Le Calcul de Primitives

Le Calcul de Primitives
—
MPSI Prytanée National Militaire
Pascal Delahaye
20 octobre 2016
Z
1
ϕ(x)
f (u) du =
Z
x
f (ϕ(t))ϕ′ (t) dt
|{z} | {z }
u
du
Résultats préliminaires
Définition 1 : Primitives
Soit deux fonctions f et F définies sur un intervalle I.
On dit que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle I si et seulement si :
1. La fonction F est dérivable sur I
2. ∀x ∈ I, F ′ (x) = f (x).
Théorème 1 : Existence
Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I
Preuve 1 :
Voir le cours sur l’intégration...
Théorème 2 : Deux primitives sur un même intervalle diffèrent d’une constante
Si F est une primitive de f : I 7→ C sur un intervalle I alors l’ensemble des primitives de f sur I est :
{F + C | C ∈ C}
Preuve 2 :
1. Première inclusion :
Soient G une autre primitive de f . On considère la fonction H = F − G et on la dérive ...
2. Deuxième inclusion :
On vérifie facilement que les fonctions de la forme F + C avec C ∈ C sont des primitives de f sur I.
Théorème 3 : Calcul d’une intégrale à l’aide d’une primitive
Si F est une primitive d’une fonction f : I 7→ C continue sur un intervalle I
Z
a
b
f (t) dt = [F (t)]ba = F (b) − F (a)
1
et a, b ∈ I, alors :
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Preuve 3 :
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Vu plus tard...
Corollaire 4 : Existence d’une primitive qui s’annule en x0
Soit f une fonction réelle ou complexe, continue sur un intervalle I.
Pour tout x0 ∈ I, f admet alors une unique primitive qui s’annule en x0 .
Cette primitive est la fonction :
Z
x
x 7→
f (t) dt
x0
Plus généralement, l’expression d’une primitive quelconque de f pourra être notée :
Z
x
f (t) dt
Il s’agit d’un abus de notation qui sera utile à condition de se rappeler qu’on est à une constante près.
Preuve 4 :
On cherche une constante C telle que F (x0 ) + C = 0.
Remarque 1. Ainsi avec un abus de notation, on peut écrire pour tout x ∈ I :
Z x
Z x
′
′
f (t) dt = f (x) ou encore
f (t) dt = f (x)
x0
Proposition 5 : Linéarité des primitives
Soit f1 , f2 ∈ C(I, K), λ, µ ∈ K.
On a ∀x ∈ I :
Z x
Z
λ.f1 (t) + µf2 (t) dt = λ
Preuve 5 :
x
f1 (t) dt + µ
Z
x
f2 (t) dt
Pas de difficulté...
Proposition 6 : Primitive d’une fonction complexe
Soit f = f1 + if2 une fonction complexe avec f1 , f2 ∈ C(I, R).
f admet alors pour primitives sur I les fonctions F telles que :
F1
f1
F (x) = F1 + iF2 + C avec
des primitives de
et C ∈ C
F2
f2
Preuve 6 :
Vérification facile...
Ce chapitre est consacré à la présentation de certaines méthodes usuelles de calcul de primitives.
Nous noterons :
Rx
1.
f (t) dt l’expression d’une primitive quelconque de la fonction f de variable x
R
2. f une primitive quelconque de f sur un intervalle I qu’on n’oubliera pas de préciser.
Rx
3. a f (t) dt d’expression de la primitive de f qui s’annule en a
Les deux premières notations sont abusives (car elles ne désignent pas un unique objet), mais elles nous seront utiles pour la
mise en oeuvre des méthodes usuelles.
Pour calculer une primitive d’une fonction, nous avons 3 outils principaux à notre disposition :
1. Les primitives usuelles à connaı̂tre par coeur ! !
2. Le changement de variable.
3. L’intégration par partie.
Toute
1.
2.
3.
4.
la difficulté consitera alors à :
Penser à utiliser au moment opportun les primitives connues
Faire un choix parmi l’une des deux méthodes précédentes
Transformer judicieusement la fonction étudiée pour faire apparaı̂tre une primitive connue
Choisir le bon changement de variable
2
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Primitives usuelles à connaı̂tre par coeur
Toutes les primitives suivantes sont bien entendu données à une constante près et sont valables sur tout intervalle où les
fonctions sont continues.
△ Les classiques (∀a ∈ R)
1.
2.
3.
4.
Z
Z
x
(t + a)α dt =
x
(x + a)α+1
α+1
α ∈ R\{−1}
dt
= ln |x + a|
t
+
a
Z x
eax
eat dt =
a
Z x
ln t dt = x ln x − x
5.
6.
