Espaces d`Antoine et pseudo-topologies

C AHIERS DE
TOPOLOGIE ET GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE
CATÉGORIQUES
A RMANDO M ACHADO
Espaces d’Antoine et pseudo-topologies
Cahiers de topologie et géométrie différentielle catégoriques, tome
14, no 3 (1973), p. 309-327
<http://www.numdam.org/item?id=CTGDC_1973__14_3_309_0>
© Andrée C. Ehresmann et les auteurs, 1973, tous droits réservés.
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Vol.XIV-3
CAHIERS DE TOPOLOGIE
ET GEOMETRIE DIFFERENTIELLE
ESPACES D’ANTOINE ET PSEUDO-TOPOLOGIES
par Armando MACHADO
0. INTRODUCTION
Si X
X’
d’ensembles
sous-jacents X et X’ , on note Hom (X’,X) l’ensemble des applications continues
f : X -> X’ . On aimerait pouvoir considérer un espace topologique
canonique Hom ( X’ , X ) , d’ensemble sous-jacent Hom ( X’ , X ) , de sorte que
et
sont
deux espaces
topologiques,
les conditions suivantes soient vérifiées:
application continue :ç Hom (X’,X) X X->X’, où
ç(f,x)=f(x) ( appl ication d’évaluation);
B) Si Y est un espace topologique et g : Y - Hom ( X ’ , X ) une
application telle que g:YXX -> X’ soit continue, où g(y,x)=g(y)(x),
A ) On
a
une
alors g:Y---- Hom(X’, X)
La
fine
qui
pacte
en
continue.
Hom (X’,X) serait
alors
en
particulier
vérifie la condition A. Malheureusement ceci n’est pas
possible [1] ;
paré,
de
topologie
est
on
sait le faire
considérant
sur
lorsque
Hom ( X’ , X)
la
X
est
la moins
toujours
localement compact
topologie
et
de la convergence
sé-
com-
[2] .
pouvoir résoudre ce problème, on est amené à considérer des
structures plus générales que les topologies, en munissant alors l’ensemble
Hom (X’, X) d’une structure de ce type. La notion d’espace quasi-topologique a été définie par Kowalsky [ 3 1 et Fischer [ 4 1 .
Pour
Une
structure
d’espace quasi-topologique
sur
définie par la donnée d’un ensemble 7T(x) de filtres
l’ensemble X
X,
remplies:
sur
x E X , de sorte que les conditions suivantes soient
QT 1 ) Si x EX et si x 8 est le filtre des parties A
x EA , alors xEETT(x);
309
pour
est
chaque
de X telles que
Si
FETT(x), on dit que F converge vers x et l’on écrit F-x. Si
X = (X,TT) et X’=(X’,TT’) sont deux espaces quasi-topologiques et si
f:X
ou
-x’
que
f:X
application,
est une
->
X’
est
on
dit que
f
est
continue de X
vers
X’,
continue si
f(F)ETT(f(x))
tout
pour
F E TT (x).
catégorie 3j dont les objets sont les espaces quasi-topologiques et dont les morphismes sont définis par les applications continues. On voit que la catégorie Î des applications continues peut être identifiée à une sous-catégorie pleine de 95 (un espace
topologique ( E , T ) étant identifié à l’espace quasi-topologique défini par
la donnée des filtres convergents pour T ), de façon compatible avec les
foncteurs d’oubli vers 6rtà,. Il existe des quasi-topologies initiales et
finales, en particulier les produits d’espaces quasi-topologiques et les
quasi-topologies induites.
Ceci permet de considérer la
Si
X
X’
et
sont
deux espaces
quasi-topologiques,
il existe
un
quasi-topologique canonique Hom (X’,X) sur Hom (X’,X), ensemble des applications continues de X vers X’ ; la quasi-topologie de
Hom (X’,X) est appelée quasi-topologie de la convergence locale [5]
espace
et
définie
Si F
si,
et
comme
suit:
est un
filtre
seulement
sur
Hom (X’,X)
si, ç ( F X G ) --+ 1 ( x)
G-x, où ç:Hom(X’,X)XX->
Si X
et
X’
Si X
est un
X’
et
f E Hom (X’,X),
pour
est
tout
filtre G
alors
F E A(f)
X
tel que
sur
l’application d’évaluation.
topologiques tels qu’il existe un espace topologique canonique Hom (X’,X), on verra (proposition 1.3 ) que
Hom (X’, X ) est aussi l’espace quasi-topologique canonique ( ce qui n’est
pas évident a priori ).
est ouvert
de X
sont
sont
espace
si A E F pour
les
des espaces
ouverts
quasi-topologique,
tout
filtre F tel que
d’un espace
on
dit
F-x ,
topologique X
310
qu’un
ensemble A C X
où x EA . Les
sur
ouverts
l’ensemble X , dit
associé à X .
