Chapitre 2 : Chute verticale d`un solide.

Chapitre 2 : Chute verticale d’un solide
Terminale S
Chapitre 2 : Chute verticale d’un solide.
Objectifs :
¾ Qu’est-ce qu’un champ de pesanteur ?
¾ Chute verticale sans frottement fluide
¾ Chute verticale dans un fluide
I. Qu’est-ce qu’un champ de pesanteur ?
¾ Tout corps de masse m situé au voisinage de la Terre est soumis à la force de pesanteur : le
poids P dont les caractéristiques sont les suivantes :
- Point d’application : centre d’inertie
- Direction : verticale
- Sens : vers le bas (centre de la Terre)
- Norme :
P = m×g
P : poids en N
m : masse en kg
g : intensité de la pesanteur en N·kg – 1
¾ Dans un référentiel galiléen, le poids d’un corps, supposé ponctuel, de masse m, peut
s’identifier à la force d’attraction gravitationnelle de la Terre sur ce corps si celui se trouve au
voisinage de la surface terrestre.
Si le corps est au niveau du sol terrestre, on a :
F T/C = − G ×
m × MT
⋅u
R T2
FT/C, en N, force d’attraction gravitationnelle de la Terre sur le corps
G, constante de gravitation universelle, = 6,67×10 – 14 m3·kg – 1·s – 2
m, en kg, masse du corps
MT, en kg, masse de la Terre
RT , en m, rayon terrestre
FT/C
u
Corps ponctuel de
masse m
RT
Terre de masse
MT
De manière générale, si le corps est à une altitude z (m) par rapport à la surface terrestre, on a :
m × MT
F T/C = − G ×
⋅u
(R T + z )2
− G × MT
FT/C = m ×
⋅u = P
(R T + z )2
G × MT
G × MT
Soit P = m × g avec g = −
⋅ u = − g ⋅ u et g =
2
(R T + z )
(R T + z )2
¾ g dépend de l’altitude z et de la latitude (aux pôles g est plus important qu’à l’équateur).
¾ A chaque point M présent au voisinage de la Terre on associe un vecteur g (M) .
On définit ainsi un champ de vecteur g (M) appelé champ de pesanteur (la direction, le sens et
la valeur de g dépendent du lieu considéré).
¾ On considèrera, en tout point M d’une zone restreinte à la surface terrestre (inférieure à quelques
km), que le champ de pesanteur est localement uniforme (même direction, même sens et même
valeur). On aura donc g (M) = g 0 = Cste .
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Axe vertical ascendant
z
Axe vertical descendant
O
g = − g0 ⋅ k
g = g0 ⋅ k
k
g = g0
g = g0
k
O
Surface terrestre
Surface terrestre
z
À Paris (ou Strasbourg), on retiendra que g = 9,81 N·kg –1 ou 9,81 m·s –2.
II. Chute verticale sans frottement fluide
II.1. Chute libre
¾ Un corps est dit en chute libre s’il n’est soumis qu’à son propre poids P .
¾ C’est le cas d’un corps en chute libre dans le vide. C’est également valable lorsque les autres
forces comme la poussée d’Archimède et les forces de frottements fluides sont négligeables
devant le poids (ex : bille en acier dans l’air).
II.2. Bilan dynamique
¾ Soit la chute libre d’un corps de masse m dans un champ de pesanteur uniforme g du référentiel
terrestre supposé galiléen.
On supposera qu’à l’instant t = 0s, le centre d’inertie G du corps est animé d’une vitesse initiale
v 0 verticale vers le bas.
O
G0
¾ Système : {corps}
k
Référentiel : terrestre supposé galiléen
v0
P
Bilan des forces extérieures : - poids P
Gt
¾ Appliquons la deuxième loi de Newton : P = m ⋅ a G
m ⋅ g = m ⋅ aG
Soit
vt
P
g = aG
z
¾ L’accélération du centre d’inertie G du corps ne dépend pas de sa masse lors sa chute libre.
¾ Remarque : c’est pour cela qu’on parle également de g comme accélération de la pesanteur
(d’où g exprimé en m·s –2).
Ex : une accélération de la pesanteur de 2g donne l’impression que le poids est multiplié par 2 !
