1 Continuit ´e, d ´erivabilit ´e

Calcul diff´ erentiel
mars 2016
On s’int´ eresse ` a des applications d´ efinies d’un ouvert de E, evn de dimension finie, dans Fidem.
Le plus souvent, on consid` erera les ev standards Rn,Rpavec n, p 63.
1 Continuit´ e, d´ erivabilit ´ e
Il n’est pas ´ evident de d´ efinir ce que l’on souhaite entendre par «continu, d´ erivable », dans le cas d’une application ` a
plusieurs variables. Le point difficile est que l’on souhaite exprimer des propri´ et´ es vraies dans un voisinage (c` ad une
boule ouverte) d’un point de U, alors que les m´ ethodes naturelles consistent ` a se limiter ` a une direction — ou une
coordonn´ ee.
1.1 Continuit´ e
D´ EFINITION 1. L’application fest continue en assi f(x)→f(a)quand x→a.
Il s’agit donc de la d´ efinition usuelle de la continuit´ e dans un evn.
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PROPOSITION.Soient (f1,...,fp)les composantes de f, c’est ` a dire que dans une base appropri´ ee on a f=f1.e1+
. . . +fp.ep. Alors fest continue ⇐⇒ toutes les file sont.
En revanche, il ne sert de rien de consid´ erer coordonn´ ees par coordonn´ ees dans l’espace de d´ epart :
L’application (x, y)7→
0si x=y=0
x2y
x4+y2sinon est continue par rapport `
axet ` ay, mais elle est discontinue en
l’origine.
N´ eanmoins, on a tous les th´ eor` emes usuels sur la continuit´ e dans les evn :
PROPOSITION.Tout «cocktail »d’applications continues (somme, produit, compos´ ee) est continu.
ce qui permet d’assurer la continuit´ e de toute combinaison de fonctions usuelles l` a o` u elle est d´ efinie.
1.2 Diff´ erentiabilit´ e
La g´ en´ eralisation naturelle de la d´ erivabilit´ e passe par le d´ eveloppement limit´ e` a l’ordre 1 :
1.2.1 Application lin´ eaire tangente
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D´ EFINITION 2. On dit que fest diff´ erentiable en a∈Ussi il existe une application lin´ eaire
dfa∈ L(E, F)telle que f(x) = f(a) + dfa(x−a) + o(x−a)
pour xvoisin de a.
dfas’appelle la diff´ erentielle de fen a, ou encore l’application lin´ eaire tangente.
Rappelons que o(h)signifie khk × ε(h)o` uε(h)est une fonction qui tend vers 0 avec h.
Quand une application est diff´ erentiable, elle est donc localement «proche »d’une application affine (son graphe res-
semblera donc ` a une vari´ et´ e affine, etc).

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EXERCICE 1. Montrer ` a la main que l’application
(x, y)7→(x2+y2, 3xy)
est diff´ erentiable au point (a, b).
PROPOSITION.Toute application diff´ erentiable en aest continue en a.
PROPOSITION.Toute application lin´ eaire est diff´ erentiable, et ´ egale en tout point ` a sa diff´ erentielle.
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D´ EFINITION 3. Si dfaexiste pour tout a∈Ωalors on dit que fest diff´ erentiable (tout court). Sa diff´ erentielle est
l’application df:a7→dfa, qui va de Ωdans L(E, F)( !).
Cette notion s’av` ere insuffisante pour les applications que nous envisageons, tout comme on ne s’est pas content´ e des
applications d´ erivables (de Rdans R), on est all´ e d´ efinir la classe C1.
Essayons donc de g´ en´ eraliser la notion de d´ erivabilit´ e dans une autre direction :
1.2.2 D´ eriv´ ee dans une direction
Soit a∈U; notons que si uest un vecteur quelconque (non nul), le segment [a−εu, a +εu]est inclus dans Upour
ε>0assez petit.
On peut donc d´ efinir une application vectorielle d’une variable r´ eelle par
φu(t) = f(a+tu)
pour tvoisin de 0. Ce qui suffit ` a d´ eriver φu:
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D´ EFINITION 4. fadmet en aune d´ eriv´ ee selon le vecteur ussi φuest d´ erivable en 0 ; on pose alors
Duf(a) = φ0
u(0)
L’id´ ee est ` a la fois simple et profonde : on consid` ere la restriction de f` a un segment (passant par a) et on d´ erive cette
restriction. On esp` ere acqu´ erir suffisamment de renseignements sur fen op´ erant ainsi dans toutes les directions possibles.