L’application identique 1X: X ->X est continue de X vers
X et définit X comme projection de X vers la sous-catégorie pleine
Ï de 2J. En particulier X=X si, et seulement si, X est topologique
et f : X->X’ est continue si f : X - X’ est continue. Il en résulte
que toute topologie initiale est aussi une quasi-topologie initiale, donc un
produit d’espaces topologiques est aussi un produit dans la catégorie 95
et toute topologie induite est une
quasi-topologie induite.
La preuve des
propositions
X’
suivantes peut être trouvée dans
[6] .
l’espace quasi- topologique initial dé f ini par
les espaces quasi-topologiques
X; et les applications 1;: X’ - Xi , où
i E I, et si X est un espace quasi-topologique, alors Hom(X’, X) est l’espace quasi-topologique initial dé fini par les espaces quas i-topo logiques
Hom (X’i, X) et les applications
PROPOSITION
0.1. Si
X
est
1"espace quasi-topologique f inal défini par
espaces quasi-topologiques X. et les applications fi:Xi ->X, où
et si X’ est un espace quasi-topologique, alors
i E I, si
Hom (X’,X) est 1"espace quasi-topologique initial défini par les espaces
quasi-topologiques Hom (X’,Xi) et les applications
P R O P O S IT I O N
0 . 2 . Si
est
les
X = UiEIfi(Xi)
remplacer 95 par une catégorie plus petite, plus précisément existe-t-il des sous-catégories pleines C de 2J, contenant 5 la catégorie des espaces topologiques et telles que:
1) Si X est l’espace quasi-topologique initial défini par les espaces
quasi-topologiques X. et les applications fi:X->Xi, où i E I , et si
chaque Xi est un objet de C, alors X est aussi un objet de C;
2) Si X et X’ sont deux objets de C, il existe sur Hom (X’,X) un
C-objet canonique Hom C (X’,X). (La notion de C-objet canonique s’obtient à partir des conditions A et B en remplaçant «espace topologique»
par «objet de e».)
Peut-on
311
de
L’objectif
férentes de
3j ),
travail
ce
l’étude de deux telles
est
catégories (difrespectivement les
à savoir celles dont les
objets sont
espaces d’Antoine ( appelés espaces épitopologiques dans [6])
espaces pseudo-topologiques de Choquet [7].
On peut
des espaces
trouver un
et
les
résumé plus détaillé des propriétés principales
quasi-topologiques dans [8] . (*)
1. ESPACES D’ANTOINE
Si X
X F,a
l’espace topologique
ouverts sont
Le filtre des
ges de b
est
les
voisinages
il
en
PROP OSITION 1.1. Si
X et a EX , alors
un
filtre
dont l’ensemble
sur
X
sous-jacent
de
a est
FnaE
et,
et
par
dont les
résulte:
X
FXa
est
si,
espace quasi-topologique, F
- X
seulement si, 1X:
un
et
X F, a
XF,a,
topologiques
espace topologique est un espace quasi-topologique
d’espaces topologiques. Plus précisément:
1.2.
est
on notera
X
le filtre des voisina-
si b 1 a ,
En considérant les espaces
PROPOSITION
a E X,
et
U de X telles que
parties
b 8;
F
ensemble,
est un
Soit X
un
un
est
on montre
final pour
topologique, soit I
est un filtre sur X et
espace
filtre
sur
continu.
que
une
tout
famille
l’ensemble des
couples ( F, a) tels que a EX, F
FX a, Alors X
est l’espace quasi-topologique final déterminé par les espaces topologiques
XF, a et les applications identiques 1 X : X - X , où ( F , a)EI.
Démonstration.
1X:XF,a
Si F-a, alors
->X
est
Frta8-+a
continue. Si X’
et, si
est un
b=a,
espace
b8-+b,
de
sorte
quasi-topologique,
que
si
f:X->X’
application
f:XF,a ->X’ est continue pour
chaque (F,a)EI, alors f(F)Df(FnaE)->f(a), ce qui montre que
f : X -> X’ est continue et finit la démonstration.
est
(*)
et
une
NOTE DE LA REDACTION. L es
posés
par A. Machado à Paris
en
si
principaux résultats
1971.
312
de
cet
article
ont
été
ex-
Les espaces
Xp
d’un C-objet canonique
1.3.