II.3. Équations horaires
¾ On projette la relation vectorielle issue de la deuxième loi de Newton selon les axes du repère
d’espace (O, i , j , k ) ; on en déduit que l’accélération aG n’a qu’une seule coordonnée selon Oz :
Soit :
dv x
⎧
⎫
⎪a Gx = dt = 0 ⎪
⎪
⎪
dv y
⎪
⎪
a G (t) : ⎨a Gy =
= 0⎬
dt
⎪
⎪
dv z
⎪
⎪
⎪ a Gz = dt = g ⎪
⎩
⎭
en intégrant par rapport au temps on obtient :
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dx
⎧
⎫
⎪v Gx = dt = C1
⎪
⎪
⎪
dy
⎪
⎪
= C2
v G (t) : ⎨v Gy =
⎬
dt
⎪
⎪
dz
⎪
⎪
⎪ v Gz = dt = g ⋅ t + C3 ⎪
⎩
⎭
les constantes C1, C2 et C3 se déduisent d’après les conditions initiales :
⎧v G0x = C1 = 0
⎫
⎪
⎪
À t = 0 s on a v G0 : ⎨v G0y = C 2 = 0
⎬
⎪
⎪
⎩ v G0z = g × 0 + C3 = v 0 ⎭
⎫
⎧v Gx = 0
⎪
⎪
donc v G (t) : ⎨v Gy = 0
⎬
⎪
⎪
⎩ v Gz = g ⋅ t + v 0 ⎭
La courbe vG = f(t) est une fonction affine (ou linéaire si v0 = 0 m·s –1).
Si v0 ≠ 0 m·s –1
v
v
Si v0 = 0 m·s –1
Pente
g = aG
Pente
g = aG
v0
0
0
t
t
en intégrant de nouveau par rapport au temps on obtient les équations horaires du mouvement :
⎫
⎧
⎪
⎪x(t) = C 4 = 0
⎪
⎪
OG (t) : ⎨ y(t) = C5 = 0
⎬
⎪
⎪
1
⎪ z(t) = ⋅ g ⋅ t 2 + v 0 ⋅ t + C6 ⎪
2
⎭
⎩
les constantes C4, C5 et C6 se déduisent d’après les conditions initiales :
⎫
⎧
⎪
⎪x(0) = C 4 = 0
⎪
⎪
À t = 0 s on a OG 0 : ⎨ y(0) = C5 = 0
⎬
⎪
⎪
1
⎪ z(0) = × g × 0 2 + v 0 × 0 + C6 = 0⎪
2
⎭
⎩
⎫
⎧
⎪
⎪x(t) = 0
⎪
⎪
donc OG (t) : ⎨y(t) = 0
⎬
⎪
⎪
1
⎪ z(t) = ⋅ g ⋅ t 2 + v 0 ⋅ t ⎪
2
⎭
⎩
La courbe z = f(t) est une parabole.
z
Si z0 ≠ 0 m
z
Si z0 = 0 m
z0
0
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t
0
t
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Conclusion :
¾ Le mouvement de chute libre verticale est un mouvement uniformément accéléré (a = cst).
¾ Les conditions initiales sont très importantes dans la détermination des équations horaires du
mouvement.
¾ L’orientation de l’axe verticale Oz est également très importante !
III. Chute verticale dans un fluide
On entend par fluide : un liquide ou un gaz ou un mélange de gaz.
III.1. La poussée d’Archimède
¾ On considère une bille, de masse m et de volume V, que l’on dépose dans un récipient dans
lequel se trouve un liquide de masse volumique ρfluide.
ΠA
Liquide de masse
volumique ρfluide
¾ Système : {la bille}
Référentiel : terrestre supposé galiléen
Bilan des forces extérieures : - poids P
Volume de fluide
déplacé Vfluide déplacé
P
- poussée d’Archimède Π A
¾ Théorème d’Archimède :
Tout corps, placé dans un fluide, subit de la part de celui-ci une force notée Π A verticale,
dirigée vers le haut et de norme égale au poids du volume de fluide déplacé.
¾ La poussée d’Archimède correspond en fait à la résultante des forces pressantes qu’exerce le
fluide sur le corps immergé. Elle s’applique rigoureusement au centre de poussée C (qui
correspond au centre de masse du fluide déplacé).
¾ Le poids du volume déplacé a pour expression :
Π A = m fluide déplacé × g , comme m fluide déplacé = ρ fluide × Vfluide déplacé
Soit :
Π A = ρfluide × Vfluide déplacé × g
ΠA, en N, poussée d’Archimède
ρfluide, en kg·m –3, masse volumique du fluide
Vfluide déplacé, en m3, volume de fluide déplacé
g, en N·kg –1 ou m·s –2, intensité ou accélération de la pesanteur
En terme de vecteur la poussée d’Archimède s’exprime par : Π A = − ρfluide × Vfluide déplacé × g
¾ Remarque : si le corps est totalement immergé (cas des exercices !) alors :
Vfluide déplacé = Vcorps = V et donc Π A = ρfluide × V × g
¾ On pourra négliger la poussée d’Archimède Π A devant le poids P du corps si
P
≥ 10 2 ou si
ΠA
c’est indiqué dans l’énoncé.
