Algèbre linéaire

MP*1
2016/2017
Algèbre linéaire
Dans tout ce qui suit, K désigne un corps commutatif.
1
Espaces vectoriels, familles de vecteurs, dimension
Exercice 1. Soit E un R-espace vectoriel, F un sous-espace vectoriel de E distinct de {0} et de E, S
un supplémentaire de F dans E et (ei )i∈I une base de S. Pour a ∈ F , on pose
Sa = Vect (a + ei )i∈I .
1. Montrer que Sa est un supplémentaire de F dans E.
2. Montrer que, si a 6= b, alors Sa 6= Sb . Conclusion ?
Exercice 2.
1. À tout nombre complexe z, on associe la suite géométrique θz = (z n )n≥0 . Montrer que la famille
(θz )z∈C est libre.
2. On note P l’ensemble des suites périodiques de nombres complexes. Trouver une base de P.
Exercice 3. Soit E un espace vectoriel sur un corps commutatif infini K, n ≥ 2 et F1 , . . . , Fn des
sous-espaces vectoriels de E.
S
1. Montrer, en raisonnant par récurrence sur n, que ni=1 Fi est un sous-espace vectoriel de E si
et seulement si l’un des Fi contient tous les autres.
2. Dans quelle mesure le résultat s’étend-il à un corps commutatif fini ?
Exercice 4 (Indice de Riesz). Soit ESun K-espace vectoriel,
et f ∈ L(E). Pour tout n ∈ N, on pose
T
n
n
Kn = ker f et In = Im f , puis K = n≥0 Kn et I = n≥0 In .
1. Montrer que K et I sont des sous-espaces vectoriels de E.
2. Montrer que s’il existe un naturel q tel que Iq = Iq+1 , alors In = Iq pour n ≥ q. Énoncer sans
démonstration des résultats analogues pour la suite (Kn )n≥0 .
3. Dans la suite, on suppose qu’il existe des naturels p et q tels que Kp = Kp+1 et Iq = Iq+1 .
Quitte à diminuer p et q, on peut les supposer minimaux. Montrer que E = K ⊕ I.
4. Montrer que p = q.
Exercice 5. Soit P ∈ C[X] de degré n ≥ 0. Étudier la liberté de la famille (P (X), P (X +1), . . . , P (X +
n)).
Exercice 6. Soit γ un réel positif qui ne soit pas un entier pair. Pour a ∈ [0, 1], on définit
fa : [0, 1] → R, x 7→ |x − a|γ .
1. Montrer que la famille (fa )a∈[0,1] est libre.
2. Montrer qu’il n’existe pas d’entier N ≥ 1 et de fonctions f1 , . . . , fN , g1 , . . . , gN continues de
[0, 1] vers R telles que
|x − y|γ =
N
X
fi (x)gi (y) pour x, y ∈ [0, 1].
i=1
1
3. Reprendre les questions précédentes dans le cas où γ est un entier pair.
Exercice
Pn 7. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, et (e1 , . . . , en ) une base de E. On fixe
a = i=1 ai ei ∈ E, et on pose Ba = (a + e1 , . . . , a + en ). À quelle condition Ba est-elle une base de E ?
Exercice 8. Soit f1 , . . . , fn des fonctions de R vers R. Montrer que la famille (f1 , . . . , fn ) est libre si
et seulement s’il existe des réels x1 , . . . , xn tels que la matrice [fi (xj )]1≤i,j≤n soit inversible.
Exercice 9. Soit E un K-espace vectoriel. On suppose que E = F1 ⊕ . . . ⊕ Fn , où les Fi sont des
sous-espaces vectoriels de E. On pose
Vi = {f ∈ L(E)/Im f ⊂ Fi } pour 1 ≤ i ≤ n.
Montrer que L(E) = V1 ⊕ . . . ⊕ Vn .
Exercice 10. Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie et p1 , . . . , pn des endomorphismes de E.
Pour 1 ≤ i ≤Ln, on note Wi l’image de pi . Montrer l’équivalence des énoncés suivants :
L
(i) E = ni=1 Wi et, pour chaque i ∈ [[1, n]], pi est la projection sur Wi parallèlement à j6=i Wj ;
(ii) p2i = pi pour 1 ≤ i ≤ n, pi ◦ pj = 0 pour 1 ≤ i 6= j ≤ n et p1 + . . . + pn = idE .
