Algèbre linéaire

MP*1 2016/2017
Algèbre linéaire
Dans tout ce qui suit, Kdésigne un corps commutatif.
1 Espaces vectoriels, familles de vecteurs, dimension
Exercice 1. Soit Eun R-espace vectoriel, Fun sous-espace vectoriel de Edistinct de {0}et de E,S
un supplémentaire de Fdans Eet (ei)i∈Iune base de S. Pour a∈F, on pose
Sa=Vect (a+ei)i∈I.
1. Montrer que Saest un supplémentaire de Fdans E.
2. Montrer que, si a6=b, alors Sa6=Sb. Conclusion ?
Exercice 2.
1. À tout nombre complexe z, on associe la suite géométrique θz= (zn)n≥0. Montrer que la famille
(θz)z∈Cest libre.
2. On note Pl’ensemble des suites périodiques de nombres complexes. Trouver une base de P.
Exercice 3. Soit Eun espace vectoriel sur un corps commutatif infini K,n≥2et F1, . . . , Fndes
sous-espaces vectoriels de E.
1. Montrer, en raisonnant par récurrence sur n, que Sn
i=1 Fiest un sous-espace vectoriel de Esi
et seulement si l’un des Ficontient tous les autres.
2. Dans quelle mesure le résultat s’étend-il à un corps commutatif fini ?
Exercice 4 (Indice de Riesz).Soit Eun K-espace vectoriel, et f∈L(E). Pour tout n∈N, on pose
Kn= ker fnet In=Im fn,puis K=Sn≥0Knet I=Tn≥0In.
1. Montrer que Ket Isont des sous-espaces vectoriels de E.
2. Montrer que s’il existe un naturel qtel que Iq=Iq+1, alors In=Iqpour n≥q. Énoncer sans
démonstration des résultats analogues pour la suite (Kn)n≥0.
3. Dans la suite, on suppose qu’il existe des naturels pet qtels que Kp=Kp+1 et Iq=Iq+1.
Quitte à diminuer pet q, on peut les supposer minimaux. Montrer que E=K⊕I.
4. Montrer que p=q.
Exercice 5. Soit P∈C[X]de degré n≥0. Étudier la liberté de la famille (P(X), P (X+1), . . . , P (X+
n)).
Exercice 6. Soit γun réel positif qui ne soit pas un entier pair. Pour a∈[0,1], on définit
fa: [0,1] →R, x 7→ |x−a|γ.
1. Montrer que la famille (fa)a∈[0,1] est libre.
2. Montrer qu’il n’existe pas d’entier N≥1et de fonctions f1, . . . , fN, g1, . . . , gNcontinues de
[0,1] vers Rtelles que
|x−y|γ=
N
X
i=1
fi(x)gi(y)pour x, y ∈[0,1].
1

3. Reprendre les questions précédentes dans le cas où γest un entier pair.
Exercice 7. Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie, et (e1, . . . , en)une base de E. On fixe
a=Pn
i=1 aiei∈E, et on pose Ba= (a+e1, . . . , a +en). À quelle condition Baest-elle une base de E?
Exercice 8. Soit f1, . . . , fndes fonctions de Rvers R. Montrer que la famille (f1, . . . , fn)est libre si
et seulement s’il existe des réels x1, . . . , xntels que la matrice [fi(xj)]1≤i,j≤nsoit inversible.
Exercice 9. Soit Eun K-espace vectoriel. On suppose que E=F1⊕. . . ⊕Fn, où les Fisont des
sous-espaces vectoriels de E. On pose
Vi={f∈L(E)/Im f⊂Fi}pour 1≤i≤n.
Montrer que L(E) = V1⊕. . . ⊕Vn.
Exercice 10. Soit Eun C-espace vectoriel de dimension finie et p1, . . . , pndes endomorphismes de E.
Pour 1≤i≤n, on note Wil’image de pi. Montrer l’équivalence des énoncés suivants :
(i)E=Ln
i=1 Wiet, pour chaque i∈[[1, n]],piest la projection sur Wiparallèlement à Lj6=iWj;
(ii)p2
i=pipour 1≤i≤n,pi◦pj= 0 pour 1≤i6=j≤net p1+. . . +pn=idE.
Exercice 11. Soit Eun C-espace vectoriel de dimension finie, et p1, . . . , pndes projecteurs de E. On
pose p=Pn
k=1 pk. Montrer que pest un projecteur si et seulement si pi◦pj= 0 pour 1≤i6=j≤n.
On pourra utiliser la trace.
Exercice 12. Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie n≥1, et f∈L(E)nilpotent d’indice
3. Adapter la méthode vue en cours pour trouver une base de Edans laquelle la matrice de fest
agréable.
Exercice 13. Soit A, B ∈K[X]des polynômes non nuls, de degrés respectifs aet b, et m, n des entiers
naturels. Calculer la dimension de
{AP +BQ, (P, Q)∈Km[X]×Kn[X]}.
Exercice 14. Déterminer les sous-algèbres de dimension finie de C(R,R).
Exercice 15. Soit Eun R-espace vectoriel de dimension finie n≥2.
1. Montrer que l’ensemble des hyperplans de En’est pas dénombrable.
2. Montrer que En’est pas réunion d’une famille dénombrable d’hyperplans.
3. Soit (xk)k≥0une suite de vecteurs non nuls de E. Montrer qu’il existe une forme linéaire fsur
Etelle que f(xk)6= 0 pour k≥0.
2 Applications linéaires en dimension finie
Exercice 16. Soit Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de E, lui-même supposé de dimension finie
n≥1. Existe-t-il f∈L(E)tel que ker f=Fet Im f=G?
Exercice 17. Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie, et (f, g)∈L(E)2.
1. Montrer que rg (f+g)≤rg f+rg g.
2. Montrer que les énoncés suivants sont équivalents :
(i)rg (f+g) = rg f+rg g,
(ii)Im f∩Im g={0E}et ker f+ ker g=E.
Exercice 18. Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie n≥1. Montrer que L(E)possède une
base formée de projecteurs.
Exercice 19. Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie n≥1, et (xk)1≤k≤pune famille de
vecteurs de E. Déterminer dim {f∈L(E)/f(xk)=0pour 1≤k≤p}.
Exercice 20. Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie n≥2, et (u, v)∈L(E)2vérifiant :
2

