Chapitre EM 2 : Potentiel électrostatique : aspect

Chapitre EM2: Potentiel électrostatique : aspect
énergétique et application au dipôle
Sciences Physiques - ATS
I Circulation de ~ E, potentiel V
A
B
C~er
~
E
M
d~r
q
O
r
1. Cas d’une charge ponctuelle
En appelant ~erle vecteur radial en coordonnées sphériques, le champ
produit en M(r,θ,ϕ)par une charge qplacée en Oest ~ E=q
4πε0r2~eret
le déplacement élémentaire d~r s’écrit d~r =dr~er+rdθ~eθ+rsin θdϕ~eϕ.
La base étant orthonormée, on définit la circulation élémentaire de
~
Ele long de C.
~
E.d~r =q
4πε0r2dr =−q 4πε0
d(1
r) = −d(q 4πε0r+Cte) = −dV avec V=q 4πε0r
V(r)est le potentiel électrostatique créé en M(r,θ,ϕ)par la charge qplacée à la distance r, son unité
est le volt (V) et on a bien Een V.m−1(on prend la constante nulle car plus d’influence si r→ ∞).
Remarque : Vn’est pas défini au point champ r= 0 (comme ~ E).
Par intégration de dV =−~ E.d~r, entre Aet B, on obtient
−ZB
A
dV =VA−VB=ZB
A
~
E.d~r =UAB où UAB est la différence de potentiel entre Aet B.
2. Généralisation
Le principe de superposition permet de généraliser le résultat précédent aux distributions de charges.
V=X
i
qi
4πε0ri−→ dV =dq 4πε0r=−~
E. ~ dr ⇒V=ZD
dq
4πε0ret UAB =ZB
A
~
E. ~ dr
Remarques :
•La circulation de ~ Eentre deux points RB
A~
E.~ dl =UAB ne dépend pas du chemin suivi, on dit
que ~ Eest à circulation conservative. Par exemple, CAA =HA
AdC =−HA
AdV =VA−VA= 0.
•En fait, Vest défini à une constante près, on parle de choix de Jauge mais cette constante
n’influe pas sur ~ E, grandeur mesurable directement, on dit que ~ Eest invariant de Jauge.
•Le potentiel s’il est défini, est continu en tout point de l’espace, ce qui n’est pas forcément le cas
du champ électrostatique (Cf. exercices), cela permet de déterminer les constantes d’intégration.
•Dans le cas d’une distribution de dimension infinie (plan infini par exemple), il existe des
charges à l’infini et ces expressions ne sont applicables que si l’intégrale converge.
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3. Opérateur gradient
Définition : si lors du déplacement ~ dr une fonction scalaire f(par exemple V,Ep,
T...) varie de df, le champ de vecteur −−−→ grad f(gradient de la fonction scalaire f) est
défini à partir de la différentielle totale df par df =−−−→ grad f. ~ dr.
Ici,
dV =−~ E.d~r ⇐⇒ ~ E=−−−−→ grad V
Expression dans les différents systèmes de coordonnées
•En coordonnées cartésiennes : U(x,y,z).
On sait que ~ dr =dx~ex+dy~ey+dz~ezet dU =∂U
∂x y,zdx +∂U ∂y x,zdy +∂U ∂z x,ydz
dU =−−−→ grad U. ~ dr = (gradxU~ex+grady~ey+gradz~ez)(dx~ex+dy~ey+dz~ez)
dU(x,y,z) = gradxU dx +gradyU dy +gradzU dz
où (gradx,grady,gradz)sont les composantes de −−−→ grad Udans le système de coord. cartésiennes.
Par identification, on obtient d
U
~ex
~
E
−−−→
grad U=∂U
∂x y,z~ex+∂U ∂y x,z~ey+∂U ∂z x,y~ez=
∂U
∂x y,z
∂U
∂y x,z
∂U
∂z x,y
Dans le cas d’un condensateur plan, ~ E=E.~ex=−∂V
∂x ~ex−∂V ∂y ~ey−∂V ∂z ~ez
d’où, par identification, ∂V
∂y =∂V ∂z = 0 et ∂V ∂x =dV dx =−E,
on retrouve E=VA−VB
d=U d.
•En coordonnées cylindriques : U(r,θ,z).
On sait que ~ dr =dr~er+rdθ~eθ+dz~ezet dU =∂U
∂r θ,zdr +∂U ∂θ r,zdθ +∂U ∂z r,θdz
dU =−−−→ grad U. ~ dr =gradrU dr +gradθU rdθ +gradzU dz
Par identification, −−−→ grad U=∂U
∂r θ,z~er+1 r
∂U
∂θ r,z~eθ+∂U ∂z r,θ~ez=
∂U
∂r θ,z
1
r
∂U
∂θ r,z
∂U
∂z r,θ
(r,θ,z)
Homogène.
•En coordonnées sphériques : U(r,θ,ϕ).
