EXERCICE 2. Quel rapport y a-t-il entre Duf(a)et Dλuf(a)?
Le gros malheur est que la r´
eciproque de ce th´
eor`
eme est fausse :
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EXERCICE 3. On d´
efinit f: (x, y)7→
x2y
x2+y2si (x, y)6= (0, 0)
0si x=y=0
.
Montrer que fadmet en l’origine des d´
eriv´
ees dans toutes les directions, sans ˆ
etre diff´
erentiable [hint : ses d´
eriv´
ees
selon (Ox)et (Oy)´
etant nulles, une ´
eventuelle diff´
erentielle serait nulle].
Pour gagner cette r´
eciproque, il faut corser les hypoth`
eses :
1.2.3 Classe C1
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D´
EFINITION 6. fest de classe C1sur Ussi pour tout vecteur u∈E, l’application x7→Duf(x)est continue sur U—
autrement dit, si toutes les d´
eriv´
ees partielles [dans n’importe quelle base] sont continues.
Ce n’est pas le cas dans l’exemple pr´
ec´
edent.
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TH´
EOR `
EME FONDAMENTAL.
Si il existe une base de Edans laquelle toutes les d´
eriv´
ees partielles sont continues, alors fest de classe C1et
diff´
erentiable.
On dit alors que fest continˆ
ument diff´
erentiable.
D´
emonstration. Un sens est ´
evident. Supposons qu’il existe une base dans laquelle les d´
eriv´
ees partielles de fsont
continues, et pour simplifier les notations consid´
erons le cas d’une application `
a deux variables, `
a valeurs r´
eelles : on
suppose donc que D1fet D2fsont continues et on veut montrer que fest diff´
erentiable. Il en r´
esultera que les d´
eriv´
ees
directionnelles sont continues, puisque si u= (u1, u2)on a Duf=u1D1f+u2D2f.
On ´
ecrit donc
f(x+h)−f(x) = f(x1+h1, x2+h2)−f(x1, x2) = f(x1+h1, x2+h2)−f(x1, x2+h2)+f(x1, x2+h2)−f(x1, x2)
Consid´
erons la quantit´
ef(x1+h1, x2+h2)−f(x1, x2+h2). Elle est de la forme g(h1)−g(0)o`
ug(t) = f(x1+t, x2+h2)
est de classe C1(`
a une variable), par hypoth`
ese. On a donc
f(x1+h1, x2+h2)−f(x1, x2+h2) = g(h1)−g(0) = h1g0(0)+o(h1) = h1D1f(x1, x2+h2)+o(h1) = h1D1f(x1, x2)+o(h1)
en utilisant la continuit´
ede D2fpour la derni`
ere ´
egalit´
e.
De mˆ
eme il vient
f(x1, x2+h2) − f(x1, x2) = h2D2f(x1, x2) + o(h2)
En recollant on a bien trouv´
e
f(x1+h1, x2+h2) − f(x1, x2+h2) = h1D1f+h2D2f(x1, x2) + o(h)
donc fest diff´
erentiable et ite missa est.
Cela signifie exactement que l’application d f:a7→dfaest continue (combinaison lin´
eaire des Djf(a)).
Nous ne consid`
ererons plus que des fonctions de ce type, au moins, pour ´
eviter les pathologies. Concr`
etement, pour
´
etablir qu’une fonction `
a plusieurs variables est de classe C1, on utilisera les th´
eor`
emes «cocktails »;`
a d´
efaut, on
calculera les d´
eriv´
ees partielles et on v´
erifiera qu’elles sont continues.
EXERCICE 4. Montrer sans calculs que l’application A7→A−1d´
efinie dans G`n(R)est de classe C1.
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EXERCICE 5. (d´
elicat) Montrer que la fonction f: (x, y)7→e−1/(xy)2
e−1/x4+e−1/y4est discontinue en l’origine. Pourtant
elle admet (en posant f(0, 0) = 0) des d´
eriv´
ees partielles `
a tout ordre (qui sont nulles).
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