PROPOSITION
catégorie Ï
deux
Soit e
la
est
continue,
est
continue. Il
Soit donc
doit
quasi-topologie
une
que la
quasi-topologie
de la convergence locale:
sous-catégorie pleine
de
2J,
contenant
reste
un
montrer
X’
(X’,X)
sont
sur
d’évaluation
l’application
voit que
on
F
et
la
Home(X’,X)=Hom(X’,X),
à
filtre
montrer
sur
la continuité de
Hom (X’,X)
que
et
f É Hom (X’,X
ou encore
,
tels que
que
continue.
Comme [Hom (X’,X)]F,f
lier
montrer
véri fiant la condition 1 de l’introduction. Si X
objets de e et s’il existe un C-objet canonique Hom C
Démonstration. Comme
est
est
aussi à
servent
et
Hom(X’,X), alors
on
a
un
et, pour
objet de e,
il
nous
est un
suffit de
espace
montrer
topologique,
en
particu-
la continuité de
g=f,
d’où le résultat.
qu’un espace quasi-topologique X est un espace
d’Antoine s’il est l’espace quasi-topologique initial déterminé par une
famille d’espaces quasi-topologiques Hom (X’ Xi) et une famille d’apDEFINITION
1.4. On dit
313
plications fi : X espace topologique.
Hom
(X’, Xi),
où
Le théorème de transitivité des
est
9j : X
et
X.
chaque
est
un
initiales entraîne:
structures
où j EJ , sont des espaces d’Antoine et si
l’espace quasi-topologique initial dé fini par les applications
1.5. Si les
P R O P O SI T IO N
X
X’
chaque
-
alors X
Xj,
est
un
X
1.6. Si
PROPOSITION
Xj,
espace d’Antoine.
est
un
espace
topologique,
alors X
est
un
es-
pace d’Antoine.
Démonstration.
Soit {a}
espace réduit à
un
un
point,
avec
la seule topo-
homéomorphisme À: Hom (X,{ a}) - X , défini
par A(f)=f(a), ce qui entraîne que X est l’espace quasi-topologique
initial défini par À-1 et Hom ( X, { a 1) .
On
logie possible.
a un
La démonstration du lemme suivant peut être trouvée
LEMME
un
X, Y
1.7. Si
et
Z
sont
trois espaces
dans [5]:
quasi-topologiques, il
existe
homéomorphisme
défini par
1.8. Si
P R O P O SI T IO N
quasi-topologique,
X
est
un
espace d’Antoine
Hom (Y,X)
alors
est
un
et
si X est
un
espace
espace d’Antoine.
l’espace quasi-topologique final déterminé par une
d’espaces topologiques Xi , où i E I, et une famille d’applications
Démonstration.
famille
Y
fi:Xi->X
est
telles que
X= UiEIfi(Xi)
( voir 1.2); Hom(Y,X)
est
donc
(voir 0.2 ) l’espace quasi-topologique initial déterminé par les H om ( Y , Xi)
et les
fi:Hom (Y,X)->Hom (Y,Xi); compte tenu de 1.5, il nous suffit
de démontrer le résultat
espace
Comme Y
initial déterminé par
d’espaces
est
quand X est un
l’espace quasi-topologique
Hom(Y’j,Yj)
est
une
famille
où les espaces
où j E J
l’espace quasi-topologique
->Hom (Y’j,Yj),
Hom(Y,X
et
et
314
topologique.
une
famille
d’ applications gj:Y->
Yj et Y" sont topologiques,
initial déterminé par les espa-
ces
Hom(Hom(Y’, Y i), X )
les
et
( voir 0.1 ). Il suffit donc de
est
montrer
lorsque A, B
d’Antoine
applications
C
et
qu’un
sont
espace
Hom i Hom ( C , B ) , A )
des espaces
topologiques;
ceci
résulte de 1.7.
Ant
sous-catégorie pleine de 9Î dont les objets sont
les espaces d’Antoine. Compte tenu des résultats précédents, Ant contient
la catégorie Ï des espaces topologiques et vérifie les conditions 1 et 2 de
l’introduction. D’après 1.3, (Ï"j est en fait la plus petite sous-catégorie
pleine de 95 vérifiant ces conditions.
On
note
la
2. L’ESPACE DES OUVERTS
Soit fl
{0, 1}
et
dont les
Q convergent
est
l’espace topologique
ouverts
0
vers
et
O, {1},{0,1}.
sont
le seul filtre propre sur 0
sous-jacent
est
Tous les filtres
sur
qui
converge vers 1
1E.