(a ∈ C∗ )
7.
8.
Z
2
Exemple 1. Soit (a, b) ∈ R \{(0, 0)}. Déterminer
Z
x
cos ax
a
Z x
sin ax
cos(at) dt =
a
Z x
ch ax
sh(at) dt =
a
Z x
sh ax
ch(at) dt =
a
sin(at) dt = −
x
cos(bt)e
at
dt
et
Z
(a 6= 0)
(a 6= 0)
(a 6= 0)
(a 6= 0)
x
sin(bt)eat dt sur R.
△ Les 5 autres à connaı̂tre absolument
Soit un réel a > 0.
Z
x
1.
Z
x
2.
x
3.
Z
x
4.
Z
Z
x
5.
1
x
dt
= arctan
a 2 + t2
a
a
sur R
dt
x
√
= arcsin
2
2
a
a −t
sur ] − a, a[
a2
x + a
dt
1
=
ln 2
−t
2a
x−a
sur ] − a, a[ ou ] − ∞, −a[ ou ]a, +∞[
p
dt
√
= ln(x + x2 + a2 )
t2 + a 2
p
dt
√
= ln(x + x2 − a2 )
t2 − a 2
sur R
sur ]a, +∞[
△ A connaı̂tre également :
1.
2.
Z
Z
x
x
dt
= tan x
cos2 t
dt
1
=−
tan x
sin2 t
3.
4.
Z
Z
x
x
dt
= th x
ch2 t
dt
1
=−
th x
sh2 t
3
5.
6.
Z
Z
x
tan t dt = − ln |cos x|
x
th t dt = ln |ch x|
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Les formes à reconnaı̂tre
Définition 2 : Fonction de classe C 1
Soit f : I → C où I est un intervalle de R.
Nous dirons que f est de classe C 1 sur I lorsque :
1. f est dérivable sur I
2. f ′ est continue sur I
Théorème 7 : Forme à reconnaı̂tre
Soit une fonction f : I 7→ C continue sur l’intervalle I de primitive F .
Soit u : J 7→ I une fonction de classe C 1 sur l’intervalle J Alors :
Z x
f [u(t)]u′ (t) dt = F ◦ u(x)
Preuve 7 :
En dérivant, on remarque que F oϕ est bien une primitive de f oϕ.ϕ′ .
Corollaire 8 : Quelques formes usuelles
Soit u une fonction de classe C 1 sur un intervalle I.
On a alors pour α ∈ R\{1} :
Z
Z
u′
uα+1
α ′
4.
= arctan u
1.
u u =
1 + u2
α+1
Z
Z ′
u
5.
cos(u)u′ = sin(u)
2.
= ln |u|
u
Z
Z
√
u′
u ′
u
√ = u
6.
3.
e u =e
2 u
Z
u′
√
= arcsin u
1 − u2
Z
p
u′
√
= ln(u + 1 + u2 )
8.
1 + u2
Z
u + a
u′
1
9.
=
ln a2 − u 2
2a
u−a
7.
Exercice : 1
Calculer les primitives suivantes sur un intervalle à déterminer.
Z x
Z x
sin t
arctan3 t
3.
dt
1.
dt
2
1 + cos2 t
1+t
Z x
Z x
1
2.
cos t.esin t dt
4.
dt
1 − e−t
5.
6.
Z
Z
x
t cos(t2 + 1) dt
x
ex
√
dt
1 − e2x
Exercice : 2
(∗) Calculer les primitives sur ] − π2 , π2 [ des fonctions tan, tan2 , tan3 et tan4 .
On pourra remarquer que tan′ = 1 + tan2 .
4
Le changement de variables
Théorème 9 : Changement de variables
Soit une fonction f : I 7→ R continue sur l’intervalle I.
Soit ϕ : [a, b] 7→ I une fonction de classe C 1 sur le segment [a, b]. Alors :
Z
b
f [ϕ(t)]ϕ′ (t) dt =
a
Z
ϕ(b)
f (x) dx
ϕ(a)
Preuve 9 : On considère F une primitive de f et on remarque alors que F oϕ est une primitive de f oϕ.ϕ′ .
On peut alors calculer les deux membres de l’égalité et montrer qu’ils sont égaux.
4
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Corollaire 10 : Cas des primitives
Soit f : I 7→ R une fonction continue et ϕ : J 7→ I de classe C 1 de l’intervalle J vers l’intervalle I.
Z
Preuve 10 :
x
f (ϕ(t)) × ϕ′ (t) dt =
Z
ϕ(x)
f (u) du
Il suffit de prendre b = x dans la formule précédente et de ne plus tenir compte des constantes.
Soit f une fonction continue sur I.