ExerciceP
11. Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie, et p1 , . . . , pn des projecteurs de E. On
pose p = nk=1 pk . Montrer que p est un projecteur si et seulement si pi ◦ pj = 0 pour 1 ≤ i 6= j ≤ n.
On pourra utiliser la trace.
Exercice 12. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ≥ 1, et f ∈ L(E) nilpotent d’indice
3. Adapter la méthode vue en cours pour trouver une base de E dans laquelle la matrice de f est
agréable.
Exercice 13. Soit A, B ∈ K[X] des polynômes non nuls, de degrés respectifs a et b, et m, n des entiers
naturels. Calculer la dimension de
{AP + BQ, (P, Q) ∈ Km [X] × Kn [X]}.
Exercice 14. Déterminer les sous-algèbres de dimension finie de C(R, R).
Exercice 15. Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie n ≥ 2.
1. Montrer que l’ensemble des hyperplans de E n’est pas dénombrable.
2. Montrer que E n’est pas réunion d’une famille dénombrable d’hyperplans.
3. Soit (xk )k≥0 une suite de vecteurs non nuls de E. Montrer qu’il existe une forme linéaire f sur
E telle que f (xk ) 6= 0 pour k ≥ 0.
2
Applications linéaires en dimension finie
Exercice 16. Soit F et G deux sous-espaces vectoriels de E, lui-même supposé de dimension finie
n ≥ 1. Existe-t-il f ∈ L(E) tel que ker f = F et Im f = G ?
Exercice 17. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, et (f, g) ∈ L(E)2 .
1. Montrer que rg (f + g) ≤ rg f + rg g.
2. Montrer que les énoncés suivants sont équivalents :
(i) rg (f + g) = rg f + rg g,
(ii) Im f ∩ Im g = {0E } et ker f + ker g = E.
Exercice 18. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ≥ 1. Montrer que L(E) possède une
base formée de projecteurs.
Exercice 19. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ≥ 1, et (xk )1≤k≤p une famille de
vecteurs de E. Déterminer dim {f ∈ L(E)/f (xk ) = 0 pour 1 ≤ k ≤ p}.
Exercice 20. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ≥ 2, et (u, v) ∈ L(E)2 vérifiant :
2
(i) u ou v est de rang ≥ 2,
(ii) pour chaque x ∈ E, la famille (u(x), v(x)) est liée.
Montrer que la famille (u, v) est liée. Est-ce vrai si on ne suppose plus (i) réalisée ?
Exercice 21. Soit E un K-espace vectoriel, et f ∈ L(E) tel que ker f soit de dimension finie. Montrer
qu’il existe des entiers naturels n0 , a et b tel que, pour n ≥ n0 , l’on ait dim ker f n = an + b.
Exercice 22. Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie n ≥ 1, et u ∈ L(E) tel que u2 = −idE .
1. Soit F un sous-espace vectoriel de E stable par u, et x ∈ E \ F . Montrer que la somme
F + Vect (x, u(x)) est directe.
2. En déduire que n est pair.
3. Réciproquement, montrer que si n est pair, il existe u ∈ L(E) tel que u2 = −idE .
4. Soit u ∈ L(E) tel que u3 + u2 + u = 0. Montrer que le rang de u est pair.
Exercice 23. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ≥ 1, et u un endomorphisme nilpotent
de E d’indice p. Montrer l’équivalence p = n ⇔ rg u = n − 1.
Exercice 24 (Théorème de Maschke). Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie, et G un sousgroupe fini de GL(E) de cardinal n. Soit F un sous-espace vectoriel de E stable par tous les éléments
de G. On veut montrer que F admet un supplémentaire possédant la même propriété.
1. Montrer que cela équivaut à trouver un projecteur d’image F qui commute avec tous les éléments
de G.
2. Soit p un projecteur d’image F . L’idée est alors de « moyenner » les conjugués de p par les
éléments de G. On pose donc
1X
q=
gpg −1 .
n
g∈G
Montrer que q convient, et conclure.
