Système formel

Systèmes formels et
interprétations
Logique - 1
Système formel
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Nous avons introduit : signes de variables (x, y, z,
…), de constantes (0, 1), d’opérations (+, ), de
relations (=, )
Axiomes : ce sont des propositions correctement
formées obtenues au moyen de ces signes (en
utilisant des règles bien définies), ex: la
commutativité de + (x + y = y + x) est un axiome, de
même que ce que Boole appelle la loi fondamentale
de la pensée: x2 = x.
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À partir de ces axiomes et par des
déductions, nous pouvons déduire d’autres
propositions bien formées, qu’on appelle des
théorèmes.
Par exemple, nous avons obtenu la
deuxième forme de la distributivité comme
un théorème, de même pour le principe de
non-contradiction, qui peut s’écrire:
 x(1-x) = 0
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Le fait d’ « interpréter » ou de « ne pas
interpréter » les x, y, z, … ou bien 1 et 0 n’a
pas de rôle dans ces déductions,
On aurait pu utiliser  et  au lieu de 1 et de
0 ! Les seules choses à garder en ce cas
auraient été les axiomes:
 +x = ; x = x
 +x = x; x = 
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On aurait même pu aller plus loin et oublier toutes références à
l’addition et à la multiplication, en utilisant des symboles autres
pour les opérations: par exemple € et £…et ∞ au lieu de =
Les axiomes précédents seraient devenus:
 €x∞; £x∞x
 €x∞x; £x∞
Avec en plus évidemment toutes les traductions d’axiomes
comme commutativité, idempotence etc.
Les mêmes déductions auraient été possibles.
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Il faudrait maintenant donner une présentation plus
précise du système formel implicite chez Boole…
Y a-t-il des axiomes non explicitement formulés?
(que Boole utiliserait sans le dire)
N’y a-t-il pas quelque redondance dans les
axiomes? (certains pouvant s’obtenir à partir
d’autres au titre de théorèmes)
Le nombre d’axiomes donnés est-il minimal?
Ce sont les questions « système formel »
Interprétation
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Une fois que nous avons un système formel, nous
pouvons essayer de donner une interprétation aux
signes introduits, par exemple, nous interprétons 
comme « le nombre 0 »,  comme « le nombre 1»,
Mais nous ne pouvons pas donner des
interprétations aux signes indépendamment les uns
des autres… il faut une cohérence. Si nous
interprétons x, y, z comme des nombres
quelconques, alors nous voyons bien que certaines
propriétés exprimées par des axiomes ou des
théorèmes vont être en échec…
suite
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Si  et  sont interprétés comme 0 et 1 respectivement, il ne
s’agit pas exactement des 0 et 1 courants de l’arithmétique…
c’est le 0 et le 1 d’une algèbre particulière
De ce fait, + et  ont aussi une interprétation particulière,
qui ne consiste pas dans l’addition et la multiplication des
entiers par exemple! (car 1+1=2 pour les entiers, alors que
1+1=1 dans notre cas!)
Il faut donc maintenant définir rigoureusement l’interprétation
des opérations de ce système.
Ce sont des questions d’interprétation, ou de théorie des
modèles.
