Cours d`Algèbre linéaire et géométrie - Cours-info

Alg` ebre lin´ eaire et g´ eom´ etrie
Christophe GUYEUX
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21 octobre 2009

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Table des mati` eres
1 Rep´ erage dans le plan et l’espace 7
1.1 Syst`emes de coordonn´ees dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Coordonn´ees cart´esiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Coordonn´ees polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Syst`emes de coordonn´ees dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Coordonn´ees cart´esiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Coordonn´ees cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 Coordonn´ees sph´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 R´ esolution de quelques probl` emes g´ eom´ etriques 13
2.1 Produit scalaire, produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 ´ Equations de droites et de plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.1 La droite dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.2 Le plan dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.3 La droite dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 ´ Equations de cercles, de sph`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.1 Le cercle dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.2 La sph`ere dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Calcul de distances ........................... 20
2.4.1 Distance entre deux points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.2 Distance d’un point `a une droite dans le plan . . . . . . . . . 20
2.4.3 Distance d’un point `a un plan dans l’espace . . . . . . . . . . 21
2.4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Exercices ................................ 22
3 Syst` emes d’´ equations lin´ eaires 25
3.1 Pr´esentation ............................... 25
3.1.1 Exemples d’utilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.2 Nombre de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Algorithme du pivot ........................... 26
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4 TABLE DES MATI` ERES
3.2.1 Premi`ere ´etape : descente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.2 Deuxi`eme ´etape : remont´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.3 Cas o`u l’un des pivots est nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.1 Syst`emes carr´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.2 Syst`emes rectangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.3 Syst`emes `a param`etres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4 Notion de d´ eterminant 35
4.1 D´eterminant de petites tailles (¡4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.1 D´eterminant de taille 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.2 D´eterminant de taille 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.3 D´eterminant de taille 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2 Cas g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3 Application du d´eterminant aux SEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3.1 Nombre de solutions du SEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3.2 Formule de Cramer (pour les petits syst`emes) ......... 42
4.3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5 Matrices 47
5.1 Op´erations ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.1.1 Pr´esentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.1.2 Addition matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.1.3 Soustraction matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.1.4 Transpos´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.1.5 Multiplication matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.1.6 Multiplication d’un nombre (scalaire) et d’une matrice . . . . 52
5.1.7 Puissances de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.1.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2 Inverse d’une matrice, syst`emes lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2.1 Lien avec les syst`emes lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2.2 Inverse d’une matrice carr´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.3 Applications des matrices `a la g´eom´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3.1 Matrices et transformations du plan . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3.2 Matrices et transformations de l’espace . . . . . . . . . . . . 67
6 Espaces vectoriels 73
6.1 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.1.1 D´efinition d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.1.2 Notion de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

TABLE DES MATI` ERES 5
6.1.3 Exemples d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.1.4 Propri´et´es des espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.2 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.2.1 D´efintion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.3 Familes libres, g´en´eratrices, et bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.3.1 Bases et dimension d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . 82
6.3.2 Exemples de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.3.3 Utilit´e des bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.3.4 Familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.3.5 Familles g´en´eratrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.3.6 Bases versus libres et g´en´eratrices . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.3.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.4 Applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.4.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.4.2 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.4.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.4.4 Somme et composition d’applications lin´eaires . . . . . . . . 91
6.4.5 Applications lin´eaires et bases . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.4.6 Noyau et image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.4.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.5 Matrices et applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.6 Notion de valeur propre et vecteur propre . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.7 Exercices ................................ 95
Index 95