Corrections - XMaths

Exercice 02
x est un réel différent de 1.
n+1
Considérons la proposition P(n) :
1 + x + x2 + ⋯ + xn = 1 - x
1-x
Initialisation :
Pour n = 0,
x0 correspondant à 1, la somme 1 + x + x2 + ⋯ + xn se limite au seul terme 1
1 - xn+1 = 1 - x = 1
1-x
1-x
La proposition P(0) est donc vraie.
et
(On pourrait vérifier la proposition P(n) pour n = 1 , 2 , 3 ... cela peut faciliter la compréhension, mais c'est sans utilité
pour le raisonnement)
Hérédité :
Supposons que la proposition P(n) est vraie pour un entier donné n ∈ IN .
n+1
On a donc 1 + x + x2 + ⋯ + xn = 1 - x
1-x
n+2
On veut alors démontrer que P(n+1) est vraie, c'est-à-dire que 1 + x + x2 + ⋯ + xn + xn+1 = 1 - x
1-x
En rajoutant xn+1 à chacun des deux membres on obtient
n+1
1 + x + x2 + ⋯ + xn + xn+1 = 1 - x
+ xn+1
1-x
n+1
n+1
+ x (1 - x)
donc
1 + x + x2 + ⋯ + xn + xn+1 = 1 - x
1-x
1-x
n+1 + xn+1 - xn+2
1
x
2
n
n+1
donc
1+x+x +⋯+x +x
=
1-x
n+2
1
x
donc
1 + x + x2 + ⋯ + xn + xn+1 =
1-x
P(n + 1) est alors vraie.
On a donc justifié que P(0) est vraie (initialisation)
et que pour tout entier n ∈ IN P(n) ⇒ P(n+1) (hérédité)
On a donc démontré par récurrence que la proposition P(n) est vraie pour tout entier n ∈ IN .
On a donc démontré que pour tout entier n ∈ IN ,
1 + x + x2 + ⋯ + xn
x0 + x1 + x2 + ⋯ + xn
n+1
1 + x + x2 + ⋯ + xn = 1 - x
1-x
peut aussi s'écrire
k=n
c'est-à-dire
∑
xk
k=0
On peut obtenir une expression de cette somme avec un logiciel de
calcul formel (ou avec une calculatrice pouvant effectuer du calcul
formel).
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