Le Calcul de Primitives

Le Calcul de Primitives
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MPSI Prytan´ee National Militaire
Pascal Delahaye
20 octobre 2016
Zϕ(x)
f(u) du=Zx f(ϕ(t)
|{z}
u
)ϕ′(t) dt
| {z }
du
1 R´esultats pr´eliminaires
D´ efinition 1 : Primitives
Soit deux fonctions fet Fd´efinies sur un intervalle I.
On dit que la fonction Fest une primitive de la fonction fsur l’intervalle Isi et seulement si :
1. La fonction Fest d´erivable sur I
2. ∀x∈I, F ′(x) = f(x).
Th´ eor` eme 1 : Existence
Toute fonction continue sur un intervalle Iadmet des primitives sur I
Preuve 1 : Voir le cours sur l’int´egration...
Th´ eor` eme 2 : Deux primitives sur un mˆeme intervalle diff`erent d’une constante
Si Fest une primitive de f:I7→ Csur un intervalle Ialors l’ensemble des primitives de fsur Iest :
{F+C|C∈C}
Preuve 2 :
1. Premi`ere inclusion :
Soient Gune autre primitive de f. On consid`ere la fonction H=F−Get on la d´erive ...
2. Deuxi`eme inclusion :
On v´erifie facilement que les fonctions de la forme F+Cavec C∈Csont des primitives de fsur I.
Th´ eor` eme 3 : Calcul d’une int´egrale `a l’aide d’une primitive
Si Fest une primitive d’une fonction f:I7→ Ccontinue sur un intervalle Iet a, b ∈I, alors :
Zb
a
f(t) dt= [F(t)]b
a=F(b)−F(a)
1

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Preuve 3 : Vu plus tard...
Corollaire 4 : Existence d’une primitive qui s’annule en x0
Soit fune fonction r´eelle ou complexe, continue sur un intervalle I.
Pour tout x0∈I,fadmet alors une unique primitive qui s’annule en x0.
Cette primitive est la fonction :
x7→ Zx
x0
f(t) dt
Plus g´en´eralement, l’expression d’une primitive quelconque de fpourra ˆetre not´ee : Zx f(t) dt
Il s’agit d’un abus de notation qui sera utile `a condition de se rappeler qu’on est `a une constante pr`es.
Preuve 4 : On cherche une constante Ctelle que F(x0) + C= 0.
Remarque 1.Ainsi avec un abus de notation, on peut ´ecrire pour tout x∈I:
Zx
x0
f(t) dt′=f(x) ou encore Zx f(t) dt′=f(x)
Proposition 5 : Lin´earit´e des primitives
Soit f1, f2∈ C(I, K), λ, µ ∈K.
On a ∀x∈I:Zx
λ.f1(t) + µf2(t) dt=λZx f1(t) dt+µZx f2(t) dt
Preuve 5 : Pas de difficult´e...
Proposition 6 : Primitive d’une fonction complexe
Soit f=f1+if2une fonction complexe avec f1, f2∈ C(I, R).
fadmet alors pour primitives sur Iles fonctions Ftelles que :
F(x) = F1+iF2+Cavec F1
F2des primitives de f1 f2et C∈C
Preuve 6 : V´erification facile...
Ce chapitre est consacr´e `a la pr´esentation de certaines m´ethodes usuelles de calcul de primitives.
Nous noterons :
1. Rxf(t) dtl’expression d’une primitive quelconque de la fonction fde variable x
2. Rfune primitive quelconque de fsur un intervalle Iqu’on n’oubliera pas de pr´eciser.
3. Rx
af(t) dtd’expression de la primitive de fqui s’annule en a
Les deux premi`eres notations sont abusives (car elles ne d´esignent pas un unique objet), mais elles nous seront utiles pour la
mise en oeuvre des m´ethodes usuelles.
Pour calculer une primitive d’une fonction, nous avons 3 outils principaux `a notre disposition :
1. Les primitives usuelles `a connaˆıtre par coeur ! !
2. Le changement de variable.
3. L’int´egration par partie.
Toute la difficult´e consitera alors `a :
1. Penser `a utiliser au moment opportun les primitives connues
2. Faire un choix parmi l’une des deux m´ethodes pr´ec´edentes
3. Transformer judicieusement la fonction ´etudi´ee pour faire apparaˆıtre une primitive connue
4. Choisir le bon changement de variable
2

