Mathématiques 7 année Module 7 L`analyse de données Durée
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Mathématiques 7e année Module 7 L’analyse de données Durée approximative : 18 heures [C] [L] [RP] [V] Communication Liens Résolution de problèmes Visualisation [CE] Calcul mental et estimation [R] Raisonnement [T] Technologie Programme d’études – Mathématiques 7e année Module 7 203 204 Programme d’études – Mathématiques 7e année Module 7 Module 7 - L’analyse de données Module 7 Aperçu Introduction Les élèves apprendront des techniques élémentaires d’analyse et de gestion de données. Ils apprendront aussi les concepts préliminaires des statistiques et des probabilités. Voici ce qui est important dans ce module : • • • • Il existe trois mesures de la tendance centrale; ce sont la moyenne, la médiane et le mode. Lorsque l’on décide quelle sera la mesure de la tendance centrale qui représentera le mieux un ensemble de données, la présence (et les effets) des valeurs aberrantes doit être prise en compte. Une probabilité est comprise entre deux valeurs 0 et 1, ou encore 0 % et 100 %. Une probabilité de 0 signifie qu’un événement est impossible, tandis qu’une probabilité de 1 signifie qu’un événement est certain. Il y a deux types de probabilités à envisager, les probabilités expérimentales et les probabilités théoriques. À mesure que le nombre d’essais d’une expérience augmente, la probabilité expérimentale qu’un événement se produise se rapproche de la probabilité théorique que cet événement se produise. Contexte Les élèves examineront des ensembles de données afin de déterminer les trois mesures de la tendance centrale. Ils se serviront de méthodes de calcul pour le faire et utiliseront également la technologie pour se faciliter la tâche. Les élèves devront déterminer l’existence éventuelle de valeurs aberrantes et en analyser les effets sur les mesures de la tendance centrale. Ils apprendront à déterminer la mesure qui représente le mieux un ensemble de données. Grâce aux compétences acquises dans les modules précédents (passage entre les fractions, nombres décimaux et pourcentages) les élèves exprimeront la probabilité d’un événement selon plusieurs formats. Ils apprendront ce que veut dire un événement certain ou impossible dans le langage des statistiques. Ils établiront un espace échantillonnal (listes de tous les résultats possibles) pour les événements. Ils utiliseront pour cela des diagrammes en arbre et des tables, puis se serviront un espace échantillonnal pour déterminer la probabilité que deux événements indépendants se produisent simultanément ou séquentiellement. Les élèves compareront ensuite les probabilités théoriques pour déterminer expérimentalement les probabilités des mêmes événements indépendants. Pourquoi ces concepts sont-ils importants? Comprendre l’analyse des données constitue une compétence précieuse pour toute personne vivant dans la société moderne du 21e siècle. Les concepts enseignés dans la gestion des données et les probabilités sont utilisés chaque jour pour prendre des décisions importantes dans de nombreux secteurs d’activité, tels que le marketing, la recherche, les sports, la médecine, le processus législatif, l’application de la loi, le commerce et le gouvernement. Être familier avec ces idées, permettra à l’élève de prendre des décisions pertinentes et intelligentes tout au long de sa vie. Et il y a aussi l’homme qui s’est noyé en traversant un ruisseau dont la profondeur moyenne était de six pouces. [Traduction] ~W.I.E. Gates Programme d’études – Mathématiques 7e année Module 7 205 Domaine : La statistique et la probabilité (l’analyse de données) Résultat d’apprentissage général: Recueillir, présenter et analyser des données afin de résoudre des problèmes Résultats d’apprentissage spécifiques L’élève doit pouvoir : 7SP1. Démontrer une compréhension de tendance centrale et d’étendue en : - déterminant les mesures de la tendance centrale (moyenne, médiane et mode) ainsi que l’étendue; - déterminant laquelle des mesures de la tendance centrale est la plus appropriée pour refléter les données recueillies. [C, R, RP, T] Indicateurs de rendement 7SP1.1 Déterminer la moyenne, la médiane et le mode d’un ensemble de données fourni et expliquer pourquoi ces mesures peuvent être identiques ou différentes. 7SP1.2 Déterminer l’étendue de différents ensembles de donnés fournis. 7SP1.3 Résoudre un problème donné qui comprend des mesures de tendance centrale. 206 Stratégies d’enseignement et d’apprentissage Les mesures de la tendance centrale nous permettent de décrire un ensemble de données au moyen d’un seul nombre significatif. L’étude de la moyenne, de la médiane et du mode comme mesures de la tendance centrale est totalement nouvelle pour ces élèves de 7e année. Ce qui est important dans cet indicateur de rendement est de déterminer la moyenne, la médiane et le mode et de comprendre que le contexte situationnel permettra de décider quelle est la mesure la plus significative. Il peut être approprié d’utiliser une, deux ou trois de ces mesures pour représenter un ensemble de données particulier. La moyenne est la somme des nombres d’un ensemble de données divisées par le nombre d’éléments de données (moyenne arithmétique). C’est le nombre que la plupart des gens utilisent lorsqu’ils parlent d’une valeur située entre plusieurs autres. La moyenne décrit un ensemble de données au moyen d’une valeur obtenue par combinaison de toutes les valeurs de l’ensemble, celles-ci étant distribuées également. La médiane est la valeur du milieu lorsque les