CLARIFICATION EXEMPLE 3 PAGE 4 Un dernier exemple1

CLARIFICATION EXEMPLE 3 PAGE 4
Un dernier exemple1 (exercice)
Supposons qu’on réalise une enquête sur un projet de loi controversé. On désire par le
biais de cette enquête examiner la perception en fonction de l’allégeance politique des
individus. Pour les fins de l’exemple l’enquête porte sur 260 personnes. (L’erreur serait
1
donc de
= 0,062). L’enquête demande aux individus s’ils sont pour ou contre le
260
projet de loi et demande également leur allégeance politique. Pour les fins de l’exemple
on dira qu’il y a deux allégeances (Parti A et Parti B).
On obtient les résultats suivants :
Allégeance
Parti A
Parti B
TOTAL
1
Pour le projet
98
79
177
Contre le projet
54
29
83
Total
152
108
260
Inspiré de l’exemple in The complete idiot’s guide to Statistics, p. 95. Nous avons modifié le contexte.
Il est évidemment possible de faire un Khi deux ici. On obtient le tableau suivant :
Allégeance
Parti A
Parti B
TOTAL
Pour le projet
98
(103,48)
79
(73,52)
177
Contre le projet
54
(48,52)
29
(34,48)
83
Total
152
108
260
Nous obtenons un résultat tel que : χ2 (1) 2,19 n.s.
On pourrait ainsi affirmer qu’il n’y a pas d’association entre l’attitude par rapport au
projet de loi et l’allégeance politique. Vous vous attendiez à ce que les partisans du Parti
A soient contre le projet. Vous désirez connaître les raisons qui motivent ces personnes
d’être pour le projet. Pour cela vous décidez de choisir au hasard une personne parmi les
260. En utilisant le théorème de Bayes calculez la probabilité que la personne choisie soit
effectivement du Parti A et qu’elle soit en faveur du projet de loi.
Nous avons donc :
L’événement A : La personne est en faveur du projet de loi
L’événement B : La personne est d’allégeance au Parti A
Calculez :
1)
2)
3)
4)
5)
La probabilité que la personne choisie soit en faveur du projet de loi
La probabilité que la personne choisie est d’allégeance au Parti A
La probabilité que la personne choisie ne soit pas en faveur du projet de loi
La probabilité que la personne choisie est d’allégeance au Parti B
La probabilité que la personne choisie soit en faveur du projet de loi SACHANT
que cette personne est d’allégeance au Parti A
6) La probabilité que la personne choisie ne soit pas en faveur du projet de loi
SACHANT qu’elle est d’allégeance au Parti A
7) La probabilité que la personne choisie soit en faveur du projet de loi SACHANT
qu’elle est d’allégeance au Parti B
8) La probabilité que la personne choisie ne soit pas en faveur du projet de loi ET
d’allégeance au Parti A
9) La probabilité que la personne choisie ne soit pas en faveur du projet de loi ET
d’allégeance au Parti B
10) La probabilité que la personne choisie soit en faveur du projet de loi OU
d’allégeance au Parti A
11) La probabilité que la personne choisie soit en faveur du projet de loi OU
d’allégeance au Parti B
12) En utilisant le théorème de Bayes calculez la probabilité que la personne choisie
est d’allégeance au Parti A sachant que cette personne est pour le projet de loi
Réponses :
1) P (A) =
177
= 0,68
260
2) P (B) =
152
= 0,58
260
3) P (A’) =
83
= 0,32
260
4) P (B’) =
108
= 0,42
260
98
= 0,64
152
54
6) P ( A' B ) =
= 0,36
152
5) P ( A B ) =
7) P ( A B') =
79
= 0,73
108
8) P(A et B) = P ( A B ) *P(B) = (0,64)*(0,58) = 0,37
9) P (A et B’) = P ( A B') *P(B’) = (,73)*(0,42) = 0,31
10) P (A ou B) = P(A) + P(B) – P (A et B) = (0,68) + (0,58) – (0,37) = 0,89
11) P (A ou B’) = P(A) + P(B’) – P (A et B’) = (0,68) + (0,42) – (0,31) = 0,79
12) P (B A) =
=
P (B ) * P ( A B )
P (B ) * P ( A B ) + P B ' P A B '
(( )(
(0,58) * (0,64)
=
(0,58) * (0,64) + ((0,42)(0,73))
))
0,37
= 0,54
0,37 + 0,31
Correction pour l’exemple sur le Rho (p4, 5 et 6 )
Deuxième exemple
Supposons que l’on désire savoir si la quantité de fluor aide à réduire les caries. On
examine la quantité de fluor dans 6 écoles et on examine le nombre de caries chez les
enfants de ces six écoles après un an. Le protocole de recherche contrôle évidemment
l’ensemble des variables. On met en ordre les écoles en fonction de la quantité de fluor et
dans la deuxième colonne on indique le rang de ces mêmes écoles en fonction du nombre
de caries. Il est important de noter que seul les rangs et non la quantité de fluor ou le
nombre de caries font l’objet du tableau.