3. Variante dans le cas où K = R : trouver un produit scalaire sur E pour lequel les éléments de
G soient des automorphismes orthogonaux.
Exercice 25. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ≥ 1 et f ∈ L(E). Montrer que les
assertions suivantes sont équivalentes :
(i) Im f = ker f ,
(ii) f 2 = 0 et il existe g ∈ L(E) tel que f ◦ g + g ◦ f = idE .
Exercice 26. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ≥ 1 et f ∈ L(E). On définit
Φ : L(E) → L(E), u 7→ f ◦ u ◦ f.
1. Montrer que f ∈ Im Φ.
2. Calculer la dimension de ker Φ.
3. Quelle est l’image de Φ ?
Exercice 27. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ≥ 1, et (u, v) ∈ L(E)2 . Déterminer le
rang de l’application linéaire
Φ : L(E)2 → L(E), (f, g) 7→ u ◦ f + g ◦ v.
Exercice 28. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ≥ 1. Un idéal à gauche (resp. à droite)
de L(E) est un sous-espace vectoriel I de L(E) tel que f ◦ g ∈ V (resp. g ◦ f ) pour (f, g) ∈ L(E) × I.
1. Donner des exemples d’idéaux à gauche de L(E).
2. Trouver tous les idéaux à gauche de L(E). On pourra utiliser les théorèmes de factorisation.
3. Déterminer de même les idéaux à droite de L(E).
3
3
Dualité
Exercice 29. On pose E = Rn [X]. Soit a0 , . . . , an des réels fixés. Pour 0 ≤ k ≤ n, on définit
ψk : E → R, P 7→ P (k) (ak ). Montrer que (ψk )0≤k≤n est une base de E ∗ .
Exercice 30. On pose
Z
+∞
I(P ) =
P (t)e−t dt pour P ∈ R[X].
0
1. Soit (α, β) ∈ R2 fixé, tel que α 6= β. Montrer l’existence d’un unique (λ, µ) ∈ R2 vérifiant
I(P ) = λP (α) + µP (β) pour P ∈ R1 [X].
2. Montrer l’existence d’un quadruplet (λ, µ, α, β) ∈ R4 vérifiant
I(P ) = λP (α) + µP (β) pour P ∈ R3 [X].
Que dire de l’unicité de (λ, µ, α, β) ?
3. Avec le quadruplet défini en 2., et n ≥ 4, que dire de l’ensemble des P ∈ Rn [X] tels que
I(P ) = λP (α) + µP (β) ?
Exercice 31. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie d ≥ 1, et f1 , . . . , fn des formes linéaires
sur E. On considère l’application
F : E → Kn , x 7→ (f1 (x), . . . , fn (x)).
Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’elle soit surjective, puis injective.
Exercice 32. Soit (f1 , . . . , fn ) une famille libre de fonctions de R vers R.
1. On pose E = Vect (f1 , . . . , fn ). Montrer que E ∗ possède une base de la forme (δx1 , . . . , δxn ), où
x1 , . . . , xn ∈ R et δx : E → R, f 7→ f (x).
2. Montrer qu’il existe des réels x1 , . . . , xn tels que la matrice
[fi (xj )]1≤i,j≤n
soit inversible.
Exercice 33. Soit V un sous-espace de dimension finie de C([0, 1], C), et (fn )n≥0 une suite d’éléments
de V convergeant simplement vers une fonction f . Montrer que f ∈ V et que la convergence est
uniforme. On pourra utiliser l’exercice 32.
Exercice 34. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ≥ 2.
1. On fixe un sous-espace vectoriel F de E, et on pose AF = {f ∈ L(E)/f (F ) ⊂ F }. Montrer que
AF est une sous-algèbre de L(E), et préciser sa dimension.
2. Soit A une sous-algèbre de L(E). On note r la codimension de A.
(a) Montrer qu’il existe une famille libre (f1 , . . . , fr ) de L(E) telle que
A = {f ∈ L(E)/tr (f ◦ fi ) = 0 pour 1 ≤ i ≤ r}.
(b) Montrer que si g ∈ A, g ◦ fi ∈ Vect (f1 , . . . , fr ) pour 1 ≤ i ≤ r.
(c) En déduire que si A 6= L(E), dim A ≤ n2 − n + 1.