données sont organisées en ordre numérique. La moitié des valeurs des données sont au-dessus de la médiane et l’autre moitié en dessous. S’il y a deux nombres au milieu d’un ensemble de données, la médiane est la moyenne de ces valeurs. La médiane peut être identique à la moyenne ou encore elle peut être différente. Le mode est le nombre qui est le plus fréquent dans un ensemble de données. Il est possible que l’ensemble de données ait un mode, plusieurs modes ou aucun mode. Le classement, les graphiques à barres et les diagrammes en arbre constituent des présentations utiles des données permettant d’identifier facilement le mode d’un ensemble de données particulier. Les élèves ont étudié ces présentations avant la 7e année. Lorsque l’on envisage des données comme un tout, il est souvent utile d’en examiner la dispersion. Une stratégie consiste à examiner l’étendue des données. Les élèves calculeront l’étendue en soustrayant la valeur la plus petite de la valeur la plus grande. L’étendue peut être utilisée avec une des autres mesures de la tendance centrale pour créer une meilleure représentation des données d’un ensemble. Programme d’études – Mathématiques 7e année Module 7 Domaine : La statistique et la probabilité (l’analyse de données) Résultat d’apprentissage général: Recueillir, présenter et analyser des données afin de résoudre des problèmes Stratégies d’évaluation Ressources/Notes Organisateur graphique Créez un organisateur à trois volets pour définir et représenter des exemples de chacune des mesures de la tendance centrale. Sur chacun des volets extérieurs, nommez et définissez la moyenne, la médiane et le mode. Sur le volet intérieur correspondant, créez un exemple de problème et résolvez-le en utilisant la mesure de la tendance centrale du volet du milieu. (Se reporter à l’annexe 4-D de la version anglaise du programme d’études, pour les organisateurs à trois volets.) Journal 1. Créez un ensemble de données pour chacun des cas suivants. Chaque ensemble doit comprendre au moins 6 données. A. Situation 1: La moyenne, la médiane et le mode sont identiques. B. Situation 2: La moyenne, la médiane et le mode sont différents. 2. Les données suivantes ont été recueillies pour représenter les progrès de deux élèves en classe de science. Chacun des élèves obtient la même note lorsque l’on calcule la moyenne. Trouvez l’étendue des données de chaque élève et expliquez comment l’étendue peut constituer une information utile pour représenter les progrès de chaque élève. A. Élève 1 : 76 % 78 % 80 % 82 % 84 % B. Élève 2 : 60 % 70 % 80 % 90 % 100 % Papier et crayon Entre janvier et mars, les cours de l’école ont été annulés à Neigeville sept fois à cause de blizzards. Les données suivantes indiquent la durée en jours de chacun des blizzards. 1 jour 4 jours 2 jours 3 jours 6 jours 2 jours 3 jours Trouvez la moyenne, la médiane et le mode de ces données. Programme d’études – Mathématiques 7e année Module 7 *Chenelière Mathématiques 7 Leçon 7.1 Leçon 7.2 Module 7: L’analyse de données GE: ProGuide, p. 4–7 & p. 8–12 FR : 7.11, 7.19 FR : 7.12, 7.20 CD-ROM Module 7 FR ME: p. 258–261 ME: p. 262–266 Cahier d’activités et d’exercices : p. 154–155 p. 156–157 * Légende GE : Guide d’enseignement (ProGuide) ME : Manuel de l’élève FR : Feuille reproductible FRO : Feuille reproductibleOutil 207 Domaine : La statistique et la probabilité (l’analyse de données) Résultat d’apprentissage général: Recueillir, présenter et analyser des données afin de résoudre des problèmes Résultats d’apprentissage spécifiques Stratégies d’enseignement et d’apprentissage Dans un ensemble de données, nous trouvons souvent des valeurs qui sont très différentes des autres. Ces valeurs sont appelées 7SP2. Déterminer l’effet de valeurs aberrantes. La présence de valeurs aberrantes peut avoir l’ajout d’une valeur une incidence sur la mesure de la tendance centrale qui représente aberrante sur la moyenne, la le mieux les données. médiane et le mode d’un Les valeurs aberrantes sont souvent identifiées dans les ensembles ensemble de données. numérotés mais peuvent aussi l’être dans diverses présentations de [C, L, R, RP] données. L’élève doit pouvoir : Indicateurs de rendement 7SP2.1 Analyser un ensemble de données fourni afin d’en identifier toute valeur aberrante. Soit chacun des scénarios suivants : Pour l’ensemble de données 3, 4, 5, 5, 6, 7 la moyenne 3 + 4 + 5 + 5 + 6 + 7 30 = = 5 est une bonne représentation, car 6 6 certaines des données sont légèrement supérieures et d’autres sont légèrement inférieures à la moyenne. Pour l’ensemble de données 3, 4, 5, 5, 6, 7 la médiane de 5 convient aussi. La moitié des données sont au-dessus de 5 et l’autre moitié en dessous. 7SP2.2 Expliquer les effets des valeurs aberrantes sur les mesures de tendance centrale d’un ensemble spécifique de données. Toutefois, si les données contiennent ne serait-ce qu’une ou deux valeurs extrêmes, la moyenne risque d’être moins représentative. Pour l’ensemble de données 3, 4, 5, 5, 6, 19 la moyenne 3 + 4 + 5 + 5 + 6 + 19 42 = = 7 est très influencée par la valeur 6 6 aberrante 19 et ne représente pas les données aussi bien que la médiane (3, 4, 5, 5, 6, 19) qui reste inchangée à 5. Les valeurs aberrantes peuvent ou non avoir une incidence sur le mode. Pour l’ensemble de données 4, 6, 5, 5, 5, 5 la moyenne de 4 + 6 + 5 + 5 + 5 + 5 30 = = 5 , la médiane de 5 (4, 6, 5, 5, 5, 5) et 6 6 le mode de 5 (4, 6, 5, 5, 5, 5) sont tous représentatifs. Mais dans le cas d’un ensemble de données tel que 9, 9, 2, 1, 4, 5 la valeur aberrante 9 est le mode, mais n’est pas représentative de l’ensemble. 