École
Rang Fluor
Rang Caries
Différence D
A
B
C
D
E
F
Total
1
2
3
4
5
6
5
6
3
2
4
1
-4
-4
0
2
1
5
Différence au
carré D2
16
16
0
4
1
25
62
Le Rho est donc de :
Rho = 1 −
6∑ D 2
(
)
n n −1
Rho = -.7714
2
= 1−
372
372
372
6 * 62
= 1−
=1 −
= 1- 1.7714
=1 −
2
6(36 − 1)
6(35)
210
6 6 −1
(
)
Nous avons donc un Rho négatif. Ceci signifie que plus le rang dans la quantité de fluor
est élevé moins le rang dans les caries est élevé. Plus il y a de fluor moins il y a de caries.
Il faut toutefois utiliser une table afin d’accepter ou de rejeter l’hypothèse nulle. Cette
table utilise le nombre d’observations comme référence pour la table. Le dl est donc égal
au nombre d’observations. Comme le Rho peut prendre une valeur positive ou négative il
est possible d’examiner le résultat avec un test unilatéral ou bilatéral. Habituellement on
effectue un test bilatéral. Par exemple, un test bilatéral à 10% indique que la zone de rejet
de l’hypothèse nulle (Ho)2 se partage également des deux côtés de la courbe. La zone de
rejet est donc de 5% du côté positif et de 5% du côté négatif pour un total global de 10%.
On aura donc compris que la valeur critique pour un test bilatéral à 10% est identique à
celui d’un test unilatéral à 5% puisqu’il s’agit de la même zone de rejet.
La valeur critique à 5% (,05) unilatéral ou 10% (0,10) bilatéral pour un échantillon (n) de
6 est de .7714. Notre résultat est de -.7714. Il est important de souligner que le rho peut
avoir une valeur qui se situe entre +1 et -1. Plus (+) 1 indiquant une corrélation positive
2
On aura compris que Ho veut dire « Il n’y a pas de corrélation »
parfaite (tous les rangs sont identiques) et moins (-) 1 indiquant une corrélation inverse
parfaite (les rangs sont inversés). Un Rho qui se rapproche de 0 indique qu’il n’y a pas de
corrélation entre les variables. Pour notre exemple, il y a donc une de corrélation de rang
puisque le résultat du Rho (-.7714) est égal à la valeur critique de -.7714. Nous écririons
le résultat : ρ (6) - .7714 P=05 il y a rejet de l’hypothèse nulle. Si le résultat avait été de
.7614 on aurait écrit (n.s. = non significatif = on accepte l’hypothèse nulle). Nous
pouvons donc affirmer qu’il y a corrélation de rangs entre la quantité de fluor et la
nombre de caries puisque le résultat du Rho (-.7714) est égal à la valeur critique dans la
table (±.7714)