenne de 8 et 9, c'est à dire 8,5.
La moitié au moins au moins des élève ont eu une note inférieure ou égale à
8,5
.
20
Le troisième quartile se lit pour 90 : c'est la moyenne de 10 et 11, c'est à dire 10,5.
10,5
Les trois quarts au moins des élève ont eu une note inférieure ou égale à
.
20
– Page 28 –
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Effectifs cumulés
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Notes
W - Grandeurs et mesures
– Page 29 –
X - Au Carrefour des Savoirs
X - Au Carrefour des Savoirs
Savoir X.1 : Programmes de calcul
X.1.1
Je choisis £ pour nombre de départ.
Choisis un nombre.
£
Prends le triple de ce nombre
3£
Ajoute 2.
3£ + 2
Multiplie le nombre obtenu par lui -même.
(3£ + 2)2
(3£ + 2)2 – 9
Retranche 9 au nombre obtenu.
On cherche donc £ pour que le nombre (3£ + 2)2 – 9 soit égal à 0.
Il faut résoudre l'équation suivante : (3£ + 2)2 – 9 = 0
(3£ + 2)2 = 9
Donc
soit 3£ + 2 = 3
soit
3£ = – 1
1
£= –
3
3£ + 2 = – 3
3£ = – 5
5
£= –
3
1
5
Il y a deux possibilités pour obtenir 0 dans ce programme de calcul, £ = – ou £ = – .
3
3
X.1.2
Je choisis £ pour nombre de départ.
Choisis un nombre.
£
Prends le carré de ce nombre.
£2
Ajoute 7 fois le nombre choisi au départ.
£2 + 7£
4.(£2 + 7£)
Multiplie le nombre obtenu par 4.
4.(£2 + 7£) + 50
Ajoute 50.
On cherche donc £ pour que le nombre 4.(£2 + 7£) + 50 soit égal à 1.
Il faut résoudre l'équation suivante :
4.(£2 + 7£) + 50 = 1
on peut développer
4£2 + 28£ + 50 = 1
4£2 + 28£ + 49 = 0
on reconnaît une identité remarquable
(2£ + 7)2 = 0
Le seul nombre qui ait 0 comme carré est 0.
Donc on doit avoir : 2£ + 7 = 0
2£ = – 7
7
£= –
2
7
Il n'y a donc qu'un seule possibilité pour obtenir 1 dans ce programme de calcul, £ = –
2
– Page 30 –
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Savoir X.2 : Équations & Calcul littéral
X.2.1
L'équation E = 8 :
(£ + 1)(2 – 3£) + £2 + 2£ + 9 = 8
Si on essaie de développer le membre de gauche, on n'obtient pas une équation facile à
résoudre. On cherche donc une autre méthode. Ici, il faut factoriser l'expression.
(£ + 1)(2 – 3£) + £2 + 2£ + 9 = 8
(£ + 1)(2 – 3£) + £2 + 2£ + 1 = 0
On reconnaît l'identité remarquable a 22 abb 2
(£ + 1)(2 – 3£) + (£ + 1)2 = 0
On peut factoriser par £ + 1
(£ + 1) [ (2 – 3£) + (£ + 1) ] = 0
(£ +1) (2 – 3£ + £ + 1) = 0
(£ + 1) ( – 2£ + 3) = 0
On reconnaît une équation-produit.
Si un produit est nul alors au moins un de ses facteurs est nul.
Donc £ + 1 = 0
£=–1
ou
ou
– 2£ + 3 = 0
-2£ = -3
3
£=–1
ou
£=
2
3
L'équation E = 8 a deux solutions, – 1 et .
2
L'équation F = G :
9£2 + 2£ – 40 = 2£ + 9
9£2 – 40 = 9
9£2 = 49
49
£2 =
9
donc £ =
49
9
c'est à dire £ =
ou £ = –
49
9
7
7
ou £ = –
3
3
L'équation F = G a deux solutions,
X.2.2
7
et – 7 .