208 Programme d’études – Mathématiques 7e année Module 7 Domaine : La statistique et la probabilité (l’analyse de données) Résultat d’apprentissage général: Recueillir, présenter et analyser des données afin de résoudre des problèmes Stratégies d’évaluation Ressources/Notes Papier et crayon Tanya a obtenu les notes suivantes à ses cinq premiers tests de mathématiques : 75 % 75 % 80 % 77 % 82 % A. Quel est la moyenne, la médiane et le mode? B. Malheureusement, Tanya n’a pas eu de très bons résultats lors du test suivant. Elle a seulement obtenu une note de 25 %. Quel effet, s’il y a lieu, cela a-t-il sur la mesure de la tendance centrale calculée en a)? Chenelière Mathématiques 7 Leçon 7.3 Module 7: L’analyse de données GE: ProGuide, p. 13–16 FR : 7.13, 7.21 CD-ROM Module 7 FR ME: p. 267–270 Cahier d’activités et d’exercices : p. 158–160 Programme d’études – Mathématiques 7e année Module 7 209 Domaine : La statistique et la probabilité (l’analyse de données) Résultat d’apprentissage général: Recueillir, présenter et analyser des données afin de résoudre des problèmes Résultats d’apprentissage spécifiques L’élève doit pouvoir : 7SP2. Déterminer l’effet de l’ajout d’une valeur aberrante sur la moyenne, la médiane et le mode d’un ensemble de données. [C, L, R, RP] (suite) Indicateurs de rendement 7SP2.3 Identifier les valeurs aberrantes d’un ensemble fourni de données et expliquer pourquoi il est approprié ou non d’en tenir compte lors de la détermination de mesures de tendance centrale. 7SP2.4 Fournir des exemples de situations dans lesquelles des valeurs aberrantes devraient ou ne devraient pas être incluses lors de la détermination de mesures de tendance centrale. Stratégies d’enseignement Il est possible de faire des erreurs durant le processus de collecte des données. Ces erreurs peuvent être causées par des problèmes de mesure humaine ou par la saisie de l’information. Les élèves doivent apprendre à établir une distinction entre une erreur se présentant sous la forme d’une valeur aberrante et une valeur légitime considérablement différente des autres. Les données directement attribuables à des erreurs sont omises du calcul des mesures de la tendance centrale. S’il n’y a eu aucune erreur, la valeur doit être incluse dans le calcul des mesures de la tendance centrale. Lorsque l’on choisit la meilleure mesure de la tendance centrale pour représenter un ensemble de données, la présence de valeurs aberrantes et leurs effets sur la moyenne, la médiane et le mode doivent être pris en compte. Exemple : Il a été demandé aux joueurs de l’équipe de basketball de la 7e année d’inscrire leur taille en centimètre sur un tableau dans la salle de classe. Les données obtenues ont été utilisées pour représenter la taille des joueurs de l’équipe. 155 cm 164 cm 185 cm 153 cm 182 cm 19 cm 150 cm 170 cm 182 cm 167 cm 159 cm 174 cm a) Est-ce que cet ensemble de données contient des valeurs aberrantes? Comment pouvez-vous le savoir? b) Suggérez la raison de la présence de la valeur aberrante détectée. Est-ce que cette valeur aberrante devrait être incluse dans les calculs des mesures de la tendance centrale? Pourquoi devraiton le faire ou non? c) Calculez la moyenne, la médiane et le mode de ces tailles. d) Quelle(s) mesure(s) de la tendance centrale utiliseriez-vous pour représenter la taille des joueurs de l’équipe? Pourquoi? (Les réponses à ces questions sont présentées à la page 212.) 210 Programme d’études – Mathématiques 7e année Module 7 Domaine : La statistique et la probabilité (l’analyse de données) Résultat d’apprentissage général: Recueillir, présenter et analyser des données afin de résoudre des problèmes Stratégies d’évaluation Ressources/Notes Journal Définissez le terme suivant: valeur aberrante. Donnez un exemple d’une situation dans laquelle une valeur aberrante doit être exclue des données avant le calcul des mesures de la tendance centrale. Pourquoi excluriez-vous la valeur aberrante dans ce cas? Chenelière Mathématiques 7 Leçon 7.3 (suite) Programme d’études – Mathématiques 7e année Module 7 211 Domaine : La statistique et la probabilité (l’analyse de données) Résultat d’apprentissage général: Recueillir, présenter et analyser des données afin de résoudre des problèmes Résultats d’apprentissage spécifiques Stratégies d’enseignement et d’apprentissage Réponses aux questions de la double page 210. L’élève doit pouvoir : 7SP2. Déterminer l’effet de l’ajout d’une valeur aberrante sur la moyenne, la médiane et le mode d’un ensemble de données. [C, L, R, RP] (suite) Indicateurs de rendement 7SP2.3 Identifier les valeurs aberrantes d’un ensemble fourni de données et expliquer pourquoi il est approprié ou non d’en tenir compte lors de la détermination de mesures de tendance centrale. (suite) 7SP2.4 Fournir des exemples de situations dans lesquelles des valeurs aberrantes devraient ou ne devraient pas être incluses lors de la détermination de mesures de tendance centrale. (suite) 212 a) Lorsqu’ils répondent à cette question, les élèves devraient être capables de déterminer que 19 cm est très différent de toutes les autres valeurs. Il y a une différence de plus de 130 cm par rapport à la valeur suivante la plus proche. b) L’élève a peut-être fait une erreur et aurait dû inscrire 190 cm. Malheureusement, nous ne pouvons pas le savoir avec certitude. Toutefois, il est bien évident que cette valeur aberrante est une erreur. Aucun élève de 7e année ne devrait pas avoir une taille de 19 cm. Par conséquent, cette valeur devrait être exclue lors du calcul des mesures de la tendance centrale. c) moyenne = 1841 = 167,36 soit 167 cm lorsque on arrondit. 