Exercice 35. Soit E = C([0, 1], R) et f1 , f2 ∈ E. Déterminer l’image de l’application
Z 1
Z 1
2
ϕ : E → R , u 7→
f1 (t)u(t)dt,
f2 (t)u(t)dt .
0
0
4
4
Matrices
Exercice 36. Écrire la matrice A =
2 0
0 12
∈ M2 (R) comme un produit de matrices de transvection.
Exercice 37. Soit A ∈ M3,2 (R) et B ∈ M2,3 (R) telles que


0 −1 x
AB =  −1 0 y  .
−1 −1 z
1. Déterminer x, y et z pour que AB soit la matrice d’un projecteur. Dans la suite, on suppose
cette condition réalisée.
2. Déterminer les rangs de A et B.
3. Dans ce cas, déterminer BA.
Exercice 38. Soit n ∈ N, n ≥ 2. Le corps de base est C.
1. Résoudre le système linéaire :
x1 + x2 = b1 , x2 + x3 = b2 , . . . . . . , xn−1 + xn = bn−1 , xn + x1 = bn
2. Lorsqu’il est de Cramer, inverser sa matrice.
3. Application géométrique : on donne A1 , A2 , . . . . . . , An des points du plan. Existe-t-il des points
M1 , M2 , . . . . . . , Mn tels que A1 soit le milieu de [M1 , M2 ], A2 soit le milieu de [M2 , M3 ],...,
An−1 soit le milieu de [Mn−1 , Mn ] et An soit le milieu de [Mn , M1 ] ? Donner une construction
géométrique des points M1 , M2 , . . . . . . , Mn dans le cas où ils existent.
Exercice 39. Soit n ≥ 2 et (A, B) ∈ Mn (K)2 tels que ABAB = 0. Est-il vrai que BABA = 0 ?
Exercice 40. Soit S = {A1 , . . . , Ar } une partie de GLn (R) de cardinal r, stable par produit. Montrer
que tr (A1 ) + . . . + tr (Ar ) est un entier multiple de r.
Exercice 41. Soit A, B ∈ Mn (K). Calculer la trace et le déterminant de l’application linéaire
Φ : Mn (K) → Mn (K), M 7→ AM B.
Exercice 42. Donner des exemples de sous-algèbres de M2 (C) de dimension 1, 2 et 3, puis décrire
toutes ces sous-algèbres.
Exercice 43. On note SL2 (Z) le groupe des matrices 2 × 2 à coefficients entiers de déterminant 1, et
G le sous-groupe de SL2 (Z) engendré par les matrices
0 −1
1 1
T =
et S =
.
1 0
0 1
1. Montrer que, pour tout n ∈ Z, les matrices de transvection
1 n
1 0
et
0 1
n 1
sont éléments de G.
a b
2. Soit M =
∈ SL2 (Z). Montrer qu’il existe P ∈ G telle que la première colonne de P M
c d
±1
0
soit
ou
.
0
±1
3. En déduire que SL2 (Z) est engendré par S et T .
Exercice 44. Soit A ∈ GLn (C) telle que A = A−1 . Montrer qu’il existe B ∈ GLn (C) telle que
A = B · B −1 .
5
Exercice 45. Soit A1 , A2 ∈ Md (R). On note S n l’ensemble des produits de n matrices prises dans
{A1 , A2 }.
1. Montrer que si A1 et A2 commutent, alors |S n | ≤ n + 1.
2. On considère
A1 =
2 1
0 1
et A2 =
2 0
.
0 1
Montrer que |S n | = 2n .
3. On considère




1 1 0
1 0 0
A1 =  0 1 0  et A2 =  0 1 1 .
0 0 1
0 0 1
−1
Calculer |S n |. Pour cela, on pourra étudier B = A1 A2 A−1
1 A2 et noter que B commute avec
A1 et A2 .
Exercice 46.
1. Soit M ∈ Mn (R) et r ∈ R∗+ tels que mij = r si 1 ≤ i 6= j ≤ n, mii ≥ r si 1 ≤ i ≤ n et il existe
au plus un i ∈ [[1, n]] tel que mii = r. Montrer que M est inversible.