3
3
L'équation E = 0 :
4£2 – 9 – 3(2£ + 3)(£ – 1) = 0
on peut factoriser 4£2 – 9, c'est une identité remarquable
(2£ – 3)(2£ + 3) – 3(2£ + 3)(£ – 1) = 0 (2£ + 3) est alors un facteur commun
(2£ + 3) [(2£ – 3) – 3(£ - 1)] = 0
(2£ + 3) [2£ – 3 – 3£ + 3] = 0
(2£ + 3) ( – £) = 0
– £ (2£ + 3) = 0
Si un produit est nul, alors au moins un des facteurs est nul, donc :
soit £ = 0
soit 2£ + 3 = 0
3
soit £ = 0
soit £ = –
2
3
L'équation E = 0 a deux solutions, £ = 0 ou £ = –
2
– Page 31 –
X - Au Carrefour des Savoirs
L'équation E = F :
4£2 – 9 – 3(2£ + 3)(£ – 1) = – 3£2 – 3£ + 1
on regroupe tout dans le membre de droite
4£2 – 9 – 3(2£ + 3)(£ – 1) + 3£² + 3£ – 1 = 0
4£2 – 9 – 3 (2£2 – 2£ + 3£ – 3) + 3£2 + 3£ – 1 = 0
4£2 – 9 – 6£2 + 6£ – 9£ + 9 + 3£2 + 3£ – 1 = 0
£2 – 1 = 0
£2 = 1 donc £ = 1 ou £ = – 1
L'équation E = F a deux solutions, 1 et –1.
Savoir X.3 : Thalès & Calcul littéral
X.3.1
B
On note £ la longueur MR.
Dans le triangle RDC, les points R, M, D et R, B, C sont
alignés et les droites (MB) // (CD), donc on a d'après le
RM MB RB
£
2
=
=
=
théorème de Thalès :
d'où
RD CD RC
£5 6
C
L'égalité des produits en croix nous donne : 6£ = 2£ + 10
4£ = 10
£ = 2,5 cm.
La longueur MR mesure 2,5 cm
R
6 cm
A
M
m
5c
D
X.3.2
15 cm
A
B
10 cm
E
D
F
15 cm
C
On note £ la longueur AE.
Dans le triangle ACD, les points A, E, D et A,
F, C sont alignés et les droites (EF) et (CD)
sont parallèles, donc on a d'après le théorème
AE AF EF
£
10
=
=
=
de Thalès :
=
AD AC CD
£3 15
L'égalité des produits en croix nous donne :
15 £=10 £3
15£ = 10£ + 30
5£ = 30
£=6
La longueur AE mesure 6 cm.
Savoir X.4 : Trigonométrie & Calcul littéral
X.4.1
Attention cet exercice n'est pas un entraînement valable pour ce savoir.
C
6
cm
4,
5
B
cm
D
A
E
12 cm
J'applique le théorème de Pythagore dans le
triangle ACD rectangle en C.
AD2 = AC2 + CD2
AD2 = 56,25
AD = 7,5 cm
Comme le triangle CAD est rectangle en A,
CD 4,5
on a : Tan(
= 0,75
CAD ) =
=
AC 6
Les angles
BAE et
CAD sont opposés par
le sommet, donc ils sont donc égaux et on a :
tan(
BAE ) = 0,75
– Page 32 –
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DnrP
Or le triangle ABE est rectangle en B, je peux donc aussi utiliser les formules de
trigonométrie. Puisque je cherche la longueur BE et que je connais celle du côté [AB], je vais
BE
utiliser la tangente : tan(
BAE ) =
4,5
Or, tan( BAE ) = 0,75
BE
D'où :
= 0,75
4,5
Ce qui donne : BE=4,5×0,75 = 3,375 ≈ 3,4 cm
Comme H est le pied de la hauteur issue de A, le triangle
)= AH = AH
ACH est rectangle en H et on a : Sin( C
AC
6
A
H
C
D'où AH =
X.4.3
B
10 cm
Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le
)= AB = 8
triangle ABC est rectangle en A et on a : Sin( C
BC
10
On en déduit donc :
m
6c
Or d'autre part, on a dans le triangle ABC :
AC2 + AB2 = 62 + 82 = 100
BC2 = 102 = 100
8c
m
X.4.2
8
AH
=
10
6
6×8
= 4,8 cm
10
On pose £ = EC
Ainsi, dans le triangle ECN rectangle en C, on a tan(
CEN ) =
25
£
Dans le triangle BDE rectangle en D, on sait que DE = 90 – £ donc tan(
DEB ) =
35
90 – £
Or, les angles
CEN et
BED sont égaux, donc leurs tangentes sont égales.