Si X
X,
on a une
En
effet,
si
est un
espace
application
F->x,
w(F)->0O
-soit
et
alors
Réciproquement,
si
X,
correspondances
est un ouvert
Dans la
suite,
de
à:
et
si w C X
est un ouvert
de
X -> O:
on a
et
x66c)
quasi-topologique
continue
-soit xeoj
les
dont l’ensemble
wEF,
f
(comme
ce
X ->Q
car
{1}
w->w
on note souvent
qui
tout
filtre),
entraîne W(F)D1E,donc W(F)->1.
est une
application continue,
est un ouvert
et
f->f
sont
par la même lettre
315
f=f-1 ({1})
de Q. On voit facilement que
inverses l’une de l’autre.
un ouvert et
l’application
continue associée. Ces considérations
que les résultats suivants
Si X
ouverts
la
dues à
Antoine [9],
ainsi
proposition 2.3.
quasi-topologique, on appelle espace
X l’espace quasi-topologique Ç2X=Hom(ÇI,X).
D E F IN IT IO N 2 .1.
des
jusqu’à
sont
de
est un
espace
Remarquons que 0 X est toujours un espace d’Antoine, car Ç2 est un espace topologique (1.8). Si X et Y sont deux espaces quasi-topologiques et
si f : X - Y est une application continue, on leur associe une application
continue Of:OY-> OX, définie par w -> wof, ou en termes d’ouverts, définie par W -> f-1 (w). Réciproquement:
PROPOSITION 2.2.
toine et
a)
f:
Si
X
-
Y
Soit X
un
espace
f 1 ( w)
dans Y ,
ce est un ouvert
est ouvert
dans X ;
b) L’application OY -> OX dé finie par w -> f-1 co)
Alors f:X - Y est une application continue.
Démonstration.
Si X
Elle
est un
est
identique
espace
espace d’An-
un
telle que:
application
une
quasi-topologique, Y
à celle du théorème 1.5 de
quasi-topologique,
on
définit
est
continue.
[9].
l’application
conti-
nue
par
En
x
a(x)(w)=w(x), associée à l’application continue
03BC:XXHom(O,X)->O, où 03BC(x,w)=w(x).
termes
d’ouverts, a.( x )
l’ensemble W des
est
ouverts co
de X tels que
66d.
Comme corollaire de la
PROPOSITION
2.3.
espace d’Antoine si,
initial déterminé
Si X
et
proposition 2.2,
est
espace
seulement si, X
par 00 X
et
un
par
a:
on a:
quasi- topologique, alors X est
est l’espace quasi-topologique
X ->00X.
Démonstration. La condition suffisante résulte de
est
toujours
un
espace d’Antoine.
Supposons
316
1.5
que X
et
du fait que 00 X
est un
espace d’An-
toine. Si Z
est un
espace
a of:Z->OOX
telle que
application
quasi-topologique
soit
si
et
->X
f:Z
continue,
on a
est une
l’application
continue associée
qui,
d’ouverts, fait correspondre
en termes
f 1 (úJ)
Z . La continuité de
de
à
un
ouvert
de X l’ouvert
cv
->X résulte alors de 2.2.
1: Z
En
appliquant la proposition précédente, on va trouver des conditions ( portant sur les filtres convergents) pour qu’un espace quasi-topologique X soit un espace d’Antoine.
X
Si
est un
l’ensemble des
LEMME
espace
2.4. Si X
et si
tout
G->X x, il existe
úJ EDX,
alors
tout x
pour
EX,
on
note
A 0
est un
f iltre
sur
A C X,
F-> wOX
si,
seulement si, pour tout
et
x E w
et
A E G tel que A° E F.
explic i te de la quasi-topologie de la conde OX=Hom(O,X), on a F->OXw si, et seulement si,
D é m o n s t r at i on . Par la
vergence locale
si
espace quasi-topologique, si F
est un
OX
et
de X tels que A C w.
w
ouverts
quasi-topologique
définition
et tout
G
Xx,
on a
l’application d’évaluation. Comme tout filtre sur 0 converge vers 0,
condition précédente est toujours vérifiée si x (úJ. On est donc ramené
est
la
à la
qu’il
condition ç(FXG)D1E
pour
tout
A EG
tels
que ç(BXA) C{1}.
B E F
existe
et
ç(B X A)C{1} équivaut
ou
encore
F->OX w
et
et tout
à dire que, si co’EB
w’,EB, alors A C w’; ceci
seulement si, pour tout x EúJ et
que, si
si,
x Ew
GXx,
c’est-à-dire
La condition
x’ E A , alors x’ Ew’,
signifie B C A°. Au total
et
tout
GXx,
il existe A E G
tel que A° E F .
quasi-topologique et X l’espace quasi-topologique initial déterminé par SZ X et par l’application a: X - DO X .