2. Soit m, n et r des naturels non nuls, E = {a1 , . . . , am } un ensemble fini de cardinal m et
(Ai )1≤i≤n une famille de n parties de E deux à deux distinctes. On suppose que |Ai ∩ Aj | = r
pour 1 ≤ i 6= j ≤ n. Montrer que n ≤ m.
Exercice 47. Soit M ∈ Mn (K) de rang
qu’il existe des familles libres (X1 , . . . , Xr ) et
Prr. Montrer
t
(Y1 , . . . , Yr ) de Mn,1 (K) telles que M = i=1 Xi Yi . Examiner la réciproque.
A B
∈ Mn (K). On suppose que rg M = rg A. Établir
Exercice 48. Soit A ∈ GLr (K) et M =
C D
que D = CA−1 B.
Exercice 49. Soit n et r des entiers naturels tels que 1 ≤ r ≤ n, et V un sous-espace vectoriel de
Mn (R) tel que
rg M ≤ r pour M ∈ V .
A B
∈ Mn (R), où A ∈ GLr (R), les tailles des autres matrices étant conve1. Soit M =
C D
nables. Montrer que si rg M = r, alors D = CA−1 B.
2. Dans cette question, on suppose que Jr (n, n) ∈ V .
A B
est élément de V , alors D = 0 et CB = 0.
(a) Montrer que si M =
C D
(b) Montrer que si, de plus, C = tB, alors B = C = 0.
3. On revient au cas général. Montrer que dim V ≤ nr, et donner un exemple où l’égalité est
vérifiée.
Exercice 50 (Théorème de Skolem-Noether). Soit Φ : Mn (K) → Mn (K) un automorphisme de la
0 = Φ(E ) pour
K-algèbre Mn (K). On note (Eij )1≤i,j≤n la base canonique de Mn (K), et on pose Eij
ij
1 ≤ i, j ≤ n.
Ln
0
0 sont des projecteurs de rang 1, et que Kn =
1. Montrer que
les
E
ii
i=1 Im Eii . On pourra utiliser
Pn
le fait que i=1 Eii0 = In .
0 , et on pose e0 = E 0 e0 pour 2 ≤ i ≤ n. Montrer que
2. On fixe un vecteur directeur e01 de Im E11
i
i1 1
0
0
0
n
e := (e1 , . . . , en ) est une base de K .
3. On note P la matrice de passage de la base canonique de Kn à e0 . Montrer que
Φ(M ) = P M P −1 pour tout M ∈ Mn (K).
Exercice 51 (Matrices de trace nulle). On note T l’ensemble des matrices de Mn (C) dont la trace est
nulle. Pour (A, B) ∈ Mn (C)2 , on pose [A, B] = AB − BA.
6
1. Montrer que T = Vect [A, B], (A, B) ∈ Mn (C)2 .
2. Montrer que toute matrice de trace nulle de Mn (C) est semblable à une matrice de diagonale
nulle. On pourra raisonner par récurrence sur n.
3. Montrer que T = [A, B], (A, B) ∈ Mn (C)2 .
5
Déterminants
Exercice 52. On définit la suite (Fn )n≥0 par
F0 = 0, F1 = 1 et Fn+2 = Fn+1 + Fn pour n ≥ 0.
Calculer, pour n ≥ 1, le déterminant de la matrice [F|i−j| ]1≤i,j≤n .
0 ··· 0
..
. ... ...
n
Exercice 53. Soit (a1 , . . . , an ) ∈ K (n ≥ 2). Calculer 0 a2 . . .
a1 0 · · ·
an 0 .. .
. 0 Exercice 54. Soit (α, β) ∈ K2 . Calculer det A, où A = [aij ]1≤i,j≤2n avec

 α si i = j
β si i + j = 2n + 1
aij =

0 sinon.
Exercice 55 (Déterminant de Cauchy). Soit a1 , . . . , anh, b1 , . . i. , bn des scalaires tels que ai + bj 6= 0
pour 1 ≤ i, j ≤ n. Calculer le déterminant de la matrice
1
ai +bj 1≤i,j≤n .
Exercice 56. Soit (a, x, y, z) ∈ K4 . Calculer le déterminant
a x ··· ···
y z 0 ···
.
..
.
.