25
35
=
D'où : tan(
CEN ) = tan(
DEB ) , c'est à dire
£ 90 – £
L'égalité des produits en croix nous donne : 35£ = 25 (90 – £)
35£ = 2250 – 25£
60£ = 2250
£ = 37,5
Le côté EC mesure donc 37,5 cm.
25
On peut alors calculer facilement la mesure des angles
CEN et
BED : tan(
CEN ) =
£
25
= tan – 1
≈ 34°
Donc : CEN
37,5
Les angles
CEN et
BED mesurent environ 34°.
– Page 33 –
X - Au Carrefour des Savoirs
Savoir X.5 : Pythagore & Calcul littéral
X.5.1
£ est un nombre positif quelconque donc le plus grand côté de ce triangle est AG.
On a d'une part :
AG2 = (5£ + 10)2
AG2 = 25£2 + 100£ + 100
et d'autre part :
AH2 + GH2 = (4£ + 8)2 + (6 + 3£)2
AH2 + GH2 = 16£2 + 64 £ + 64 + 36 + 36£ + 9£2
AH2 + GH2 = 25£2 +100£ + 100
Donc AG2 = AH2 + GH2
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AGH est rectangle en H.
X.5.2
£ est un nombre positif quelconque donc le plus grand côté de ce triangle est BC.
D'une part :
BC2 = (£ + 3)2
BC2 = £2 + 6£ + 9
et d'autre part :
AB2 + AC2 = (£ + 1)2 + (£ + 2)2
AB2 + AC2 = £2 + 2£ + 1 + £2 + 4£ + 4 = 2£2 + 6£ + 5
Je cherche pour quels £ l'égalité BC2 = AB2 + AC2 est vraie. Je dois donc résoudre l'équation :
£2 + 6£ + 9 = 2£2 + 6£ + 5
4 = £2
Cette équation à deux solutions : £ = 2 ou £ = – 2
L'énoncé précise que £ est un nombre positif donc le cas £ = – 2 ne nous intéresse pas.
Dans ce problème, il y a donc deux possibilités :
Si £ = 2 alors BC2 = AB2 + AC2.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AGH est rectangle en H.
Si £ ≠ 2 alors BC2 ≠ AB2 + AC2.
D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle AGH n'est pas rectangle.
Savoir X.6 : Pythagore & Racines carrées
X.6.1
Dans le triangle ABC, [BC] est le côté le plus grand.
On a d'une part :
Et d'autre part :
2
2
AB2 + AC2
BC = 4 11
2
2
2
AB2 + AC2 = 2 3 2 11
BC2 = 4 2× 11
AB2 + AC2 = 4×34×11 = 12 + 44 = 56
BC2 = 16×11 = 176
Donc BC2 ≠ AB2 + AC2
D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle ABC n'est pas rectangle.
X.6.2
Dans le triangle DEF, la plus grande longueur est EF.
2
DE2 + DF2
EF2 = 42
2
2
DE2 + DF2 = 51 2 5− 2
EF2 = 42
DE2 + DF2 = 5×12 2225−10 22
DE2 + DF2 = 5×32 227−10 2 = 1510 227−10 2 = 42
Donc : EF2 = DE2 + DF2
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle DEF est rectangle en D.
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PRnD
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DnrP
Savoir X.7 : Calculer une longueur
X.7.1
1) J'applique le théorème de Pythagore dans le triangle PUR rectangle en R.
UP2 = UR2 + RP2
8,52 = 6,32 + RP2
RP2 = 32,56 donc on a :
RP = 32,56
RP ≈ 5,7 cm
valeur exacte
valeur arrondie au millimètre.
2) (EN)⊥(UR) et (UR)⊥(RP) donc (EN) // (RP)
Dans le triangle PUR, les points E et N appartiennent respectivement aux segments [UR] et
UE UN EN
=
=
[UP]. De plus, (EN) // (RP). Donc d'après le théorème de Thalès,
.
UR UP RP
1,5 UN
=
On remplace par les longueurs connues :
6,3 8,5
1,5×8,5
L'égalité des produits en croix donne : UN =
≈ 2 cm.
6,3
X.7.2
Je montre d'abord que le triangle EFG est rectangle en F.
D'une part,
EG2 = 1,52 = 2,25
D'autre part,
EF2 + FG2 = 1,22 + 0,92
EF2 + FG2 = 2,25
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, DEF est rectangle en F.