Si H est un filtre sur X et a EX, alors H
X a si, et seulement si:
L E MM E
2.5.
Soit X
un
espace
317
( A ) Quels que soient l’ouvert
a Ew
que
B°
E
et que,
pour
G
tout
w
et tout xEW,
X x
F , alors il existe A E H tel que A 0
Compte
Démonstration.
de X et le
E
F
sur D. X tels
il existe B EG
vérifiant
F.
de la construction
tenu
f iltre
explicite
de la
quasi-topo-
logie initiale,
H->a si,
seulement
et
X
qui,
ce
vu
le lemme
«il existe A EH tel
CO
E a(H)
précédent, est équivalent
que A° E F» remplacé par
Si A° E F pour
».
si,
l’on voit que C° D a(A);
un
en
(A)
à la condition
avec
«il existe C E F tel que
certain A EH , on peut prendre C = A° et
effet, si W E a(A), il existe y EA tel que
W = a(y), donc WDA°=C, c’est-à-dire W E C° ; il s’ensuit CO E a( H).
Réciproquement, si C° E a(H) pour un C E F , on a C° D a(A) pour un
certain A E H
x E A , 0-(x):) C
tout
c’est-à-dire
que
A°EF,
x Ew
ce
effet, si ú) EC, a(x)EC° pour
x E A , donc w E a(x) pour tout x E A ,
l’on obtient A°D C;
et
pour
qui
pour
tout
tout
x EA,
ou
en
encore
ACco, wEA°.
Il s’ensuit
termine la démonstration.
quasi-topologique X est un espace d’Antoine si, et seulement si, quel que soit le couple ( H, a), formé d’un filtre
H sur X et d’un point a EX , vérifiant la condition (A) du lemme précéPROPOSITION
dént,
on a
2.6. Un
HXa.
Démonstration.
Comme
jours continue,
on
que
X
espace
est un
en
l’application canonique a:X
déduit que
espace d’Antoine
à-dire
que
lemme
précédent.
1X : X
-> X
est
1X:X->X
équivaut
QQX
est
tou-
aussi continue. Dire
à dire que X = X
continue. La
318
est
-
proposition
(2.3),
c’est-
résulte donc du
3. ESPACES PSEUDO-TOPOLOGIQUES
pseudo-topologiques ont été définis par Choquet
dans [ 7 1 bien avant que les espaces quasi-topologiques soient définis.
On donne ici de cés espaces une définition équivalente qui conduit à les
considérer comme des espaces quasi-topologiques vérifiant une condition
supplémentaire.
Les espaces
X
Si
X admet
ou,
une
est un
de façon
est
quasi-topologique,
sous-l imite a E X s’il existe
équivalente,
(tout filtre propre
a
espace
sous-limite de H
PROPOSITION
dans
3.1. Si
si,
et
X
est
sur
sur
ultrafiltre ). Si H
est
seulement
si,
H
filtre F
qu’un
filtre propre G
un
un
un
dit
ultrafiltre H
s’il existe
est contenu
on
sur
X tel que
X , tel
que
un’ ultrafiltre,
Xa.
espace quasi-topologique, les deux pro-
un
suivantes sont
priétés
(a) Si
FXa
G tel que
propre
(B)
Si
F X a,
DEFINITION 3.2.
logique
équivalentes:
(-> signi f ie « ne
converge
pas»’),
il existe
un
f iltre
G D F et que G n’admette pas a pour sous-limite.
il existe un ultra filtre H tel que Hi) F et H
ta,
pseudo-topologique est un espace quasi-topoconditions (a) et (f3) de la proposition précé-
Un espace
X vérifiant les
dente.
R E M A R Q u E
3.3.
Soit X
un
ensemble d’ultrafiltres
un
seul espace
ultrafiltres
si,
et
qui
convergent
sur
vers
x .
si, HEU(x) quel
En effet, s’il existe
un
tel espace
QT 3 garantissent
et
soit 11(x),
x EE U(x).
tel que U(x)
tel que
X,
pseudo-topologique X
seulement
l’axiome
ensemble
un
Si F
est un
pour
chaque x E X ,
Il existe alors
filtre
soit l’ensemble des
sur
X,
que soit l’ultrafiltre H
pseudo-topologique,
que les filtres
319
qui
un et
F.
contenant
la condition
convergent
FX x
on a
((3)
vers x
et
sont
qui vérifient la condition énoncée. Dans tous les cas, si l’on
définit les filtres qui convergent vers x par la condition énoncée, les
ultrafiltres qui convergent vers x sont les éléments de U(x) et les axiomes QT 1 et QT 3 sont évidemment vérifiés; l’axiome QT 2 résulte du
fait qu’un ultrafiltre qui contient l’intersection de deux filtres, contient
l’un deux, et la condition (/3) est immédiate. C’est d’ailleurs par la donnée des ultrafiltres convergents vers chaque point que Choquet a défini
bien
ceux
les espaces
pseudo-topologiques.