(On peut aussi d´ eriver la restriction de f` a une courbe de l’espace, comme on le verra plus tard). Nous verrons que cela est ` a la
fois trop optimiste et trop pessimiste :
– D’une part il suffit de d´ eriver dans ndirections ind´ ependantes.
– D’autre part la d´ erivabilit´ e dans ces (toutes les) directions ne suffira pas, nous exigerons que ces d´ eriv´ ees partielles
soient continues.
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TH´ EOR ` EME 1. Si fest diff´ erentiable en a, alors elle est d´ erivable dans toute direction. De plus, on aura alors pour tout
vecteur u
Duf(a) = dfa(u)
D´ emonstration ais´ ee. Examinons ce qui en r´ esulte dans une base de E, soit (e1. . . en):
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D´ EFINITION 5. La d´ eriv´ ee dfa(ej)dans la direction du vecteur de base ejest la ji`
eme d´
eriv´ ee partielle. C’est une
fonction de Edans F, comme f. On la note Djf(a)ou ∂f
∂xj
(a)ou ∂jf.
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REMARQUE 1. La notation traditionnelle avec ∂est ambig¨ ue : que signifie ∂f(u+v, u −v)
∂x2
?. . . la notation x2n’a pas
d’autre vertu que de signaler le NUM´ ERO de la variable de d´ erivation consid´ er´ ee. En ce sens la notation Djou ∂j
est plus pure.
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PROPOSITION.Si h= (h1. . . hn)on a Dhf(a) = dfa(h) =
n
P
j=1
hjDjf(a)
On a donc une formule de Taylor ` a l’ordre 1 :
f(a+h) = f(a) + da(h) + o(h) = f(a) +
n
X
j=1
hjDjf(a) + o(h)
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EXERCICE 2. Quel rapport y a-t-il entre Duf(a)et Dλuf(a)?
Le gros malheur est que la r´ eciproque de ce th´ eor` eme est fausse :
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EXERCICE 3. On d´ efinit f: (x, y)7→
x2y
x2+y2si (x, y)6= (0, 0)
0si x=y=0
.
Montrer que fadmet en l’origine des d´ eriv´ ees dans toutes les directions, sans ˆ etre diff´ erentiable [hint : ses d´ eriv´ ees
selon (Ox)et (Oy)´ etant nulles, une ´ eventuelle diff´ erentielle serait nulle].
Pour gagner cette r´ eciproque, il faut corser les hypoth` eses :
1.2.3 Classe C1
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D´ EFINITION 6. fest de classe C1sur Ussi pour tout vecteur u∈E, l’application x7→Duf(x)est continue sur U—
autrement dit, si toutes les d´ eriv´ ees partielles [dans n’importe quelle base] sont continues.
Ce n’est pas le cas dans l’exemple pr´ ec´ edent.
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TH´ EOR ` EME FONDAMENTAL.
Si il existe une base de Edans laquelle toutes les d´ eriv´ ees partielles sont continues, alors fest de classe C1et
diff´ erentiable.
On dit alors que fest continˆ ument diff´ erentiable.
D´ emonstration. Un sens est ´ evident. Supposons qu’il existe une base dans laquelle les d´ eriv´ ees partielles de fsont
continues, et pour simplifier les notations consid´ erons le cas d’une application ` a deux variables, ` a valeurs r´ eelles : on
suppose donc que D1fet D2fsont continues et on veut montrer que fest diff´ erentiable. Il en r´ esultera que les d´ eriv´ ees
directionnelles sont continues, puisque si u= (u1, u2)on a Duf=u1D1f+u2D2f.