11 médiane : 150, 153, 155, 159, 164, 167, 170, 174, 182, 182, 185 donc la médiane = 167 cm mode : Nous pourrons facilement voir dans la liste ordonnée que 182 cm est le mode. d) La moyenne et la médiane sont des bonnes représentations de la taille des joueurs de l’équipe. Par contre, le mode n’est pas un bon choix car il représente une taille supérieure à la plupart de celles des joueurs de l’équipe. Programme d’études – Mathématiques 7e année Module 7 Domaine : La statistique et la probabilité (l’analyse de données) Résultat d’apprentissage général: Recueillir, présenter et analyser des données afin de résoudre des problèmes Stratégies d’évaluation Ressources/Notes Chenelière Mathématiques 7 Leçon 7.3 (suite) Programme d’études – Mathématiques 7e année Module 7 213 Domaine : La statistique et la probabilité (l’analyse de données) Résultat d’apprentissage général: Recueillir, présenter et analyser des données afin de résoudre des problèmes Résultats d’apprentissage spécifiques L’élève doit pouvoir : 7SP1. Démontrer une compréhension de tendance centrale et d’étendue en : - déterminant les mesures de la tendance centrale (moyenne, médiane et mode) ainsi que l’étendue; - déterminant laquelle des mesures de la tendance centrale est la plus appropriée pour refléter les données recueillies. [C, R, RP, T] (suite) Indicateur de rendement 7SP1.4 Fournir un contexte dans lequel soit la moyenne, la médiane ou le mode d’un ensemble de données est la mesure de la tendance centrale la plus appropriée pour le décrire. Stratégies d’enseignement et d’apprentissage La discussion en salle de classe devrait maintenant porter sur des situations réalistes et sur les mesures de la tendance centrale à choisir. La moyenne est la mesure la plus significative si les données contiennent peu de valeurs aberrantes. Par exemple, lorsqu’un enseignant examine les progrès d’un élève, il calcule la moyenne de ses notes à condition que l’ensemble des notes ne contienne aucune valeur extrême. La médiane est plus significative s’il y a un petit nombre de valeurs très différentes. Dans ce cas, la médiane offre souvent une meilleure représentation des données. Par exemple, si un enseignant examine les progrès d’un élève qui a l’habitude d’avoir de bons résultats dans ses tests mais a eu un échec, il voudra peutêtre utiliser la médiane des notes de cet élève lorsqu’il discutera des résultats des tests avec ses parents lors d’une rencontre parentenseignants. Dans la vie, il existe certaines situations dans lesquelles le mode est la seule façon acceptable de mesurer la tendance centrale. Dans un magasin de chaussures ou de robes, on ne pensera pas qu’il est utile de savoir que la taille moyenne des chaussures ou des robes est 8,32. Exemple : Le personnel d’un restaurant doit préparer 400 repas par jour. Après une période de 15 jours, on a constaté qu’il y avait très souvent des repas non vendus. La gérante veut préparer suffisamment de nourriture pour ses clients mais elle veut aussi éviter d’en gaspiller. Afin de déterminer combien de repas le personnel devrait préparer chaque jour, elle a analysé les reçus des ventes pour calculer le nombre de repas vendus. Elle a noté le nombre de repas vendus chaque jour. 320 295 325 272 299 120 298 265 326 278 315 288 320 296 311 Analysez cette information pour déterminer combien de repas le personnel devrait préparer chaque jour. (Ce développement se poursuit à la page 216…) 214 Programme d’études – Mathématiques 7e année Module 7 Domaine : La statistique et la probabilité (l’analyse de données) Résultat d’apprentissage général: Recueillir, présenter et analyser des données afin de résoudre des problèmes Stratégies d’évaluation Ressources/Notes Entrevue Pour chaque situation, indiquez si la moyenne, la médiane ou le mode serait la valeur la plus utile à connaître. Justifiez votre choix. A. Vous commandez des chaussures pour jouer aux quilles. B. Vous voulez savoir si vous avez lu plus ou moins de livres par mois que la plupart des autres personnes dans votre classe. C. Vous voulez savoir quel est le montant dépensé en « moyenne » par semaine en nourriture non nutritive dans votre classe. Journal Darryl, Gordon et Joan sont les capitaines des équipes de maths de l’école. Les résultats des concours sont inscrits dans le tableau ci-dessous. Concours 1 Concours 2 Concours 3 Concours 4 Concours 5 Concours 6 Concours 7 Concours 8 Concours 9 Darryl 82 82 88 100 77 81 87 83 83 Gordon 84 84 90 71 78 87 89 88 86 Joan 85 85 85 81 81 85 82 85 83 A. Selon la moyenne, quelle est la meilleure équipe de mathématiques? B. Selon la médiane, quelle est la meilleure équipe de mathématiques? C. Selon le mode, quelle est la meilleure équipe de mathématiques? D. Quelle mesure devriez-vous choisir pour déterminer quelle est la meilleure équipe? Pourquoi? E. Pourquoi quelqu’un pourrait-il ne pas être d’accord avec vous? Programme d’études – Mathématiques 7e année Module 7 Chenelière Mathématiques 7 Leçon 7.4 Module 7: L’analyse de données GE: ProGuide, p. 17–21 FR : 7.14, 7.22 CD-ROM Module 7 FR ME: p. 271–275 Cahier d’activités et d’exercices : p. 161–163 215 Domaine : La statistique et la probabilité (l’analyse de données) Résultat d’apprentissage général: Recueillir, présenter et analyser des données afin de résoudre des problèmes Résultats d’apprentissage spécifiques Stratégies d’enseignement et d’apprentissage Réponse à la question à la page 214 : L’élève doit pouvoir : 7SP1. Démontrer une compréhension de tendance centrale et d’étendue en : - déterminant les mesures de la tendance centrale (moyenne, médiane et mode) ainsi que l’étendue; - déterminant laquelle des mesures de la tendance centrale est la plus appropriée pour refléter les données recueillies. [C, R, RP, T] (suite) Indicateur de rendement 7SP1.4 Fournir un contexte dans lequel soit la moyenne, la médiane ou le mode d’un ensemble de données est la mesure de la tendance centrale la plus appropriée pour le décrire. (suite) Une suggestion raisonnable serait de préparer 320 repas par jour. L’analyse suivante est suggérée. Les élèves devraient réfléchir pour trouver les mesures de la tendance centrale de ces données. 