qu’un espace quasi-topologique X est semi-topologique
si, pour chaque x EX, il existe un filtre minimum G x qui converge vers
x
ou, ce qui est équivalent, si quelle que soit la famille (Fi)iEI de
dit
On
de filtres convergents
x , le filtre
vers
Tout espace
le filtre des
topologique
voisinages de x .
un
espace
X
3.4. Si
PROPOSITION
espace
H contenant
F,
on en
un
filtre
déduit que
sur
Tout espace
PROPOSITION
3.6.
Soit l’ensemble
l’ensemble
X
quasi-topologique
les
et
initial
D ém on s tra tion, Soit F
explicite
de la
fi(F)Xjfj(x),
Soit
étant
semi-topologique, X
est
aussi
HXx
F
car
est
pour
tout
ultrafiltre
l’intersection de
tous
ultrafiltres.
3.5.
d’un
x.
Ux
X tel que
FXx,
COROLLAIRE
xil
vers
le filtre
semi-topologique,
est
un
converge
a
pseudo-topologique.
D émons tration. Si F est
ces
est
n iEI Fi
le filtre
sur
pseudo-topologique.
est
un
X tel que
Si X
l’espace
espace pseudo-topologique.
fi: X -> Xj.
est
FXx. Vu la caractérisation
quasi-topologie initiale, il existe j E J tel que le filtre
ce qui entraîne,
Xi étant pseudo-topologique, l’existence
ultrafiltre G . 1
G
X , alors X
filtre
est
J , les espaces pseudo-topologiques
applications
sur
un
topologique
sur
sur
Xj
X
tel que
qui
admet pour base les
320
et
A, 6G, ; c’ est
On
a
si
H D G
G D F
filtre propre,
un
et on va
est
voir que
n’est pas sous-limite de G. En effet,
x
entraine
filtre propre, l’inclusion
un
3.7. Si
PROPOSITION
car
X
est
espace
un
pseudo-topologique, Hom ( Y , X)
est un
quasi-to pologi que et Y un
espace pseudo-topologique.
espace
Notons À. la
quasi-topologie de la convergence locale de
Hom ( Y , X ) et if : Hom ( Y , X ) X X -> Y l’application d’ évaluation. Soit
1 E Hom (Y , X) et F un filtre sur Hom (Y,X), tel que FAf; on veut monDémonstration.
l’existence d’un ultrafiltre F’
trer
Soit
il existe
Si
tel
GXx
B E G
AEF,
AB, C
et
vide,
est non
Comme Y
que ç (FXG)Yf (x).
ultrafiltre H
un
Hom ( Y , X ) ,
sur
sur
CEH,
tel que
est
pseudo-topologique,
Y tel que
posons
car ç(AXB)nCEH, donc ç( AXB)C=O .
D’autre
part,
Ceci
pre
montre
F"
sur
F’D F" . On
que les ensembles
Hom (
a
Y , X ) . Soit
F’D F ,
car
constituent
A B, C
F’
un
F"D F ,
ultrafiltre
l’on
et
une
base d’un filtre pro-
sur
Hom ( Y , X )
va montrer
que
F’,4f
tel que
ce
qui
finira la démonstration.
En effet, supposons que
ce
qui entraîne
Comme H
F’- À1f .
Alors
l’existence de A’ E F’
est un
et
BEG,
tels
que ç ( A’ X B ) ri H .
ultrafiltre, C = Y - ç (A’XB) appartient
321
à H . Choisis-
(par exemple A = Hom (Y,X)), on a AB, C E F" C F’ et l’on
prouve que A’nAB,C=O’ car, si g EA’, g (B)Cç(A’XB), d’où
g(B)nC =O, c’est-à-dire gEAB,C. Il en résulterait 03BCOEF’, ce qui est
A E F
sant
absurde,
F’ étant
filtre propre.
un
Les résultats
vient d’obtenir
pleine jj de la
topologiques, contient
fie les
vu
que
que la
sous-catégorie
2J,
objets
pseudola catégorie 5 des espaces topologiques, et vériconditions 1 et 2 énoncées dans l’introduction. Comme on a déjà
Gù était la plus petite sous-catégorie pleine de 95 vérifiant ces
qu’on
catégorie
conditions,
on en
PROPOSITION
déduit que
3.8.
montrent
dont les
CÎn! C PJ,
sont
les espaces
c’est-à-dire:
Tout espace d’Antoine
est un
espace
pseudo-topolo-
gique.