On ´ ecrit donc
f(x+h)−f(x) = f(x1+h1, x2+h2)−f(x1, x2) = f(x1+h1, x2+h2)−f(x1, x2+h2)+f(x1, x2+h2)−f(x1, x2)
Consid´ erons la quantit´ ef(x1+h1, x2+h2)−f(x1, x2+h2). Elle est de la forme g(h1)−g(0)o` ug(t) = f(x1+t, x2+h2)
est de classe C1(` a une variable), par hypoth` ese. On a donc
f(x1+h1, x2+h2)−f(x1, x2+h2) = g(h1)−g(0) = h1g0(0)+o(h1) = h1D1f(x1, x2+h2)+o(h1) = h1D1f(x1, x2)+o(h1)
en utilisant la continuit´ ede D2fpour la derni` ere ´ egalit´ e.
De mˆ eme il vient
f(x1, x2+h2) − f(x1, x2) = h2D2f(x1, x2) + o(h2)
En recollant on a bien trouv´ e
f(x1+h1, x2+h2) − f(x1, x2+h2) = h1D1f+h2D2f(x1, x2) + o(h)
donc fest diff´ erentiable et ite missa est. 
Cela signifie exactement que l’application d f:a7→dfaest continue (combinaison lin´ eaire des Djf(a)).
Nous ne consid` ererons plus que des fonctions de ce type, au moins, pour ´ eviter les pathologies. Concr` etement, pour
´
etablir qu’une fonction ` a plusieurs variables est de classe C1, on utilisera les th´ eor` emes «cocktails »;` a d´ efaut, on
calculera les d´ eriv´ ees partielles et on v´ erifiera qu’elles sont continues.
EXERCICE 4. Montrer sans calculs que l’application A7→A−1d´ efinie dans G`n(R)est de classe C1.
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EXERCICE 5. (d´ elicat) Montrer que la fonction f: (x, y)7→e−1/(xy)2
e−1/x4+e−1/y4est discontinue en l’origine. Pourtant
elle admet (en posant f(0, 0) = 0) des d´ eriv´ ees partielles ` a tout ordre (qui sont nulles).
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1.3 Combinaisons de diff´ erentielles
Il est clair que sommes, combinaisons lin´ eaires, produits (scalaires, vectoriels, etc. . .) respectent aussi bien la diff´ erentiabilit´ e
que la classe C1. Ce qui permet d’affirmer que des applications compliqu´ ees, mais ´ el´ ementaires, sont C1(et mˆ eme plus,
cf. infra).
EXERCICE 6. Si f, g sont diff´ erentiables de Ω→R, quelle est au juste la diff´ erentielle en ade f×g?
Consid´ erons maintenant le probl` eme de la composition :
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LEMME 1. Si fest diff´ erentiable en aet gest diff´ erentiable en f(a), alors g◦fest diff´ erentiable en aet
d(g◦f)a=dgf(a)◦dfa
C’est assez ´ evident intuitivement : infiniment pr` es de a(resp. f(a)), f(resp. g) est affine ; donc g◦faussi !
D´ emonstration. On ´ ecrit f(a+h) = f(a) + dfa(h) + o(h) = f(a) + k.
Comme d faest lin´ eaire en dimension finie, elle est lipschitzienne i.e. d fa(h) = O(h).
De mˆ eme, g(f(a+h)) = g(b+k) = g(b) + dgb(k) + o(k)en posant b=f(a). Par lin´ earit´ e, il vient
dgb(k) = dgbdfa(h) + o(h)=dgb◦dfa(h) + dgb(o(h)) = dgb◦dfa(h) + o(h)
en utilisant cette fois la lipschitzian´ eit´ e de d gb. On conclut en remarquant que o(k) = o(O(h)) = o(h).
L’expression de d(g◦f)permet de calculer les d´ eriv´ ees partielles de g◦fcomme sommes et produits de celles de fet
de g. Donc :
TH´ EOR ` EME 3. Si fet gsont de classe C1, il en est de mˆ eme de g◦f.
Explorons plus en d´ etail l’expression analytique de ces d´ eriv´ ees partielles ;
1.4 Matrice jacobienne
Tout d’abord, rappelons que fest une combinaison lin´ eaire de ses composantes fi:
f=
p
X
i=1
fiei
En cons´ equence, la diff´ erentiabilit´ e, etc, de frevient ` a celle des fiet l’on a
dfa=
p
X
i=1
dfiaeiDjf(a) =
p
X
i=1
Djfi(a)ei
∂f
∂xj
=
p
X
i=1
∂fi
∂xj
ei
Les coordonn´ ees de Djfsont donc les Djfi. On peut noter, symboliquement,
df=
n
X
j=1
∂f
∂xj
dxj
qui a l’avantage d’avoir encore un sens quand les xjsont des fonctions d’autres variables (cf. diff´ erentielle de fonctions
compos´ ees infra).