4328 = 288.53 . 15 Par conséquent, le nombre moyen de repas est 289. Moyenne = 120 265 272, 278 288 295, 296, 298, 299 311, 315 320, 320, 325, 326 La médiane est 298. Le mode est 320. Les élèves peuvent utiliser une calculatrice pour trouver la moyenne. En se servant d’une liste ordonnée, les élèves peuvent facilement trouver la médiane et le mode. Si les élèves décident de supprimer la valeur aberrante de 120, il n’y a pas de variation significative dans les mesures de la tendance centrale. Étant donné toutes les mesures de la tendance centrale, on peut facilement voir que la moyenne et la médiane ne conviennent pas dans ce contexte. Si la gérante prépare seulement 289 ou 298 repas chaque jour, le restaurant n’aura pas assez de repas par semaine. La conclusion logique semblerait être de préparer régulièrement 320 repas par jour pour réduire le gaspillage de la nourriture et presque toujours répondre aux commandes des clients. De temps en temps, le restaurant pourrait devoir préparer quelques repas de plus sur demande. 216 Programme d’études – Mathématiques 7e année Module 7 Domaine : La statistique et la probabilité (l’analyse de données) Résultat d’apprentissage général: Recueillir, présenter et analyser des données afin de résoudre des problèmes Stratégies d’évaluation Ressources/Notes Chenelière Mathématiques 7 Leçon 7.4 (suite) Programme d’études – Mathématiques 7e année Module 7 217 Domaine : La statistique et la probabilité (la chance et l’incertitude) Résultat d’apprentissage général: Utiliser les probabilités expérimentale ou théorique pour représenter et résoudre des problèmes comportant des incertitudes Résultats d’apprentissage spécifiques L’élève doit pouvoir : 7SP4. Exprimer des probabilités sous forme de rapports, de fractions et de pourcentages. [C, L, R, V, T] Stratégies d’enseignement et d’apprentissage En 6e année, on a présenté la probabilité aux élèves comme étant une mesure de la possibilité qu’un événement se produise. Ils ont aussi appris comment identifier des résultats possibles et déterminer les probabilités théoriques et expérimentales. On peut parfois obtenir la probabilité théorique en examinant soigneusement les résultats possibles et en utilisant les règles de probabilité. Par exemple, lorsque l’on tire à pile ou face, il y a seulement deux résultats possibles et donc la probabilité d’avoir face est en théorie ½. Souvent, dans les situations réelles faisant intervenir des probabilités, il n’est pas possible de déterminer la probabilité théorique. Nous devons nous reposer sur l’observation de plusieurs essais (expériences) et d’une bonne estimation pouvant souvent être réalisée grâce à un processus de collecte de données. On parle alors de probabilité expérimentale. Indicateur de rendement 7SP4.1 Déterminer la probabilité de l’un des résultats d’une expérience de probabilité et exprimer cette probabilité sous la forme d’un rapport, d’une fraction et d’un pourcentage. Il est important que les élèves arrivent à comprendre qu’une probabilité peut être représentée selon plusieurs formes. La probabilité qu’un événement se produise est le plus souvent représentée au moyen d’une fraction dans laquelle le numérateur représente le nombre de résultats favorables et le dénominateur représente le nombre total de résultats possibles. P(événement) = Nombre de résultats favorables Nombre de résultats possibles Cette représentation a de nombreux avantages car elle permet souvent de conserver les nombres originaux dans des situations simples. La probabilité peut de même être représentée sous forme d’un rapport. Toutefois, la probabilité peut aussi tout simplement être représentée sous forme d’un nombre décimal. En outre, les élèves entendent souvent parler dans les nouvelles et les bulletins météorologiques de diverses probabilités présentées sous forme de pourcentages. Par exemple, la probabilité de pluie un jour donné est presque toujours indiquée sous forme d’un pourcentage. Pour que toutes les situations rencontrées soient significatives pour l’élève, celui-ci doit étudier tous les représentations des probabilités (fractions et nombres décimaux, rapports et pourcentages). 218 Programme d’études – Mathématiques 7e année Module 7 Domaine : La statistique et la probabilité (la chance et l’incertitude) Résultat d’apprentissage général: Utiliser les probabilités expérimentale ou théorique pour représenter et résoudre des problèmes comportant des incertitudes Stratégies d’évaluation Ressources/Notes Papier et crayon Chris a noté les résultats obtenus en faisant tourner une roulette dans le tableau ci-dessous. 