On peut
demander si
réciproquement tout espace pseudo-topologique est un espace d’Antoine. La réponse est négative, comme le montre l’exemple suivant; mais on verra dans le paragraphe suivant que la
réciproque est vraie pour les espaces séparés.
se
Soit N
l’espace semi-topologique
EXEMPLE
3.9.
jacent
l’ensemble des entiers naturels
n
EN,
est
est
le filtre de
toutes
les
parties
et
de N
dont l’ensemble
tel que
qui
Un,
pour
sous-
chaque
contiennent l’ensemble
N étant semi-topologique, c’est en particulier un espace pseudo-topologique. On va voir que N n’est pas un espace d’Antoine. Si ú) est un ouvert
de
N
et
si n E w, le fait que
On -+ n
entraîne que
w E Un,
c’est-à-dire
particulier n + 1 E w; par induction on déduit que w =N.
L’espace des ouverts .0 N a donc deux éléments, e et N . L’application
canonique a: N ->OON applique n sur l’ensemble des ouverts qui
contiennent n , c’est-à-dire sur {N}; c’est donc une application constante. La quasi-topologie initiale sur N définie par a est donc celle où
tous les filtres convergent vers tous les points; elle est différente de la
quasi-topologie considérée. Il suffit alors de tenir compte de 2.3.
A n +1 C w,
en
322
On peut aussi
La
pseudo-topologique.
Soit
3.10.
EXEMPLE
se
réponse
x E R2 ,
G
notons
est
R2 l’espace
topologie canonique
sa
demander si
aussi
des
espace
quasi-topologique
est
négative:
couples
R2
aussi
et notons
le filtre des
tout
voisinages
voisinages de 0 dans R .
Soit E l’espace quasi-topologique
de nombres réels muni de
l’ensemble
de
x
dans
sous-jacent.
Si
R2 ; notons 0
le
filtre des
R2 ,
dont les filtres qui convergent
qui
convergent
0
(0, 0)
vers
a
dans
R2
dont l’ensemble
sous-jacent
est
point a = 0 = (0,0) sont ceux
les filtres qui convergent vers
vers un
et
dont
qui contiennent une intersection finie de filtres du
type 00 a ’ où a=0, en désignant par 00 a le filtre image du filtre UXUa
R X R2 par l’application À: R X R2 - R2 «multiplication par les
sur
=
scalaires
sont ceux
».
On
va
00
Le filtre
E n’est pas un espace pseudo-topologique.
converge pas vers 0 dans E : en effet, si l’on avait
montrer
ne
que
pourrait choisir une droite r passant par 0 et ne passant par
des points a, et choisir Ai EUa , tel que
Ainr=O; on aurait
on
qui
ce
est
absurde. On va voir que, si F
est un
aucun
ultrafiltre tel que F D
U0,
F-0,
que E n’ est pas pseudo-topologique. Nous
qui
supposer que F=0E, ce qui entraîne que F/R2-{0} est
pouvons
alors
ce
montrera
sur
R2-{ 0}. Soit
E déjà
un
ultrafiltre
la
sphère
d’où
un
unité de
R2 ;
en
a l’application
ultrafiltre ç (F/R2-
induite par celle de
On
on
R2 ,
est un
sur
S. Puisque S,
avec
la
topologie
espace compact, il existe a E S tel que
déduit facilement que
323
d’étudier, donc
vient
quasi-topologiques du type de celui qu’on
pseudo-topologiques », ont été employés dans
que des espaces
Remarquons
«non
[8].
4. ESPACES SEPARES
quasi-topologique X est dit séparé
équivalentes suivantes est vérifiée:
Un espace
conditions
I . Si F
est un
filtre propre
sur
X tel que
FXx
si l’une des trois
et
alors
FXy,
x=y;
II. Si
x=y,
si
FXx
et
GXy,
alors il existe A E F
que A nB =¡6;
III. La diagonale
est
Rappelons que, si X est un
X l’espace quasi-topologique initial
plication canonique cx: X -> DOX.
A
X
Si
simples
A C X,
LEMME
B C X
note
on
est
la
A°
encore
séparé,
va
on
fermée dans
par OOX
trouver
et
on note
l’ap-
par
des conditions
A
qu’un
l’ensemble des
plus
filtre converge dans X . Si
ouverts
co
de X
tels que
immédiat que, si A C B , alors A° D B° . Pour les espaces
réciproque
4.1.
sont
est
Si X est
également
un
espace
vraie.
quasi-topologi que séparé,
si
A C
X et
tels que A° DB°, al ors A C B .