Pour déterminer une primitive de f , on pourra alors utiliser en pratique la démarche suivante :
Z
Pour calculer
On écrit alors
x
g(t) dt sur J, on pourra poser :
u = ϕ(t)
et on transforme
du = ϕ′ (t) dt
Z
u = ϕ(t) avec t ∈ J
Z ϕ(x)
x
g(t) dt en
f (u) du :
1. en remplaçant t et dt par leur expression en fonction de u
2. en remplaçant la borne x par ϕ(x)
Exemple 2. Calculer les primitives suivantes en posant u = tan 2t , ou u = th 2t ou u = et .
Z x
Z x
dt
dt
1.
3.
sur I =]0, π[
sur I =]0, +∞[
sin t
sh t
Z x
Z x
dt
dt
2.
sur I =] − π2 , π2 [
4.
sur I = R
cos t
ch t
Exemple 3. Calculer à l’aide d’un changement de variables les primitives suivantes :
Z xp
Z x
dt
√
1.
1 − t2 dt sur ] − 1, 1[
2.
sur
1 − t2
Exemple 4. Calculer les primitives suivantes :
Z x
ln t
dt sur R+∗
1.
t(1 + ln2 t)
5
2.
Z
x
sin3 t
dt
cos5 t)
sur
] − 1, 1[
] − π2 ,
π
2[
L’intégration par partie
Théorème 11 : Calcul d’un intégrale par Intégration par parties
Soient u, v : I 7→ R deux fonctions de classe C 1 sur l’intervalle I avec a, b ∈ I.
Alors :
Z
Z
b
a
b
u′ (t)v(t) dt = [u(x)v(x)]ba −
u(t)v ′ (t) dt
a
Preuve 11 : Soit f = uv. Les fonctions u et v étant dérivables sur I, f est dérivable sur I et (uv)′ = u′ v + uv ′ .
Rb
Rb
Rb
Les fonctions u, u′ , v et v ′ étant continues, u′ v et uv ′ admettent des primitives et : a (uv)′ = a u′ v + a uv ′ .
Corollaire 12 : Calcul d’une primitive par Intégration par parties
Soient u, v : I 7→ R deux fonctions de classe C 1 sur l’intervalle I.
Alors :
Z x
Z x
u′ (t)v(t) dt = u(x)v(x) −
Preuve 12 :
u(t)v ′ (t) dt
∀x ∈ I
Il suffit de prendre b = x dans la formule précédente et de ne plus tenir compte des constantes.
5
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Remarque 2. La formule précédente est vraie à une constante près.
Pour calculer
Z
x
f (t) dt sur I :
1. on introduit deux fonctions u et v de classe C 1 sur I telles que f = u′ v
2. on applique la formule d’intégration par partie
Remarque 3. On n’oubliera pas d’indiquer que les fonctions u et v choisies sont bien de classe C 1 sur I ! !
Exemple 5. Calculer une primitive de :
1. arctan sur R.
2. arcsin sur [−1, 1].
Exercice : 3
(∗) Calculer les primitives suivantes sur des intervalles à préciser :
Z x
Z x
1.
t ln(t2 + 1) dt
3.
ln(1 + t2 ) dt
Z x
Z x
2.
(t2 − t + 3)e2t dt
4.
t sin3 t dt
Exercice : 4
(∗) Calculer les primitives suivantes sur des intervalles à préciser :
Z x
Z x
1.
sin(ln t) dt
2.
et sin t dt
Exercice : 5
(∗∗) Calculer sur R les primitives de
6
Z
3. arccos sur [−1, 1].
Z
x
5.
Z
x
3.
p
16t2 + 9 dt
earccos t dt
x
t2 et cos 2t dt.
Primitives de fractions rationnelles simples.
On a de façon immédiate, sur des intervalles I adaptés :
Z x
a
1. Pour a, b ∈ R
dt = a ln |x + b|
t+b
Z x
a
−a
∗
2. Pour a, b ∈ R et n ∈ N \{1}
dt =
n
(t + b)
(n − 1)(x + b)n−1
Exemple 6. Déterminer une primitive des fonctions rationnelles suivantes sur un intervalle à déterminer :
1. f (x) =
2
3x+1
Lorsque f (x) =
1
(x−a)(x−b)
2. g(x) =
−3
(2x−1)2
avec a 6= b, on effectue une décomposition en éléments simples.