2 1 3 2 3 4 1 5 4 2 1 4 2 1 5 1 1 2 2 3 2 3 3 1 1 Trouvez chacune des probabilités suivantes. Exprimez chaque fois votre réponse sous forme d’un rapport, d’une fraction ou d’un pourcentage. A. P (probabilité que la roulette pointe sur 2) B. P (probabilité que la roulette pointe sur 5) C. P (probabilité que la roulette pointe sur un nombre pair) Entrevue Utilisez une balance avec les points de repère suivants : 0 (0 %), 1 3 (50 %), (75 %) et 1 (100 %) pour évaluer la 2 4 probabilité raisonnable des événements décrits ci-dessous. (25 %), Expliquez chacun de vos choix. A. Le prochain enfant né dans votre ville sera un garçon. B. Il neigera au moins une fois dans le mois de juin. C. Être capable de vivre 6 mois sans eau. D. Le soleil se couchera demain. Programme d’études – Mathématiques 7e année Module 7 1 4 Chenelière Mathématiques 7 Leçon 7.5 Module 7: L’analyse de données GE: ProGuide, p. 25–29 FR : 7.10, 7.15, 7.23 CD-ROM Module 7 FR ME: p. 279–283 Cahier d’activités et d’exercices : p. 164–166 219 Domaine : La statistique et la probabilité (la chance et l’incertitude) Résultat d’apprentissage général: Utiliser les probabilités expérimentale ou théorique pour représenter et résoudre des problèmes comportant des incertitudes Résultats d’apprentissage spécifiques Stratégies d’enseignement et d’apprentissage L’élève doit pouvoir : 7SP4. Exprimer des probabilités sous forme de rapports, de fractions et de pourcentages. [C, L, R, V, T] (suite) Indicateur de rendement 7SP4.2 Fournir un exemple d’un évènement dont la probabilité est 0 ou 0 % (impossible) et d’un évènement dont la probabilité d’un évènement est 1 ou 100 % (certain). 220 Les élèves devraient comprendre que les événements impossibles ont une probabilité de 0 et que les événements qui se produiront certainement ont une probabilité de 1. Programme d’études – Mathématiques 7e année Module 7 Domaine : La statistique et la probabilité (la chance et l’incertitude) Résultat d’apprentissage général: Utiliser les probabilités expérimentale ou théorique pour représenter et résoudre des problèmes comportant des incertitudes Pistes d’évaluation Ressources/Notes Papier et crayon Il a été demandé à Chris de trouver deux probabilités à partir des résultats qu’il a obtenus en faisant tourner une roulette. 2 1 3 2 3 4 1 5 4 2 1 4 2 1 5 1 1 2 2 3 2 3 3 1 1 Exprimez chaque fois votre réponse sous forme d’un rapport, d’une fraction et d’un pourcentage. A. P (la roulette pointe sur 7) B. P (la roulette pointe sur 1, 2, 3, 4 ou 5) Programme d’études – Mathématiques 7e année Module 7 Chenelière Mathématiques 7 Leçon 7.5 (suite) 221 Domaine : La statistique et la probabilité (la chance et l’incertitude) Résultat d’apprentissage général: Utiliser les probabilités expérimentale ou théorique pour représenter et résoudre des problèmes comportant des incertitudes Résultats d’apprentissage spécifiques Stratégies d’enseignement et d’apprentissage En 7e année, l’étude de l’espace échantillonnal est limitée aux L’élève doit pouvoir : événements indépendants. Des événements sont considérés 7SP5. Identifier l’espace comme étant indépendants si les résultats de l’un ne dépendent échantillonnal (dont l’espace pas du résultat de l’autre. L’espace échantillonnal d’une combiné a 36 éléments ou probabilité est la liste de tous les résultats possibles des moins) d’une expérience de événements. probabilité comportant deux évènements indépendants. Les élèves doivent comprendre que lorsque l’on fait tourner une [C, CE, RP] roulette à quatre côtés, cela n’a aucune incidence sur le nombre que l’on obtiendra en lançant un dé à huit faces. Indicateurs de rendement Les élèves exploreront diverses façons d’organiser l’espace 7SP5.1 Fournir un exemple échantillonnal de deux événements indépendants. de paires d’évènements indépendants tels que : - faire tourner une roulette ayant quatre secteurs et lancer un dé à huit faces; - lancer une pièce de monnaie et lancer un dé à douze faces; - lancer deux pièces de monnaie; - lancer deux dés. Expliquer pourquoi ces évènements sont des évènements indépendants. 7SP5.2 Identifier l’espace échantillonnal (l’ensemble des résultats possibles) de chacun des deux évènements indépendants d’une expérience donnée en utilisant un diagramme en arbre, un tableau ou un autre outil de classement graphique. 222 Par exemple : Quel est l’espace échantillonnal lorsque l’on fait tourner une roulette à quatre couleurs et que l’on lance un dé à six faces? Avec une table : Roulette Rouge Rouge Rouge Rouge Rouge Rouge Jaune Jaune Jaune Jaune Jaune Jaune Dé 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 Roulette Vert Vert Vert Vert Vert Vert Bleu Bleu Bleu Bleu Bleu Bleu Dé 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 (Ce développement se poursuit à la page 224.) Programme d’études – Mathématiques 7e année Module 7 Domaine : La statistique et la probabilité (la chance et l’incertitude) Résultat d’apprentissage général: Utiliser les probabilités expérimentale ou théorique pour représenter et résoudre des problèmes comportant des incertitudes Stratégies d’évaluation Papier et crayon Suzie est une fille créative qui aime les couleurs vives et les combinaisons de couleurs intéressantes. Elle a dans son garde-robe divers hauts et bas parmi lesquels elle peut choisir. Parmi les hauts, elle a des gilets bleus, verts, jaunes, rouges, orange et roses. Parmi les bas, elle peut choisir une jupe, des bermudas, des pantalons capri, des jeans et des pantalons de sport. A. Quels sont les deux événements indépendants dans cet exemple? B. Expliquez pourquoi ces événements sont indépendants. C. En vous servant d’une méthode appropriée, identifiez l’espace échantillonnal qui décrit tous les ensembles possibles de hauts et de bas que Suzie peut combiner. D. La maman de Suzie lui achète une nouvelle chemise violette. Combien d’ensembles