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REMARQUE 2. Cette formule donne sens ` a l’expression «continˆ ument diff´ erentiable »: on voit que dfest continue
(comme application de Ω→L(E, F)) ssi les Djfle sont.
Prenons un exemple : (r, θ)7→(xcos θ, y sin θ). Les d´ eriv´ ees partielles de x=rcos θet y=rsin θsont donn´ ees par
dx=cos θdr−rsin θdθ
dy=sin θdr+rcos θdθ
On voit surgir la matrice de terme g´ en´ eral Djfi:
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1.4.1 Matrice jacobienne
On voit apparaˆ ıtre ici la matrice d’une application lin´ eaire (d f(a), bien sˆ ur) :
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D´ EFINITION 7. La matrice jacobienne de fau point aest la matrice de terme g´ en´ eral ∂fi
∂xj. C’est la matrice de dfa!
On a donc
dfa(h) = ∂fi
∂xji,j
.h =
n
X
j=1
Djf1.hj
.
.
.
n
X
j=1
Djfi.hj
.
.
.
=
p
X
i=1
n
X
j=1
Djfi.hjei
Ce qui permet de caract´ eriser ais´ ement la diff´ erentielle d’une compos´ ee :
PROPOSITION.La matrice jacobienne de g◦fest le produit des matrices jacobiennes de get de f.
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EXERCICE 7. Justifier (et apprendre par cœur !) la formule de la chaˆ ıne :
(♥)∂f(x, y)
∂u =∂f ∂x
∂x
∂u +∂f ∂y
∂y
∂u o`
u(x, y) = g(u, v)
et plus g´ en´ eralement
∂f(x1, . . . , xn)
∂u =X∂f ∂xj
∂xj
∂u
quand les x, y, xjsont des fonctions d’autres variables u, v . . . .
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EXERCICE 8. Montrer que si fet gsont r´ eciproques l’une de l’autre et diff´ erentiables, la diff´ erentielle de f−1en f(a)
est l’application lin´ eaire inverse de la diff´ erentielle de fen a: la matrice jacobienne de f−1est l’inverse de celle
de f[en particulier elle est carr´ ee !]
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EXERCICE 9. Matrice jacobienne, et son inverse, des changements de variables en polaires, en sph´ eriques, et en cylin-
driques.
Matrice jacobienne de l’inversion de R2dans lui-mˆ eme d´ efinie en complexes par z7→z
z2=x+iy x2+y2.
1.4.2 Compos´ ee avec une application vectorielle
Il s’agit de d´ eriver une application qui court sur une courbe.
Diff´ erentions f◦φ, o` uφ:I⊂R→U. On a donc φ(t) = (x1(t), x2(t),...,xn(t)). On a d´ ej` a´ etudi´ e cela dans le cas
particulier des d´ eriv´ ees selon un vecteur, qui ne sont autres que df(a+tu)
dt|t=0=Duf(a). Commenc¸ons par clarifier
la diff´ erentielle d’une application bˆ etement d´ erivable de Rdans R:
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LEMME 2. La diff´ erentielle de φ:I→Ren aest l’application lin´ eaire qui multiplie son argument (r´ eel) par φ0(a):
dφa(h) = h.φ0(a)ou encore φ0(a) = dφa(1).
D’apr` es la formule g´ en´ erale, il vient donc
df◦φ(a) (h) = X∂f
∂xj
∂xj
∂t =X∂f ∂xj
x0
j(a) = dfφ(a)(φ0(a))
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PROPOSITION.La d´ eriv´ ee de f◦φen aest l’image de φ0(a)par dfφ(a):
(f◦φ)0(a) = dfφ(a)(φ0(a)) = dfφ(a).φ0(a)
(cette derni` ere notation fera plus sens quand on aura parl´ e de gradient, cf. ce paragraphe infra)
C’est bien ce que l’on pouvait esp´ erer de plus simple.
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