III.2. Forces de frottements fluides
¾ Lorsqu’un solide est un mouvement de translation à la vitesse v dans un fluide, il subit de la part
de celui-ci des forces de frottements fluides f s’opposant à son mouvement.
La force de frottements fluides résultante aura donc même direction que v mais de sens
opposé.
f
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v
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¾ La valeur de f est liée à la vitesse v du corps par la relation :
f, en N, force de frottements fluides
k,
unités à déterminer selon le cas, constante qui dépend de la forme de l’objet,
f = k × vn
de la nature du fluide…
n, sans unité, nombre réel qui dépend de la vitesse de l’objet
¾ Pour les faibles vitesses on aura : f = k × v et on parle d’écoulement laminaire. Fig 2A p 195
Pour les vitesses élevées on aura : f = k × v2 et on parle d’écoulement turbulent. Fig 2B p 195
III.3. Bilan dynamique et courbe expérimentale de v = f (t)
¾ Soit une bille, de masse m, de volume V et de masse volumique ρbille, qui est lâchée sans vitesse
initiale dans un fluide de masse volumique ρfluide.
¾ Système : {la bille}
Référentiel : terrestre supposé galiléen
Bilan des forces extérieures : - poids P - poussée d’Archimède Π A - frottements fluides : f
ΠA
O
k
f
g
P
z
¾ Expérimentalement la courbe de la vitesse en fonction du temps v(t) à l’allure suivante :
v
vlim
Régime
transitoire
O
τ
Régime
permanent
t
¾ τ est appelé le temps caractéristique du mouvement, il nous donne un renseignement sur la
durée du régime transitoire. τ est exprimé en seconde.
À t = 5τ on a v (5τ) = vlim et on a atteint le régime permanent.
τ dépend de la nature du fluide.
III.4. Équation différentielle du mouvement et exploitation
¾ D’après la deuxième loi de Newton on a : ∑ Fext = m ⋅ a G
Soit P + Π A + f = m ⋅ a G .
¾ Or le mouvement de la bille se fait uniquement selon l’axe Oz donc en projetant cette relation
P − Π A − f = m ⋅ a Gz
selon l’axe Oz on a :
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m ⋅ g − Π A − f = m ⋅ a Gz
dv Gz
dt
Comme le mouvement se fait selon l’axe Oz on a v = v ⋅ k = v z ⋅ k avec v = vz > 0
dv
m ⋅ g − ρ fluide ⋅ V ⋅ g − k ⋅ v Gn = m ⋅ G
dt
ρ
⋅ V ⋅ g k n dv G
g − fluide
− ⋅ vG =
m
m
dt
ρ
⋅ V ⋅ g k n dv G
De plus m = ρbille × V donc g − fluide
− ⋅ vG =
m
ρ bille ⋅ V
dt
n
m ⋅ g − ρ fluide ⋅ V ⋅ g − k ⋅ v Gz
= m⋅
En simplifiant on a : g −
⎞ k n dv G
⎟⎟ − ⋅ v G =
dt
⎠ m
dv
A − B ⋅ v nG = G
dt
⎛
ρ
g ⋅ ⎜⎜ 1 − fluide
ρ bille
⎝
ρ fluide
dv
k
⋅ g − ⋅ v Gn = G ou
ρ bille
dt
m
⎛
⎞
ρ
k
En posant A = g ⋅ ⎜⎜1 − fluide ⎟⎟ = Cste et B = = Cste on a
m
ρ bille ⎠
⎝
dv
¾ À t = 0s, on a a G = a 0 = G
et la force de frottement fluide f = 0 N car v = 0 m·s –1 donc
dt t =0
⎛
⎞
ρ
= A = g ⋅ ⎜⎜ 1 − fluide ⎟⎟
ρ bille ⎠
⎝
t =0
dv
¾ En régime permanent (t→∞) on a : v = vlim et a G∞ = G
= 0 m ⋅ s − 2 ce qui donne :
dt t =∞
a0 =
0 = A − B⋅v
n
lim
soit
v
n
lim
dv G
dt
A
=
B
v lim
donc
En écoulement laminaire, n = 1, et v lim
⎛A⎞
=⎜ ⎟
⎝B⎠
En écoulement turbulent, n = 2, et v lim
⎛A⎞
=⎜ ⎟
⎝B⎠
1
1
1
2
=
=
⎛A⎞
=⎜ ⎟
⎝B⎠
1
n
⎛A⎞
=n ⎜ ⎟
⎝B⎠
A
B
A
B
¾ Lien entre τ, a0 et vlim :
La tangente à l’origine coupe l’asymptôte de la courbe v(t) au point d’abscisse t = τ et on a la
relation :
vlim = a0 × τ
ème
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