On cherche alors deux réels α et β tels que :
1
α
β
=
+
(x − a)(x − b)
x−a x−b
Exemple 7. Déterminer une primitive des fonctions rationnelles suivantes sur un intervalle à déterminer :
6
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1. f (x) =
2. g(x) =
3. h(x) =
1
2x2 +x−3
2x+1
x2 −3x−10
2
x −3
x2 −3x+2
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avec la méthode précédente
on commence par faire apparaı̂tre la dérivée du dénominateur au numérateur
on commence par faire apparaı̂tre le dénominateur au numérateur
Remarque : lorsque le numérateur est de degré supérieur ou égal à 3, on commence par effectuer une division euclidienne.
Lorsque f (x) =
1
x2 +ax+b
avec a, b ∈ R et ∆ < 0, on effectue une décomposition canonique.
x2
Puis on se ramène à la forme
1
t2 +c2
1
1
=
a
2
+ ax + b
(x + 2 ) + (b −
a2
4 )
par changement de variables.
Exemple 8. Déterminer une primitive des fonctions rationnelles suivantes sur un intervalle à déterminer :
1. f (x) =
7
1
x2 +x+1
2. g(x) =
x+1
x2 +x+3
3. h(x) =
x2 +1
x2 −x+3
Entrainement au calcul de primitives
Exercice de TD : 1
(∗) Calculer les primitives suivantes sur des intervalles adaptés :
Z x
Z
2
3
1.
sin t cos t dt
3.
2.
Z
x
sin2 t cos4 t dt
(par linéarisation)
x
sin5 t cos2 t dt
4.
Z
x
sin2 t cos4 2t dt
(par linéarisation)
On retiendra que lorsqu’une des deux puissances p ou q est impaire, alors on calcule facilement
d’un changement de variables bien choisi.
Z
x
cosp (t) sinq (t) dt à l’aide
Exercice de TD : 2
(∗∗) Un calcul un peu long... mais complet !
u3
1+u3
a
= 1 + 1+u
+
√
3 x
2. En déduire une primitive
sur R de f (x) = e − 1.
√
On posera : u = 3 et − 1
1. Trouver des réels a, b et c tels que
bu+c
u2 −u+1
Exercice de TD : 3
(∗∗) Calculer des primitives des fonctions suivantes sur des intervalles à déterminer :
q
q
√
x
1+t
1. f (x) = √1+x
. On posera u = 1 + t.
4. f (x) = x1 1+x
1−x . On posera u =
1−t .
√
√
√
x
1
2. f (x) = 1+x . On posera u = t.
5. f (x) = √x−1+x
. On posera u = t − 1.
q
q
√
x
t
3. f (x) = (1−x)3 . On posera u = 1−t .
6. f (x) = √x+1 √
. On posera : u = 6 t.
3
x
Exercice de TD : 4
(∗∗) Calculer des primitives des fonctions suivantes sur des intervalles à déterminer :
7
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1. f (x) =
2. f (x) =
Calcul de primitives
sin x
sin2 x−cos x .
cos x
sin x cos 2x .
3. f (x) =
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sin x
sin x−cos x .
4. f (x) =
5. f (x) =
Exercice de TD
Z x: 5
Z
n−1
(∗∗) Calculer An =
ch((n + 1)t) sh
t dt et Bn =
sin x
cos2 x+tan2 x .
cos x
1+tan x
x
sh((n + 1)t) shn−1 t dt.
On pourra s’intéresser à A + B et A − B
Exercice de TD : 6
(∗∗) Trouver une CNS pour que les primitives des fonctions suivantes soient des fonctions rationnelles.
1. (∗∗) x 7→
ax+b
x3 (x−1)2
2. (∗ ∗ ∗) x 7→
x3 +a
x(x2 +1)2
Vous pourrez effectuer des DES.
Exercice de TD : 7
Z sin2 a
Z
√
(∗∗) Montrer que
arcsin x dx +
cos2 a
√
π
arccos x dx = pour tout réel a.
4
0
0
Z sin2 a
Z cos2 a
√
√
Pour cela on introduira F d’expression F (a) =
arcsin x dx +
arccos x dx et :
0
0
1. On étudiera F sur [0, π/2]
2. On montrera que F est impaire et π-périodique
Exercice de TD : 8
1. (∗ ∗ ∗) Calculer
Z
x
s
√
1 + 1 − t2
dt sur un intervalle à déterminer.
1 − t2
On posera : u = arcsin x
2. (∗∗) Calculer
Z
x
cos(2 ln t) dt sur un intervalle à déterminer.
On posera : u = ex
Exercice de TD : 9
Z x
n
X
xk
(∗∗) Pour tout n ∈ N, on considère les expressions fn (x) =
et Fn (x) =
fn (t)et dt.
k!
0
k=0
1. Exprimer pour n ∈ N∗ et x ∈ R, Fn (x) en fonction de Fn−1 (x).
2. En déduire Fn (x) pour tout n ∈ N.
8