Ainsi, les droites (FG) et (AB) sont parallèles car elles sont toutes les deux perpendiculaire à
EF EG FG
=
=
(DF). Donc j'ai le droit d'utiliser le théorème de Thalès :
EB EA AB
1,2 1,5 0,9
=
=
D'où, en remplaçant par les longueurs connues :
EB 4
AB
4×0,9
Ce qui nous permet de calculer AB : AB=
= 2,4 cm.
1,5
Je peux maintenant utiliser la trigonométrie dans le triangle ABD rectangle en B.
Je connais la mesure de l'angle
BAD et la mesure de son côté adjacent. Comme je veux
BD
calculer la mesure de son côté opposé, j'utilise la tangente : tan BAD=
BA
BD
tan 30 °=
2,4
D'où : BD = 2,4×tan 30 °
BD ≈ 1,4 cm.
La longueur BD est d'environ 1,4 cm.
X.7.3
A
Je calcule d'abord la longueur AC :
7,5 cm
J'applique le théorème de Pythagore dans le triangle ABC :
AB2 = AC2 + CB2
7,52 = AC2 + 4,52
AC2 = 56,25 – 20,25 = 36
O
Donc AC = 6 cm
@options;
@figure;
S = point( -3.1 , -0.03 );
M = point( 4 , 0.47 );
sAB = segment( S , M );
perpAsAB = perpendiculaire( S ,
sAB ) { i };
A = pointsur( perpAsAB , 4.15 )
{ (0.03,-0.8) };
sPB = segment( A , M );
sPA = segment( A , S );
anglePAB = angle( A , S , M );
C = point( -7.5 , -0.8 ) { i };
sPC = segment( A , C ) { i };
perpAsPC = perpendiculaire( S ,
sPC ) { i };
O = intersection( perpAsPC , sPC
) { (-0.5,0.03) };
sPD = segment( A , O );
sDA = segment( O , S );
anglePDA = angle( A , O , S );
C
– Page 35 –
4,5 cm
B
X - Au Carrefour des Savoirs
Le triangle AOC est rectangle et isocèle en O, donc on a :
OAC =
OCA
180 – 90
Et comme la somme des angles d'un triangle est égale à 90°, on a :
= 45°
OAC =
2
.
Dans le triangle AOC rectangle en O, j'utilise la trigonométrie. Je connais la mesure de OAC
Je connais aussi la mesure de l'hypoténuse du triangle AOC et je veux calculer la mesure de
OAC ) = OC
son côté opposé, je vais donc utiliser le sinus :
sin(
AC
OC
sin (45°) =
6
D'où : OC = 6×sin 45
valeur exacte
OC ≈ 4,2 cm Valeur approchée au dixième
Savoir X.8 : Calculer un angle
X.8.1
Je calcule d'abord la longueur AS.
J'applique le théorème de Pythagore dans le triangle ASM :
AM2 = AS2 + SM2
12,52 = 7,52 + AC2
AC2 = 12,52 – 7,52
AC2 = 100
AC = 10 cm
Dans le triangle rectangle AOS, je peux utiliser la trigonométrie.
Je veux calculer l'angle
OAS , je connais le côté opposé à cet angle (c'est [OS]) et
OAS ) = OS
l'hypoténuse (c'est [AS]), je vais donc utiliser le sinus :
sin (
AS
3,2
OAS ) =
sin (
= 0,32
10
Donc :
OAS = sin – 1 0,32 valeur exacte
OAS ≈ 19 ° valeur approchée
La mesure de l'angle
OAS est environ de 19°
X.8.2
Le triangle AQB est inscrit dans le cercle de diamètre [AB], il est donc rectangle.
Ainsi,
AQB = 90°.
Q
Or AQP = 30° donc
PQB = 90° – 30° = 60°
L'angle
AQB est inscrit dans le cercle et l'angle au centre associé
est POB .
Or, l'angle au centre est égal au double de l'angle inscrit,
A
donc
POB = 60 °×2 = 120°
60°
30°
O
L'angle
POB mesure 120°
P
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B
![b) G est sur le cercle de diamètre [EF] donc EFG est un triangle](http://s1.studylibfr.com/store/data/000535319_1-33b0e0ca50408d9ba99edd0b265b9e53-300x300.png)
