Corrections - XMaths

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Récurrence
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Corrections
Exercice 02
x est un réel différent de 1.
Considérons la proposition P(n) : 1 + x + x
2
+ ⋯ + x
n
= 1 - x
n+1
1 - x
Initialisation :
Pour n = 0, x
0
correspondant à 1, la somme 1 + x + x
2
+ ⋯ + x
n
se limite au seul terme 1
et 1 - x
n+1
1 - x = 1 - x 1 - x = 1
La proposition P(0) est donc vraie.
(On pourrait vérifier la proposition P(n) pour n = 1 , 2 , 3 ... cela peut faciliter la compréhension, mais c'est sans utilité
pour le raisonnement)
Hérédité :
Supposons que la proposition P(n) est vraie pour un entier donné n ∈ IN .
On a donc 1 + x + x
2
+ ⋯ + x
n
= 1 - x
n+1
1 - x
On veut alors démontrer que P(n+1) est vraie, c'est-à-dire que 1 + x + x
2
+ ⋯ + x
n
+ x
n+1
= 1 - x
n+2
1 - x
En rajoutant x
n+1
à chacun des deux membres on obtient
1 + x + x
2
+ ⋯ + x
n
+ x
n+1
= 1 - x
n+1
1 - x + x
n+1
donc 1 + x + x
2
+ ⋯ + x
n
+ x
n+1
= 1 - x
n+1
1 - x + x
n+1
(1 - x)
1 - x
donc 1 + x + x
2
+ ⋯ + x
n
+ x
n+1
= 1 - x
n+1
+ x
n+1
- x
n+2
1 - x
donc 1 + x + x
2
+ ⋯ + x
n
+ x
n+1
= 1 - x
n+2
1 - x
P(n + 1) est alors vraie.
On a donc justifié que P(0) est vraie (initialisation)
et que pour tout entier n ∈ IN P(n) ⇒ P(n+1) (hérédité)
On a donc démontré par récurrence que la proposition P(n) est vraie pour tout entier n ∈ IN .
On a donc démontré que pour tout entier n ∈ IN , 1 + x + x
2
+ ⋯ + x
n
= 1 - x
n+1
1 - x
1 + x + x
2
+ ⋯ + x
n
peut aussi s'écrire
x
0
+ x
1
+ x
2
+ ⋯ + x
n
c'est-à-dire
k = 0
∑
k = n
x
k
On peut obtenir une expression de cette somme avec un logiciel de
calcul formel (ou avec une calculatrice pouvant effectuer du calcul
formel).