Théorie des modèles
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L’interprétation que nous construisons doit bien sûr
nous être utile… il faut par exemple que tout ce que
nous pouvons trouver vrai dans l’interprétation
corresponde à ce qu’on peut démontrer comme
théorèmes dans le système formel
(complétude)
Et il faut aussi bien sûr la réciproque: que tout ce
qui est démontrable soit vrai dans l’interprétation
(consistance)
Interprétation
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Le domaine de l’interprétation est, par définition, un ensemble non
vide,
Ici, nous devons au minimum donner une interprétation aux
constantes, que nous avons notées provisoirement  et , donc le
domaine de l’interprétation doit contenir au moins deux objets
distincts,
Choisissons comme domaine de l’interprétation l’ensemble {0, 1}
Cela signifie que les constantes sont interprétées comme éléments
de cet ensemble ( 0; 1) et que les variables ont pour valeurs
des éléments de cet ensemble (on appelle de façon générale variable
booléenne une variable à valeurs dans {0, 1})
+ et  sont interprétées comme des lois de composition interne sur
{0, 1} que nous allons définir (tables)
Cette interprétation est « la plus petite » que nous pouvons donner à
notre système formel
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Afin d’avoir une chance que les vérités de
l’interprétation correspondent aux théorèmes
et aux axiomes… il faut faire un choix
judicieux des valeurs attribuées par + et 
aux couples d’éléments de {0, 1}
0 étant élément neutre de +, on a:
0 + 0 = 0 et 0 + 1 = 1 + 0 = 1
1 étant élément absorbant de +, on a:
1+1=1
+
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D’où la première table:
+
0
1
0
0
1
1
1
1
Remarque
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Le texte de Boole nous a invité à utiliser le
symbole « – » pour marquer une opération
de pseudo-opposée par rapport à +, en fait,
1-x devait être compris comme la classe
complémentaire de x. Pour éviter cette «
soustraction », on peut considérer 1-x
comme le résultat d’une opération unaire
sur x, qu’on notera
0
1
par exemple x,

1
0
avec la définition:
X
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De même, on a:
1 X 1 = 1; 1 X 0 = 0 X 1 = 0
0X0=0
D’où la deuxième table:
X
0
1
0
0
0
1
0
1
Formules vraies dans l’interprétation
(tautologies)
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Verifier que les formules suivantes sont vraies (ce
qui signifie que dans tous les cas de valeurs pour x,
y, z… les deux côtés du signe = prennent la même
valeur):
x(y+z) = xy + xz ; x+yz = (x+y)(x+z)
x(1 – x) = 0 ; x + (1 – x) = 1
x + y = xy + x(1-y) + (1-x)(1-y) + (1-x)y
1–(x+y) = (1-x)(1-y) ; 1-xy = (1-x)+ (1-y)
(ou: (x+y) = xy ; (xy) = x+y)
Retour au système formel
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Nous prenons volontairement des symboles
distincts de +,  etc. afin de bien marquer
l’indépendance du système formel par
rapport à son interprétation.
Des symboles souvent utilisés sont, pour les
opérations:  et , pour les constantes:  et
T. Nous introduisons également le symbole 
axiomes
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(i) pour tout x et tout y:
xy = yx ; xy = yx,
(ii) pour tout x, tout y et tout z:
x(yz) = (xy)z ; x (yz) = (xy)z
(iii)  élément neutre pour , T élément neutre pour ,
(iv) pour tout x, tout y et tout z,
x(y  z) = (xy)  (x  z)
x (y  z) = (x  y)  (x  z)
(v) pour tout x, il existe x tel que:
x  x = T; x  x = 
Théorème 1:
idempotence
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Démontrer:
Pour tout x, xx = x et xx = x
solution:
x = x
= x(xx)
= (xx) (xx)
= (xx) T
= xx
Théorème 2:
éléments absorbants
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Démontrer que:
Pour tout x, x  T = T et x   = 
solution:
xT = x(xx)
= (xx)x
= xx = T
Théorème 3:
unicité de la négation
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Démontrer que :
pour x donné, x est unique
solution: soit x’ tel que x’x =  et x’x = T,
alors:
x’= x’T= x’(x x) = (x’x) (x’x)
= (x’x) = (xx) (x’x) =
(xx’)x = Tx = x
Théorème 4:
lois de De Morgan
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Démontrer que:
Pour tout x et tout y:
(xy) = xy
(xy) = xy
solution: il faut utiliser le résultat précédent!
Pour cela, démontrer que:
(xy)(xy) =  et que
(xy)(xy) = T
Théorème 5 :
loi de double négation
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Démontrer que:
Pour tout x, (x) = x
Logique de l’inclusion
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Démontrer:
xy  z si et seulement si x z et y z
x  yz si et seulement si x y et x z
x  y si et seulement si y x
x  y si et seulement si xy = 
xy est la borne supérieure de x et de y
xy est la borne inférieure de x et de y