champ electrostatique de deux plans infinis

ELECTROSTATIQUE : TD n°3
A – APPLICATIONS DU COURS
1°) Calculer le potentiel V(M) en un point éloigné d’un doublet électrostatique (N,P).
Rép : V(M)=p.er/40r²
2°) Calculer le champ E(M) en un point éloigné d’un doublet électrostatique (N,P).
a) Dans un premier temps on démontrera que grad(p.r)=p et grad(1/r3)=-3r/r5.
b) En utilisant le fait que grad(fg)=f.gradg+g.gradf, retrouver l’expression de E vu en cours.
Rép : a) trivial si on connaît le gradient en coordonnées sphériques
b) E(M)=1/40r3.[-p+3(p.er).er]
3°) Calculer la force que subit le dipôle dans un champ électrostatique non uniforme.
Rép : F=grad(p.E)
4°) Calculer le moment que subit le dipôle dans un champ électrostatique extérieur E0.
Rép : 0=p^E0
5°) Calculer l’énergie potentielle du dipôle.
Rép : W=d=d(p.E) Ep=-p.E
B – TRAVAUX DIRIGES
I – ETUDE D’UNE DISTRIBUTION DE CHARGES BIFILAIRES
Soit deux fils infinis parallèles à l’axe (Oz), portant les densités
linéiques de charge  et -, distants de 2a. Le point M est repéré par ses
coordonnées cylindriques (r,,z).
1°) Donner l’expression du potentiel V(M) créé en M par la
distribution bifilaire. On choisira V=0 à égale distance des deux fils. On
pourra utiliser r1 et r2 pour repérer le point M.
2°) Les deux fils sont très proches, c’est à dire ri>a.
a) Calculer un développement limité du potentiel V(r,) en ne conservant que les termes du
premier ordre en a/r. Discuter le résultat obtenu.
b) En déduire les composantes Er et E du champ créé par les deux fils.
3°) Les deux fils précédents sont maintenant placés dans un champ électrique uniforme E0=-E0ex
a)
Donner l’expression du potentiel V0(r,) dont dérive le champ
E0. On choisira l’origine des potentiels en x=0.
b)
Donner l’expression du potentiel créé par l’ensemble.
c)
En déduire les composantes du champ électrostatique.
d)
Montrer qu’il existe une surface cylindrique d’axe (Oz) telle
que le champ calculé au c) soit tangent à cette surface ;
déterminer le rayon R de ce cylindre.
e)
Donner l’expression du champ en fonction de E0, R, r et .
Donner l’allure des lignes de champ à l’extérieur du cylindre.
Rép : 1°)V(M)=-/20.Ln(r2/r1)
2°) a) V(M)=acos/0r
E=asin/0r²
3°) a) V0=E0rcos
b) V=rcos(a/0r²+E0)
c) Er=cos(a/0r²-E0) et E=sin(a/0r²+E0)
et E=E0sin(R²/r²+1)...
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b)
Er=acos/0r²
d) R=(a/0E0)1/2
et
e) Er=E0cos(R²/r²-1)
II – CHAMP ELECTROSTATIQUE DE DEUX PLANS INFINIS UNIFORMEMENT CHARGES
Soit deux plans infinis parallèles
1°) Calculer le champ électrostatique créé dans tout l’espace par un seul plan infini uniformément chargé
avec la densité surfacique .
2°) Calculer le champ électrostatique créé dans tout l’espace par deux plans infinis uniformément chargé
avec la densité surfaciquepour celui situé à z=e/2 et - pour celui situé à z=-e/2.
3°) En déduire le potentiel électrostatique de ce système en tout point de l’espace, on prendra V(0)=0.
4°) On considère maintenant des plans de surface S, en négligeant les effets de bords. En déduire la
capacité de ce condensateur.
Rép : 1°) E(M)=/20.z/z.ez 2°) z>e/2 E=0 et z<e/2  E=-/0.ez
V=/0.z
4°) C=0S/e
3°)
z>e/2
V=ez/20z
et
siz<e/2
C – EXERCICES SUPPLEMENTAIRES
I – CHAMP QUADRIPOLAIRE
Quatre charges sont disposées dans le plan (xOy): -q en (o,a) &t (0,-a), et +q en (a,0) & (-a,0).
1°) Calculer le potentiel et le champ créé par la distribution de charges pour r>>a.
2°) En déduire le potentiel et le champ créé par la distribution de charges pour r<<a.
Rép : 1°) V(M)=3qa²/40r3.[2cos²-1] pour r>>a…
2°) V(M)=3qr²/40a3.[2cos²-1] si r<<a.
II – CALCUL DE LA FORCE INSTANTANEE ENTRE DEUX DIPÔLES
Soit un dipôle p1 au point O et un dipôle p2 au point M (OM=r). Le dipôle p1 créé le champ E1, et le dipôle
p2 le champ E2.
1°) Quelle est l’énergie potentielle d’interaction existant entre ces deux dipôles?
2°) Quelle est la force subie par p2 de la part de p1?
Rép : 1°) Ep=1/40r5[3(p1.r)(p2.r)-r².p1.p2]
2°) F=3/(40r4).[p1.(p2.er)+p2.(p1.er)+er(p1.p2-5(p1.er)(p2.er))]
III - SYSTEME DE DEUX SPHERES CHARGEES EQUIVALENTS A UN DIPÔLE
On considère la superposition de deux sphères (S1) et (S2), de même rayon R, de centres O1 & O2,
chargées uniformément en volume avec les densités volumiques respectives etn pose O1O2=a et a=n
supposera a<<R.
1°) Donner l’expression du champ électrostatique en tout point intérieur aux deux sphères.
2°) A quel système électrostatique l’ensemble des deux sphères est-il équivalent, pour la région extérieure
aux deux sphères. Calculer l’expression du potentiel et du champ électrostatique en tout point extérieur aux deux
sphères.
3°) Montrer que le système des deux sphères est équivalent, pour le champ créé, à une sphère
conductrice de rayon R, de centre le milieu O de O1O2, en équilibre et portant en chaque point P une charge
surfacique :  cosavec  O1O2, OP).
 : On pourra démontrer que l’élément de volume compris entre les deux sphères peut s’écrire ddS.acos.
Rép : 1°) E=/30.u 2°) Le système est équivalent à un doublet pour un point extérieur au système V(M)=pcos/40r² où p=.4R3/3.u
et E(M)=/30.(R/r)3.[2cos.er+sin.e] 3°) =0.cos.
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