différents peut-elle maintenant assembler? Ressources/Notes Chenelière Mathématiques 7 Leçon 7.6 Module 7: L’analyse de données GE: ProGuide, p. 30–34 FR : 7.10, 7.16, 7.24 CD-ROM Module 7 FR ME: p. 284–288 Cahier d’activités et d’exercices : p. 167–170 Programme d’études – Mathématiques 7e année Module 7 223 Domaine : La statistique et la probabilité (la chance et l’incertitude) Résultat d’apprentissage général: Utiliser les probabilités expérimentale ou théorique pour représenter et résoudre des problèmes comportant des incertitudes Résultats d’apprentissage spécifiques Stratégies d’enseignement et d’apprentissage Avec un diagramme en arbre : L’élève doit pouvoir : 7SP5. Identifier l’espace échantillonnal (dont l’espace combiné a 36 éléments ou moins) d’une expérience de probabilité comportant deux évènements indépendants. [C, CE, RP] (suite) Indicateurs de rendement 7SP5.1 Fournir un exemple de paires d’évènements indépendants tels que : - faire tourner une roulette ayant quatre secteurs et lancer un dé à huit faces; - lancer une pièce de monnaie et lancer un dé à douze faces; - lancer deux pièces de monnaie; - lancer deux dés. Expliquer pourquoi ces évènements sont des évènements indépendants. (suite) Avec un graphique (par exemple un organisateur en arêtes de poisson) : 7SP5.2 Identifier l’espace échantillonnal (l’ensemble des résultats possibles) de chacun des deux évènements indépendants d’une expérience donnée en utilisant un diagramme en arbre, un tableau ou un autre outil de classement graphique. (suite) 224 Programme d’études – Mathématiques 7e année Module 7 Domaine : La statistique et la probabilité (la chance et l’incertitude) Résultat d’apprentissage général: Utiliser les probabilités expérimentale ou théorique pour représenter et résoudre des problèmes comportant des incertitudes Stratégies d’évaluation Ressources/Notes Chenelière Mathématiques 7 Leçon 7.6 (suite) Programme d’études – Mathématiques 7e année Module 7 225 Domaine : La statistique et la probabilité (la chance et l’incertitude) Résultat d’apprentissage général: Utiliser les probabilités expérimentale ou théorique pour représenter et résoudre des problèmes comportant des incertitudes Résultats d’apprentissage spécifiques L’élève doit pouvoir : 7SP6. Mener une expérience de probabilité pour comparer la probabilité théorique (déterminée en utilisant un diagramme en arbre, un tableau ou un autre outil de classement graphique) et expérimentale de deux évènements indépendants. [C, R, RP, T] Indicateurs de rendement 7SP6.1 Déterminer la probabilité théorique d’un résultat donné comportant deux évènements indépendants. Stratégies d’enseignement et d’apprentissage La probabilité théorique d’un événement est le rapport du nombre de résultats favorables d’un événement sur le nombre total de résultats possibles lorsque tous les résultats possibles sont également probables. Elle peut uniquement être utilisée pour prédire ce qui se produira à long terme lorsque des événements ont la même probabilité d’occurrence. La probabilité théorique de l’événement Y est : nombre total de résultats favorables espace échantillonnal (nombre total de résultats possibles) La probabilité expérimentale est le rapport du nombre de résultats favorables d’un événement sur le nombre de résultats possibles (espace échantillonnal) observés dans des simulations et des expériences. Les élèves devraient réaliser que, dans de nombreuses situations, la probabilité ne peut pas être caractérisée comme également possible, comme c’est par exemple le cas lorsque l’on lance en l’air une punaise pour voir si elle atterrit avec la pointe vers le haut ou le bas, et par conséquent, la probabilité théorique est plus difficile à déterminer. Dans de tels cas, des expériences peuvent être effectuées pour identifier la probabilité. La probabilité expérimentale d’un événement Y est : P (Y) = P(Y) = 7SP6.2 Mener une expérience de probabilité à la suite de deux évènements indépendants, avec ou sans l’aide de la technologie, afin de comparer la probabilité expérimentale et la probabilité théorique. nombre total d' occurences observées de Y espace échantillonnal (nombre total de résultats possibles) Avant d’effectuer des expériences, les élèves devraient prédire la probabilité chaque fois qu’ils le peuvent et faire des expériences pour vérifier ou réfuter leur prédiction. Lorsqu’ils font des expériences, les élèves peuvent utiliser divers matériels. Cela peut être des roulettes, des dés, des pièces de monnaie et des billes colorées et ils peuvent également se servir de simulations de calculatrice graphique (TI-84) ou de logiciels informatiques (Winstats) ou encore de générateurs de probabilités SmartBoard. (Ce développement se poursuit à la page 228.) 226 Programme d’études – Mathématiques 7e année Module 7 Domaine : La statistique et la probabilité (la chance et l’incertitude) Résultat d’apprentissage général: Utiliser les probabilités expérimentale ou théorique pour représenter et résoudre des problèmes comportant des incertitudes Stratégies d’évaluation Ressources/Notes Observation informelle Faites une expérience consistant à faire tourner la roulette deux fois pour trouver la somme des nombres obtenus. Prédisez la somme qui sera la plus fréquente. Expliquez votre raisonnement. 