(i)uou vest de rang ≥2,
(ii)pour chaque x∈E, la famille (u(x), v(x)) est liée.
Montrer que la famille (u, v)est liée. Est-ce vrai si on ne suppose plus (i)réalisée ?
Exercice 21. Soit Eun K-espace vectoriel, et f∈L(E)tel que ker fsoit de dimension finie. Montrer
qu’il existe des entiers naturels n0,aet btel que, pour n≥n0, l’on ait dim ker fn=an +b.
Exercice 22. Soit Eun R-espace vectoriel de dimension finie n≥1, et u∈L(E)tel que u2=−idE.
1. Soit Fun sous-espace vectoriel de Estable par u, et x∈E\F. Montrer que la somme
F+Vect (x, u(x)) est directe.
2. En déduire que nest pair.
3. Réciproquement, montrer que si nest pair, il existe u∈L(E)tel que u2=−idE.
4. Soit u∈L(E)tel que u3+u2+u= 0. Montrer que le rang de uest pair.
Exercice 23. Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie n≥1, et uun endomorphisme nilpotent
de Ed’indice p. Montrer l’équivalence p=n⇔rg u=n−1.
Exercice 24 (Théorème de Maschke).Soit Eun C-espace vectoriel de dimension finie, et Gun sous-
groupe fini de GL(E)de cardinal n. Soit Fun sous-espace vectoriel de Estable par tous les éléments
de G. On veut montrer que Fadmet un supplémentaire possédant la même propriété.
1. Montrer que cela équivaut à trouver un projecteur d’image Fqui commute avec tous les éléments
de G.
2. Soit pun projecteur d’image F. L’idée est alors de « moyenner » les conjugués de ppar les
éléments de G. On pose donc
q=1
nX
g∈G
gpg−1.
Montrer que qconvient, et conclure.
3. Variante dans le cas où K=R: trouver un produit scalaire sur Epour lequel les éléments de
Gsoient des automorphismes orthogonaux.
Exercice 25. Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie n≥1et f∈L(E). Montrer que les
assertions suivantes sont équivalentes :
(i)Im f= ker f,
(ii)f2= 0 et il existe g∈L(E)tel que f◦g+g◦f=idE.
Exercice 26. Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie n≥1et f∈L(E). On définit
Φ : L(E)→L(E), u 7→ f◦u◦f.
1. Montrer que f∈Im Φ.
2. Calculer la dimension de ker Φ.
3. Quelle est l’image de Φ?
Exercice 27. Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie n≥1, et (u, v)∈L(E)2. Déterminer le
rang de l’application linéaire
Φ : L(E)2→L(E),(f, g)7→ u◦f+g◦v.
Exercice 28. Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie n≥1. Un idéal à gauche (resp. à droite)
de L(E)est un sous-espace vectoriel Ide L(E)tel que f◦g∈V(resp. g◦f) pour (f, g)∈L(E)×I.
1. Donner des exemples d’idéaux à gauche de L(E).
2. Trouver tous les idéaux à gauche de L(E). On pourra utiliser les théorèmes de factorisation.
3. Déterminer de même les idéaux à droite de L(E).
3

