Système formel

Systèmes formels et
interprétations
Logique - 1

Système formel
Nous avons introduit : signes de variables (x, y, z,
…), de constantes (0, 1), d’opérations (+, ), de
relations (=, )
Axiomes : ce sont des propositions correctement
formées obtenues au moyen de ces signes (en
utilisant des règles bien définies), ex: la
commutativité de + (x + y = y + x) est un axiome, de
même que ce que Boole appelle la loi fondamentale
de la pensée: x2= x.

À partir de ces axiomes et par des
déductions, nous pouvons déduire d’autres
propositions bien formées, qu’on appelle des
théorèmes.
Par exemple, nous avons obtenu la
deuxième forme de la distributivité comme
un théorème, de même pour le principe de
non-contradiction, qui peut s’écrire:
x(1-x) = 0

Le fait d’ « interpréter » ou de « ne pas
interpréter » les x, y, z, … ou bien 1 et 0 n’a
pas de rôle dans ces déductions,
On aurait pu utiliser et au lieu de 1 et de
0 ! Les seules choses à garder en ce cas
auraient été les axiomes:
+x = ; x = x
+x = x; x = 

On aurait même pu aller plus loin et oublier toutes références à
l’addition et à la multiplication, en utilisant des symboles autres
pour les opérations: par exemple €et £…et ∞ au lieu de =
Les axiomes précédents seraient devenus:
€x∞; £x∞x
€x∞x; £x∞
Avec en plus évidemment toutes les traductions d’axiomes
comme commutativité, idempotence etc.
Les mêmes déductions auraient été possibles.