∆n = .. 0 . .
.. .. . .
..
. .
.
.
y 0 ··· 0
d’ordre n ≥ 2 :
x 0 .. . .
0 z Exercice 57. Soit x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ∈ K. Calculer det A, où A = [aij ]1≤i,j≤n avec aij = 1 + xi yj .
Exercice 58. Calculer le déterminant d’ordre n
1
2 ···
2
3 ···
..
..
.
.
n−1 n 1
n
1 2
···
n
..
.
···
···
.
n − 2 n−1 n
1
..
.
Exercice 59. Soit n ≥ 1, et A1 , . . . , A2n −1 une énumération des parties non vides de [[1, n]]. Pour
1 ≤ i, j ≤ 2n − 1, on pose
1 si Ai ∩ Aj 6= ∅
aij =
0 sinon.
Calculer le déterminant de [aij ]1≤i,j≤2n −1 .
Exercice 60. Soit (xi )1≤i≤n ∈ Rn et M ∈ Mn (R) définie par
mij = 1 + xji pour 1 ≤ i, j ≤ n.
Calculer det M . On pourra utiliser la fonction définie par φ(x) = det(V + xU ) pour x ∈ R, où
U = [1]1≤i,j≤n et V = [xji ]1≤i,j≤n .
7
Exercice 61. Soit n un entier ≥ 2, x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn des réels et P ∈ R[X] un polynôme unitaire
de degré n − 1. On considère la matrice A ∈ Mn (R) de coefficients aij = P (xi + yj ). Calculer det A.
Exercice 62. Soit K ⊂ L deux corps commutatifs infinis, et A, B ∈ Mn (K) telles qu’il existe P ∈
GLn (L) vérifiant B = P −1 AP .
1. On pose
VK = {M ∈ Mn (K)/M B = AM } et VL = {M ∈ Mn (L)/M B = AM }.
Comparer dimK VK et dimL VL , et en déduire qu’il existe une base du L-espace vectoriel VL
formée de vecteurs de VK .
2. Montrer qu’il existe Q ∈ GLn (K) tel que B = Q−1 AQ.
Exercice 63. Soit A, B ∈ Mn (R) telles que AB = BA et det(A+B) ≥ 0. Montrer que det(Ap +B p ) ≥ 0
pour p ≥ 1.
Exercice 64. Soit (A, B) ∈ Mn (R)2 . On suppose B de rang 1. Montrer que
det(A − B) det(A + B) ≤ det A2 .
P
Pn
k
k
Exercice 65 (Résultant). Soit P = m
k=0 ak X et Q =
k=0 bk X deux polynômes de K[X], de
degrés respectifs m ≥ 1 et n ≥ 1. On considère l’application
Φ : Kn−1 [X] × Km−1 [X] → Km+n−1 [X], (A, B) 7→ AP + BQ.
1. Vérifier que Φ est bien définie, et linéaire. Former sa matrice dans des bases « naturelles ». Le
déterminant de cette matrice est appelé le résultant de P et Q, noté Res(P, Q).
2. Montrer que P et Q sont premiers entre eux si seulement si Res(P, Q) 6= 0. Que devient cette
équivalence si K est algébriquement clos ?
3. Calculer Res(P, P 0 ) lorsque P = X 2 + bX + c, puis P = X 3 + pX + q. Commenter.
Dans la suite, on donne quelques applications significatives des résultants.
4. On considère le support Γ d’un arc paramétré défini par x = φ(t) et y = ψ(t), où φ et ψ sont
polynomiales. Donner une méthode permettant d’obtenir une équation cartésienne de Γ.
5. Soit u et v deux nombres algébriques, annulés par les polynômes non nuls P et Q de Z[X]. On
définit l’application
φ : C → C, z 7→ Res(P (z − X), Q(X)).
(a) Montrer que la fonction φ est polynomiale, non identiquement nulle et à coefficients entiers,
et calculer φ(u + v). Qu’a-t-on montré ?
(b) Application numérique : trouver (par cette méthode) un polynôme non nul à coefficients
2iπ
entiers qui annule i + j (où j = e 3 ).
(c) En utilisant cette méthode, montrer que l’ensemble des nombres complexes algébriques sur
Q est un corps.
8