3 Dualité
Exercice 29. On pose E=Rn[X]. Soit a0, . . . , andes réels fixés. Pour 0≤k≤n, on définit
ψk:E→R, P 7→ P(k)(ak). Montrer que (ψk)0≤k≤nest une base de E∗.
Exercice 30. On pose
I(P) = Z+∞
0
P(t)e−tdt pour P∈R[X].
1. Soit (α, β)∈R2fixé, tel que α6=β. Montrer l’existence d’un unique (λ, µ)∈R2vérifiant
I(P) = λP (α) + µP (β)pour P∈R1[X].
2. Montrer l’existence d’un quadruplet (λ, µ, α, β)∈R4vérifiant
I(P) = λP (α) + µP (β)pour P∈R3[X].
Que dire de l’unicité de (λ, µ, α, β)?
3. Avec le quadruplet défini en 2., et n≥4, que dire de l’ensemble des P∈Rn[X]tels que
I(P) = λP (α) + µP (β) ?
Exercice 31. Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie d≥1, et f1, . . . , fndes formes linéaires
sur E. On considère l’application
F:E→Kn, x 7→ (f1(x), . . . , fn(x)).
Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’elle soit surjective, puis injective.
Exercice 32. Soit (f1, . . . , fn)une famille libre de fonctions de Rvers R.
1. On pose E=Vect (f1, . . . , fn). Montrer que E∗possède une base de la forme (δx1, . . . , δxn), où
x1, . . . , xn∈Ret δx:E→R, f 7→ f(x).
2. Montrer qu’il existe des réels x1, . . . , xntels que la matrice
[fi(xj)]1≤i,j≤n
soit inversible.
Exercice 33. Soit Vun sous-espace de dimension finie de C([0,1],C), et (fn)n≥0une suite d’éléments
de Vconvergeant simplement vers une fonction f. Montrer que f∈Vet que la convergence est
uniforme. On pourra utiliser l’exercice 32.
Exercice 34. Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie n≥2.
1. On fixe un sous-espace vectoriel Fde E, et on pose AF={f∈L(E)/f(F)⊂F}. Montrer que
AFest une sous-algèbre de L(E), et préciser sa dimension.
2. Soit Aune sous-algèbre de L(E). On note rla codimension de A.
(a) Montrer qu’il existe une famille libre (f1, . . . , fr)de L(E)telle que
A={f∈L(E)/tr (f◦fi)=0pour 1≤i≤r}.
(b) Montrer que si g∈A,g◦fi∈Vect (f1, . . . , fr)pour 1≤i≤r.
(c) En déduire que si A6=L(E),dim A≤n2−n+ 1.
Exercice 35. Soit E=C([0,1],R)et f1, f2∈E. Déterminer l’image de l’application
ϕ:E→R2, u 7→ Z1
0
f1(t)u(t)dt, Z1
0
f2(t)u(t)dt.
4

4 Matrices
Exercice 36. Écrire la matrice A=2 0
01
2∈M2(R)comme un produit de matrices de transvection.
Exercice 37. Soit A∈M3,2(R)et B∈M2,3(R)telles que
AB =
0−1x
−1 0 y
−1−1z
.
1. Déterminer x, y et zpour que AB soit la matrice d’un projecteur. Dans la suite, on suppose
cette condition réalisée.
2. Déterminer les rangs de Aet B.
3. Dans ce cas, déterminer BA.
Exercice 38. Soit n∈N, n ≥2. Le corps de base est C.
1. Résoudre le système linéaire :
x1+x2=b1, x2+x3=b2,......,xn−1+xn=bn−1, xn+x1=bn
2. Lorsqu’il est de Cramer, inverser sa matrice.
3. Application géométrique : on donne A1, A2,......,Andes points du plan. Existe-t-il des points
M1, M2,......,Mntels que A1soit le milieu de [M1, M2],A2soit le milieu de [M2, M3],...,
An−1soit le milieu de [Mn−1, Mn]et Ansoit le milieu de [Mn, M1]? Donner une construction
géométrique des points M1, M2,......,Mndans le cas où ils existent.
Exercice 39. Soit n≥2et (A, B)∈Mn(K)2tels que ABAB = 0. Est-il vrai que BABA = 0 ?
Exercice 40. Soit S={A1, . . . , Ar}une partie de GLn(R)de cardinal r, stable par produit. Montrer
que tr (A1) + . . . +tr (Ar)est un entier multiple de r.
Exercice 41. Soit A, B ∈Mn(K). Calculer la trace et le déterminant de l’application linéaire
Φ : Mn(K)→Mn(K), M 7→ AMB.
Exercice 42. Donner des exemples de sous-algèbres de M2(C)de dimension 1,2et 3, puis décrire
toutes ces sous-algèbres.
Exercice 43. On note SL2(Z)le groupe des matrices 2×2à coefficients entiers de déterminant 1, et
Gle sous-groupe de SL2(Z)engendré par les matrices
T=1 1
0 1 et S=0−1 1 0 .
1. Montrer que, pour tout n∈Z, les matrices de transvection
1n
0 1 et 1 0 n1
sont éléments de G.
2. Soit M=a b
c d ∈SL2(Z). Montrer qu’il existe P∈Gtelle que la première colonne de P M
soit ±1
0ou 0 ±1.
3. En déduire que SL2(Z)est engendré par Set T.
Exercice 44. Soit A∈GLn(C)telle que A=A−1. Montrer qu’il existe B∈GLn(C)telle que
A=B·B−1.
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