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2 Primitives usuelles `a connaˆıtre par coeur
Toutes les primitives suivantes sont bien entendu donn´ees `a une constante pr`es et sont valables sur tout intervalle o`u les
fonctions sont continues.
△Les classiques (∀a∈R)
1. Zx (t+a)αdt=(x+a)α+1
α+ 1 α∈R\{−1}5. Zx
sin(at) dt=−cos ax
a(a6= 0)
2. Zxdt
t+a= ln |x+a|6. Zx
cos(at) dt=sin ax
a(a6= 0)
3. Zx eat dt=eax
a(a∈C∗) 7. Zx
sh(at) dt=ch ax
a(a6= 0)
4. Zx ln tdt=xln x−x8. Zx ch(at) dt=sh ax
a(a6= 0)
Exemple 1. Soit (a, b)∈R2\{(0,0)}. D´eterminer Zx cos(bt)eat dtet Zx sin(bt)eat dtsur R.
△Les 5 autres `a connaˆıtre absolument
Soit un r´eel a > 0.
1. Zxdt
a2+t2=1 aarctan x asur R
2. Zxdt
√a2−t2= arcsin x
asur ] −a, a[
3. Zxdt
a2−t2=1 2aln x+a x−asur ] −a, a[ ou ] − ∞,−a[ ou ]a, +∞[
4. Zxdt
√t2+a2= ln(x+px2+a2) sur R
5. Zxdt
√t2−a2= ln(x+px2−a2) sur ]a, +∞[
△A connaˆıtre ´egalement :
1. Zxdt
cos2t= tan x
2. Zxdt
sin2t=−1
tan x
3. Zxdt
ch2t= th x
4. Zxdt
sh2t=−1
th x
5. Zx tan tdt=−ln |cos x|
6. Zx th tdt= ln |ch x|
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3 Les formes `a reconnaˆıtre
D´ efinition 2 : Fonction de classe C1
Soit f:I→Co`u Iest un intervalle de R.
Nous dirons que fest de classe C1sur Ilorsque :
1. fest d´erivable sur I
2. f′est continue sur I
Th´ eor` eme 7 : Forme `a reconnaˆıtre
Soit une fonction f:I7→ Ccontinue sur l’intervalle Ide primitive F.
Soit u:J7→ Iune fonction de classe C1sur l’intervalle JAlors :
Zx
f[u(t)]u′(t) dt=F◦u(x)
Preuve 7 : En d´erivant, on remarque que F oϕ est bien une primitive de f oϕ.ϕ′.
Corollaire 8 : Quelques formes usuelles
Soit uune fonction de classe C1sur un intervalle I.
On a alors pour α∈R\{1}:
1. Zuαu′=uα+1
α+ 1
2. Zu′
u= ln |u|
3. Zeuu′=eu
4. Zu′
1 + u2= arctan u
5. Zcos(u)u′= sin(u)
6. Zu′
2√u=√u
7. Zu′
√1−u2= arcsin u
8. Zu′
√1 + u2= ln(u+p1 + u2)
9. Zu′
a2−u2=1 2aln u+a u−a
Exercice : 1
Calculer les primitives suivantes sur un intervalle `a d´eterminer.
1. Zxarctan3t
1 + t2dt
2. Zx cos t.esin tdt
3. Zxsin t
1 + cos2tdt
4. Zx1
1−e−tdt
5. Zx tcos(t2+ 1) dt
6. Zxex
√1−e2xdt
Exercice : 2
(∗) Calculer les primitives sur ] −π
2,π 2[ des fonctions tan, tan2, tan3et tan4.
On pourra remarquer que tan′= 1 + tan2.
4 Le changement de variables
Th´ eor` eme 9 : Changement de variables
Soit une fonction f:I7→ Rcontinue sur l’intervalle I.
Soit ϕ: [a, b]7→ Iune fonction de classe C1sur le segment [a, b]. Alors :
Zb
a
f[ϕ(t)]ϕ′(t) dt=Zϕ(b)
ϕ(a)
f(x) dx
Preuve 9 : On consid`ere Fune primitive de fet on remarque alors que F oϕ est une primitive de foϕ.ϕ′.
On peut alors calculer les deux membres de l’´egalit´e et montrer qu’ils sont ´egaux.
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Corollaire 10 : Cas des primitives
Soit f:I7→ Rune fonction continue et ϕ:J7→ Ide classe C1de l’intervalle Jvers l’intervalle I.
Zx
f(ϕ(t)) ×ϕ′(t) dt=Zϕ(x) f(u) du
Preuve 10 : Il suffit de prendre b=xdans la formule pr´ec´edente et de ne plus tenir compte des constantes.
Soit fune fonction continue sur I.
Pour d´eterminer une primitive de f, on pourra alors utiliser en pratique la d´emarche suivante :
Pour calculer Zx g(t) dtsur J, on pourra poser : u=ϕ(t) avec t∈J
On ´ecrit alors u=ϕ(t)
du =ϕ′(t) dtet on transforme Zx
g(t) dten Zϕ(x) f(u) du:
1. en rempla¸cant tet dtpar leur expression en fonction de u
2. en rempla¸cant la borne xpar ϕ(x)
Exemple 2. Calculer les primitives suivantes en posant u= tan t
2, ou u= th t 2ou u=et.
1. Zxdt
sin tsur I=]0, π[
2. Zxdt
cos tsur I=] −π
2,π 2[
3. Zxdt
sh tsur I=]0,+∞[
4. Zxdt
ch tsur I=R
Exemple 3. Calculer `a l’aide d’un changement de variables les primitives suivantes :
1. Zxp1−t2dtsur ] −1,1[ 2. Zxdt
√1−t2sur ] −1,1[
Exemple 4. Calculer les primitives suivantes :
1. Zxln t
t(1 + ln2t)dtsur R+∗2. Zxsin3t
cos5t)dtsur ] −π
2,π 2[
5 L’int´egration par partie
Th´ eor` eme 11 : Calcul d’un int´egrale par Int´egration par parties
Soient u, v :I7→ Rdeux fonctions de classe C1sur l’intervalle Iavec a, b ∈I.
Alors : Zb
a
u′(t)v(t) dt= [u(x)v(x)]b
a−Zb
a
u(t)v′(t) dt
Preuve 11 : Soit f=uv. Les fonctions uet v´etant d´erivables sur I,fest d´erivable sur Iet (uv)′=u′v+uv′.
Les fonctions u,u′,vet v′´etant continues, u′vet uv′admettent des primitives et : Rb
a(uv)′=Rb au′v+Rb auv′.
Corollaire 12 : Calcul d’une primitive par Int´egration par parties
Soient u, v :I7→ Rdeux fonctions de classe C1sur l’intervalle I.
Alors : Zx
u′(t)v(t) dt=u(x)v(x)−Zx u(t)v′(t) dt∀x∈I
Preuve 12 : Il suffit de prendre b=xdans la formule pr´ec´edente et de ne plus tenir compte des constantes.
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