On sait que ~ dr =dr~er+rdθ~eθ+rsin θ~eϕet dU =∂U
∂r θ,ϕdr +∂U ∂θ r,ϕdθ +∂U ∂ϕ r,θdϕ
dU =−−−→ grad U. ~ dr =gradrU dr +gradθU rdθ +gradϕU r sin θdϕ
Par identification, on obtient −−−→ grad U=∂U
∂r θ,ϕ~er+1 r
∂U
∂θ r,ϕ~eθ+1 rsin θ
∂U
∂ϕ r,θ~eϕ=
∂U
∂r θ,ϕ
1
r
∂U
∂θ r,ϕ
1
rsin θ
∂U
∂ϕ r,θ
(r,θ,ϕ)
Homogène.
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4. Exemple : potentiel sur l’axe du segment chargé
z
a
−a
rr
~er
Pdq =λdz
M
α
α0
Le potentiel Vétant un scalaire, il n’y a pas de problème de
projection.
dV =dq
4πε0P M =λdz
4πε0√r2+z2=λdz
4πε0rq1 + z2
r2
on pose u=z
r⇐⇒ dz =rdu et
dV =λrdu
4πε0r√1 + u2⇒V=λ
4πε0Za/r
−a/r
du
√1 + u2
V=λ
4πε0ln(u+√1 + u2)a/r
−a/r
=λ
4πε0
ln a+√r2+a2
−a+√r2+a2
Remarques :
•On peut vérifier que ~ E=−−−−→ grad Ven utilisant l’expression de ~ Edéterminée dans EM01.
•Pour un fil infini, a→ ∞ et Vest non défini, il y a un problème car il existe des charges à
l’infini →autre méthode.
II Topographie du potentiel
1. Surfaces équipotentielles
Définition : ce sont des surfaces sur lesquelles le potentiel Vest constant.
Propriétés :
•Deux surfaces équipotentielles correspondant à des potentiels différents ne peuvent pas avoir
d’intersection.
•Si on se déplace de d~r sur une surface équipotentielle, dV = 0 or, dV =−~ E.d~r donc ~ Equi est
selon une ligne de champ est normal à d~r.
Le champ est donc perpendiculaire aux surfaces équipotentielles et les lignes de champ sont
orientées dans le sens des potentiels décroissants : ~ E=−−−−→ grad V.
On peut faire une analogie entre les équipotentielles et les courbes de niveau d’une carte géo-
graphique, les lignes de champ correspondant aux lignes de plus grande pente.
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Exemples :
•Charge ponctuelle : V=q
4πε0r⇒sphères (r=px2+y2+z2=Cte) centrées au point source.
PSfrag replacements
x
y
PSfrag replacements
x
y
V
•Autres Exemples :
(+q;+q) (+q;−q) (q;−2q)
2. Symétries et invariances
Le potentiel obéit au principe de Curie, en conséquence.
•Si la distribution admet Π = xOy comme plan de symétrie, Vest une fonction paire de z.
•Si elle admet Π∗=xOy comme plan d’antisymétrie, Vest une fonction impaire de z.
•Le potentiel a les mêmes invariances que la distribution de charges.
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III Aspect énergétique
1. Travail de la force électrostatique
A
B
C
~
Ee
M
q
D
Soit une charge qsituée en Met subissant la force électrostatique
~
F=q~ Eedue à une distribution Dextérieure et fixe.
Si Mse déplace de d~r, sur Cle travail de ~ Fest
δW =~
F .d~r =q~ Ee.d~r =−q.dVe
par définition du potentiel Vecréé par Den M.
qétant constante, on en déduit le travail de ~ Fentre les points Aet Bpar intégration :
WA→B=ZB
A
δW =−q(Ve,B −Ve,A) = q(Ve,A −Ve,B ) = qUe,AB
Remarques :
•Le travail de la force électrostatique ~ Fest indépendant du chemin suivi. La force électrostatique
~
Fest conservative
•δW est nul si la particule se déplace sur une équipotentielle (marcheur sur une ligne de niveau).
2. Énergie potentielle d’une charge placée dans un champ extérieur
WA→Best indépendant du chemin suivi, c’est à dire que ~ Fest une force conservative et on peut
définir une énergie potentielle dont elle dérive (Cf. M3)
δW =−qdVe=−d(qVe+Cte) = −dEp
Ep=qVe+Cte ⇒WA→B=−∆Epet δW =~
F .d~r =−dEp⇐⇒ ~ F=−−−−→ grad Ep
Remarques :
•La relation ~ F=−−−−→ grad Epimplique que le déplacement spontané de Mse fait toujours dans
le sens des Epdécroissantes : équilibre stable si Epminimale (Cf. M3).
•La relation ~ F=−−−−→ grad Epest généralisables à toutes les forces conservatives ~ Fqui dérive d’une
énergie potentielle Ep.
3. Énergie potentielle d’interaction électrostatique d’une distribution de
2 charges
Soit la distribution {charge q1en P1et q2en P2}.
Son énergie potentielle (intérieure) est l’énergie potentielle de M2dans le champ créé par M1: En
effet l’espace, au départ, est vide de charge donc l’opérateur ne fournit aucun travail électrique pour
amener q1en P1. En revanche, il fournit un travail q2V1(P2)pour amener la charge q2placée à l’infini
au point P2.
On sait que V1(P2)=1
4πε0
q1
P1P2et V2(P1) = 1 4πε0
q2
P1P2
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