HST-2901 Histoire des mathématiques

HST-2901 Histoire des math´ematiques
Exercices 5: math´ ematiques orientales et math´ ematiques m´ edi´ evales en Europe
1. Rappelons que pour r´esoudre l’´equation x3+cx =d, Omar Khayyam fait la construc-
tion suivante, o`u la parabole est d’´equation x2=√cy.
V´erifier que l’´equation du cercle est
x d
c−x!=y2
et d´eduire que x0est la solution de l’´equation.
2. Montrer qu’on peut construire la solution de l’´equation x3+d=cx en intersectant
l’hyperbole d’´equation y2 −x2+d
cx= 0 avec la parabole d’´equation x2=√cy. Tracer
ces deux courbes et trouver les valeurs de cet dpour lesquelles ces courbes sont
disjointes, tangentes, ou s’intersectent en deux points (dans le premier quadrant).
3. D´emontrer les propri´et´es suivantes des nombres de Fibonacci:
(a) Pour tout entier positif n,
F1+F2+F3+. . . +Fn=Fn+2 −1.
(b) Pour tout entier positif n,
F1+F3+F5+. . . +F2n−1=F2n.
(c) Pour tout entier positif n,
F2+F4+F6+. . . +F2n=F2n+1 −1.

4. Rappelons que Fibonacci appelait nombre congru un nombre de la forme
mn(m+n)(m−n) o`u m+nest pair
ou de la forme
4mn(m+n)(m−n) o`u m+nest impair.
Montrer qu’un nombre congru est toujours divisible par 24.
5. Dans la construction vue au cours du nombre congru, dans le cas 0 <m<n, avec
n
m<m+n m−navec met nde mˆeme parit´e, o`u utilise-t-on l’hypoth`ese n m<m+n m−n?
6. (a) Trouver toutes les suites distinctes de nombres impairs cons´ecutifs >1 dont la
somme est ´egale `a 120. Trouver trois carr´es cons´ecutifs dont l’´ecart est de 120.
(b) Mˆeme question pour la somme 240.
7. Supposons 0 < m < n, avec n
m<m+n m−navec met nde parit´e oppos´ee. V´erifier
que les 2n(m−n) nombres impairs cons´ecutifs dispos´es ´egalement de part et d’autre
de 2(m+n)m, et les 2m(m−n) nombres impairs cons´ecutifs dispos´es ´egalement de
part et d’autre de 2(n+m)n, constituent deux suites adjacentes de nombres impairs
cons´ecutifs sup´erieurs `a 1 qui ont la mˆeme somme 4mn(m+n)(m−n).
8. V´erifier que si 0 <m<n, avec n
m>m+n m−net met nde mˆeme parit´e, alors la suite
de m(m+n) nombres impairs cons´ecutifs centr´ee en (m−n)n, et la suite de m(m−n)
nombres impairs cons´ecutifs centr´ee en (m+n)nconstituent deux suites adjacentes de
nombres impairs cons´ecutifs >1 de mˆeme somme mn(m+n)(m−n).
Figure 1: Exercice 9 (b): le pentacle
9. Le nombre φ:= (√5−1)/2, qui est solution de l’´equation x2+x−1 = 0, et qui est
´egal `a limn→∞ Fn/Fn+1 est appel´e nombre d’or, et est connu de longue date.
(a) Chez Euclide, le probl`eme de couper en moyenne et extrˆeme raison un segment
donn´e consiste `a le couper de telle mani`ere que le rapport de la section la plus
courte `a la plus longue soit ´egal au rapport de la plus longue section au segment
entier. V´erifier que ce rapport est ´egal `a φ.

(b) Montrer que dans un pentagone r´egulier, le raport d’un cˆot´e `a la diagonale
(CD/AC sur la figure) est ´egal `a φ, et que deux diagonales qui s’intersectent
se coupent en moyenne et extrˆeme raison.
10* (a) D´emontrer le th´eor`eme suivant qui est dˆu `a Lam´e et date de 1845: parmi toutes les
paires de nombres naturels u > v > 0 pour lesquelles l’algorithme d’Euclide prend
exactement n´etapes pour arriver au reste 0, celle qui minimise uest u=Fn+2,
v=Fn+1.
(b) D´eduire que le nombre maximal d’´etapes pour trouver (a, b) est au plus 5 fois
nombre chiffres du plus petit des nombres a, b.