1 3 2 Télécharger gratuitement le logiciel Winstats qui est disponible au logiciel Peanut au site : http://math.exeter.edu/rparris Les enseignants voudront peut-être que les élèves travaillent en équipe de deux pour faire l’expérience, chaque groupe faisant 10 ou 20 essais. Réunissez les résultats pour avoir au moins 100 essais. Demandez aux élèves de comparer les résultats expérimentaux à leur prédiction et expliquez pourquoi il peut y avoir des différences. Chenelière Mathématiques 7 Leçon 7.6 (suite) Programme d’études – Mathématiques 7e année Module 7 227 Domaine : La statistique et la probabilité (la chance et l’incertitude) Résultat d’apprentissage général: Utiliser les probabilités expérimentale ou théorique pour représenter et résoudre des problèmes comportant des incertitudes Résultats d’apprentissage spécifiques L’élève doit pouvoir : 7SP6. Mener une expérience de probabilité pour comparer la probabilité théorique (déterminée en utilisant un diagramme en arbre, un tableau ou un autre outil de classement graphique) et expérimentale de deux évènements indépendants. [C, R, RP, T] (suite) Stratégies d’enseignement et d’apprentissage Par exemple, une expérience consistant à lancer deux pièces de monnaie a été faite. Demandez aux élèves de déterminer combien de fois, ils obtiendraient deux faces au bout de 64 essais? Expliquez votre raisonnement. Demandez aux élèves de travailler en équipe de deux pour effectuer l’expérience. Chaque groupe fait 10 ou 20 essais. Réunissez les résultats pour avoir 64 essais puis ajoutez d’autres essais au besoin pour montrer que la probabilité expérimentale se rapproche de la probabilité théorique à mesure que le nombre d’essais augmente. Demandez aux élèves de calculer la probabilité expérimentale d’obtenir deux faces lorsque deux pièces sont lancées. Demandez aux élèves de comparer la probabilité expérimentale à la probabilité théorique. (Cela peut être fait par simulation à l’aide de la calculatrice graphique TI-84.) Indicateurs de rendement 7SP6.1 Déterminer la probabilité théorique d’un résultat donné comportant deux évènements indépendants. (suite) 7SP6.2 Mener une expérience de probabilité à la suite de deux évènements indépendants, avec ou sans l’aide de la technologie, afin de comparer la probabilité expérimentale et la probabilité théorique. (suite) 228 Programme d’études – Mathématiques 7e année Module 7 Domaine : La statistique et la probabilité (la chance et l’incertitude) Résultat d’apprentissage général: Utiliser les probabilités expérimentale ou théorique pour représenter et résoudre des problèmes comportant des incertitudes Stratégies d’évaluation Ressources/Notes Télécharger gratuitement le logiciel Winstats qui est disponible au logiciel Peanut au site : http://math.exeter.edu/rparris Chenelière Mathématiques 7 Leçon 7.6 (suite) Programme d’études – Mathématiques 7e année Module 7 229 Domaine : La statistique et la probabilité (la chance et l’incertitude) Résultat d’apprentissage général: Utiliser les probabilités expérimentale ou théorique pour représenter et résoudre des problèmes comportant des incertitudes Résultats d’apprentissage spécifiques Stratégies d’enseignement et d’apprentissage L’élève doit pouvoir : 7SP6. Mener une expérience de probabilité pour comparer la probabilité théorique (déterminée en utilisant un diagramme en arbre, un tableau ou un autre outil de classement graphique) et expérimentale de deux évènements indépendants. [C, R, RP, T] (suite) Il est essentiel de tenir compte du contexte lorsque l’on résout des problèmes liés à des probabilités. Indicateur de rendement L’exemple suivant remet en question l’équité des règles du jeu (adapté de Van de Walle, p. 335). 7SP6.3 Résoudre un problème de probabilité donné comportant deux évènements indépendants. Trois élèves jouent à un jeu dans lequel on lance une pièce de monnaie et des points sont attribués selon les règles suivantes : Le joueur A obtient un point s’il obtient deux faces. Le joueur B obtient un point s’il obtient deux piles. Le joueur C obtient un point s’il obtient une pile et une face. Les élèves jouent à ce jeu vingt fois. Le joueur qui a le plus de points gagne. La discussion au sujet de cette activité peut porter principalement sur des questions telles que les suivantes : • Un joueur est-il favorisé? Comment le savez-vous? Pourquoi ce joueur est-il favorisé? Est-il probable que ce joueur gagnera la prochaine partie? Est-ce que l’on peut garantir que ce joueur gagnera la prochaine partie? • De combien de façon peut-on obtenir deux faces? Deux piles? Une face et une pile? • Ce jeu est-il équitable? Il sera utile d’examiner à la fois les probabilités théoriques et expérimentales. 230 Programme d’études – Mathématiques 7e année Module 7 Domaine : La statistique et la probabilité (la chance et l’incertitude) Résultat d’apprentissage général: Utiliser les probabilités expérimentale ou théorique pour représenter et résoudre des problèmes comportant des incertitudes Stratégies d’évaluation Ressources/Notes Papier et crayon Le MP3 tout neuf de Matthew a seulement 5 chansons en mémoire. Elles sont toutes différentes. Il appuie sur le bouton de lecture aléatoire pour sélectionner une chanson. La chanson préférée de Matthew « Bright Light » commence à jouer. À la fin de cette chanson, il appuie à nouveau sur le bouton de lecture aléatoire pour faire une autre sélection aléatoire. A. Organisez l’espace échantillonnal (résultats possibles) du choix aléatoire de deux chansons. B. Quelle est la probabilité que Matthew entende sa chanson préférée deux fois de suite? Montrez de façon claire comment vous avez obtenu votre réponse. Chenelière Mathématiques 7 Leçon 7.6 (suite) Problèmes du module: Pages 296 et 297 Programme d’études – Mathématiques 7e année Module 7 231 232 Programme d’études – Mathématiques 7e année Module 7