Démonstration. Si
est un ouvert et
LEMME
espace
B E G tels
quasi-topologique,
déterminé
que la condition A de 2.5 pour
w D A . Il
séparés
est un
espace
et
4. 2.
x EB,
l’on
Si X
on
voit
que {x}
est un
fermé, donc X-{x}
a
est
un
espace
quasi-topologique séparé,
3 24
si H est
un
filtre sur X
est véri fiée:
et
si
a
EX , alors H->a si,
et
seulement si, la condition ( B)
X
que soient l’ouvert
( B ) Quels
telle que
X
de
ú)
et
a E ú)
avec
la
famille
il existe
,
tels que
DEMONSTRATION.
la condition
(A G,x) xEw, G->x
O X qui admet pour
6c)
est un
X,
avec
tels que
A° EF,
tel que
vu
le lemme
a e w
et
que, pour
AG, x E F, la
PROPOSITION
(C)
filtre
véri f iée:
sur
sur
c’est-à-dire
donc
de X
est un ouvert
tout
x E w
F
et
G-x ,
et tout
un
sur OX
filtre
il existe
AG, x EG
condition (B) entraîne l’existence de la famille
4.3. Si X
est
un
l’on
et
espace
quasi-topologique séparé,
X et si a EX, alors H->a si,
et
X
a
si H
seulement si, la condition
est
(C) Quelle
G1,
si la
et
précédent, .
telle que
un
a Ew,
soit F le filtre
AG, x EG,
il existe A EH
(A),
(B)=>(A): Si 6c)
2-
est
à
tels que
entraîne,
vérifiant
de
ouvert
telle que
est
il existe
ceci
équivalente
est
base les
la condition
D’après
(B)
(A) de 2.5:
( A ) => (B): Si
lo
famille
On doit voir que la condition
... ,
Gn
que soit la
tels
DEMONSTRATION.
f amille ( AG ) G->a
telle
que AG E G ,
il existe
que
On
va
voir que la condition
condition (B) du lemme
précédent.
posons donc (B) vérifiée
et
Il
est
soit (AG)G->a
325
(C)
est
trivial que
une
équivalente
à la
(C)=>(B). Supfamille, telle que AG 6G.
Montrons d’abord que, si x£ a
B nA = 9f.
tels que
FXx, il existe A E F et B EH
chaque y E X - {x} et pour chaque F’X y , on
Pour
peut choisir
me
X -
tence
t x}
tels que
est un ouvert et a
de
EX - {x},
Com-
la condition ( B )
garantit l’exis-
tels que
alors
voulait.
comme on
Pour
chaque couple ( F, x)
ensembles
tel que x =a
il existe des
FX x,
et
tels que
Compte
prenons
tels que
et
xi = a
et
tenu
de
( B ),
il existe
que
On obtient
d’où
ce
4.4. Si X
qui vérifie
la condition
(C).
quasi-topologique séparé, alors X
seulement si, quel que soit le coupl e (H, a)
est un espace d’Antoine si,
vérifiant la condition (C)de l a proposition précédente, on a HXa .
COROLLAIRE
est un
espace
et
Il suffit de
D E M O N S T R A T I O N .
est un
espace d’Antoine
PROPOSITION
un
4.5. Si
espace d’Antoine si,
DEMONSTRATION.
( même
X
On
si,
et
rappeler ( voir
seulement si, 1 X :
se
X
est
et
seulement
a
un
déjà
la preuve de
->X
X
est
2.6) que X
continue.
quasi-topologique séparé, X
si, X est pseudo-topologique.
espace
montré (3.8) que
tout
est
espace d’Antoine
séparé) est un espace pseudo-topologique. Supposons donc que
espace pseudo-topologique séparé. Soit (H, a ) un couple formé
non
est un
d’un filtre H sur X
proposition 4.3.
verge pas
vers
et
d’un
Soit F
un
ultrafiltre
sur
dans
X,
pour
tout
GX
a
vérifiant la condition (C) de la
point a EX ,
326
X tel que
a
on a
FDH. Si F
F 1J G,
et
ne con-
il existe donc
AG t F;
AG E G
tel que
D’après
la condition
on en
Fi a.
ce
qui
( C ),
s’ensuit,
il existe
F étant
un
X - AG EF.
ultrafiltre,
tels que
G1,..., Gn
déduit que
qui
ce
il
est
absurde. Ceci prouve que, si F
Comme X
est
un
espace
est un
ultrafiltre
et
si F D
H,
voit que
HXa,
transformations, Annals
of Math.
pseudo-topologique,
on
termine la démonstration.
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