chapitre 5 : les nombres premiers - ambition

LFA / Terminale S SPÉCIALITÉ MATHS Mme MAINGUY
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Arithmétique
!
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chapitre 5 : les nombres premiers
!
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I"/"Introduction"
!
définition"
Un!nombre!premier!est!un!entier!naturel!qui!admet!exactement!deux!diviseurs!:!1!et!lui-même.!
!
remarques"
!!Un!entier!naturel!non!premier!autre!que!1!est!dit!composé.!Il!admet!au!moins!un!diviseur,!autre!que!1!et!lui-
même,!appelé!diviseur"strict.!!
!!Le!plus!petit!nombre!premier!est!2!;!1!n’est!pas!premier!car!il!n’a!qu’un!diviseur!dans!
!
.!
!
exemples"
!!Les!nombres!17!et!43!sont!premiers.!
!!14!n’est!pas!premier,!il!admet!7!comme!diviseur!strict.!
"
théorème"
Tout!nombre!entier!
n≥2
!admet!un!diviseur!premier!
démonstration"
!!Si!
n=0
!alors!le!théorème!est!vrai!car!2!divise!0.!
!!On!note!
n
!un!entier!naturel!supérieur!ou!égal!à!2!et!
Dn=p∈!,p≠1tel que p n
{ }
.!
!!!
n∈Dn
!donc!
Dn
!n’est!pas!vide.!
Dn
!admet!donc!un!plus!petit!élément!que!l’on!note!
p1
.!
!!!!Démontrons!que!!
p1
!est!premier!:!on!note!
d∈!
,!
d≠1
!et!tel!que!
d p1
!Il!en!existe!au!moins!un!:!
p1
!lui-même.!
!!!!On!a!donc!
d p1
!et!
p1n
donc!
d n
.!Or!
p1
!est!le!plus!petit!diviseur!de!
n
!donc!
d≥p1
.!
!!!!Et!comme!
d p1
!alors!
d≤p1
.!On!en!déduit!que!
d=p1
.!
!!!!
p1
!admet!donc!comme!seuls!diviseurs!
d
,!c’est-à-dire!lui-même!et!1!:!il!est!premier.!
!
théorème"
Soit!
P
!l’ensemble!des!nombres!premiers.!Alors!
P
!est!infini.!
démonstration"
(À!l’aide!d’un!raisonnement!par!l’absurde)!
Supposons!que!
P
!soit!fini!;!notons!
P=p1;p2;p3;…;pn
{ }
.!Soit!
d=pi
i=1
n
∏+1
!

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!
d
!n’est!pas!premier!car!il!est!plus!grand!que!tous!les!
pi
!pour!
i∈1; 2 ; …;n
{ }
.!Il!a!donc!un!diviseur!premier!
m
d’après!le!théorème!précédent!et!
m∈P
.!Alors!
m
!divise!
d
!et!
m
!divise!
pi
i=1
n
∏
!alors!
m
!divise!1!ce!qui!est!absurde.!
Donc!l’ensemble!des!nombres!premiers!est!infini.!
!
théorème"
Tout!entier!
n≥2
!non!premier!admet!au!moins!un!diviseur!premier!
p
!tel!que!
p≤n
.!
démonstration"
On!note!
n
!un!entier!naturel!supérieur!ou!égal!à!2,!non!premier.!L’ensemble!des!diviseurs!
d
!de!
n
!
2≤d<n
( )
!
admet!un!plus!petit!élément!
p
.!
!!si!
p
!n’est!pas!premier!alors!
p
!serait!divisible!par!un!entier!
d1
,!avec!
2≤d1<p
!;!
d1
!diviserait!
n
,!ce!qui!!!
!!!contredirait!«!
p
!plus!petit!diviseur!de!
n
.!Ainsi!
p
!est!premier.!!
!!Alors!il!existe!
k∈!
!tel!que!
n=p×k
!avec!
p≤k
.!On!a!donc!
n=p×k≥p2
.!
!!Or!la!fonction!racine!carrée!est!strictement!croissante!sur!
!+
!donc!elle!conserve!l’ordre.!Ainsi!
n≥p
!
!
exemple"
317!est-il!premier!?!D’après!le!théorème!précédent,!il!faut!tester!la!divisibilité!de!317!par!tous!les!nombres!
premiers!à!
317 !17,8
!donc!17.!À!l’aide!des!critères!de!divisibilité!il!apparaît!que!317!n’est!divisible!ni!par!2,!ni!
par!3,!ni!par!5.!Il!s’avère!que!les!nombres!premiers!7,!11,!13,!17!ne!divisent!pas!317.!D’où!317!premier.!
!
!
!
I"I/"Divisibilité"et"nombres"premiers!
!
! ! A"!"théorème"de"Gauss"et"nombres"premiers"
!
Les!résultats!qui!suivent!sont!des!reformulations!du!théorème!de!Gauss!et!de!ses!conséquences!dans!le!cas!
particuliers!des!nombres!premiers!
!
théorème"
Un!nombre!premier!divise!un!produit!de!facteurs!si!et!seulement!si!il!divise!l’un!de!ces!facteurs.!
!
conséquences"
!!si!
p
!premier,!divise!
ak
!alors!
p
!divise!
a
!et!donc!
pk
!divise!
ak
.!
!!si!un!nombre!premier!divise!un!produit!de!facteurs!premiers,!alors!il!l’un!de!ces!facteurs!premiers.!
!!soit!
p1,p2,p3,…,pk
!des!nombres!premiers!distincts!et!
a1,a2,a3,…,ak
!des!entiers!naturels!non!nuls.!Si!pour!!
!!tout!
i∈1, 2 ,…,k
{ }
,!
pi
ai
!divise!
n
!alors!
p1
a1p2 a2p3 a3…pk ak
!divise!
n
.!
!
!
!
! ! B"!"décomposition"d’un"entier""
!
théorème"fondamental"de"l’arithmétique"
Tout!entier!
n≥2
,!peut!se!décomposer!de!façon!unique!(!à!l’ordre!des!facteurs!près)!en!produit!de!facteurs!
premiers!:!
! ! ! !
n=p1
a1×p2 a2×…×pk ak
!
!
exemple"

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!
Décomposons!
349 272
!en!produit!de!facteurs!premiers!:!!
!
méthode":"!on!effectue!des!divisions!successives!par!des!nombres!premiers!dans!l’ordre!croissant!:!!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!On!obtient!donc!:!
349 272 =23×34×72×11
!
!
!
application":"détermination!du!
PGCD
!et!du!
PPCM
!de!deux!nombres.!
!!décomposons!les!nombres!252!et!735!:!!
!
!
!
!!On!a!donc!:!
252=22×32×7
!
!!!!!!!!!!
735=3×5×72
!
!
!
!
!!on!utilise!les!facteurs!communs,!pour!le!
PGCD
!:!
PGCD 252 ; 735
( )
=3×7=21
!
!!on!utilise!les!facteurs!pour!le!
PPCM
!:!
PPCM 252 ; 735
( )
=22×32×5×72=8820
!
!
théorème"
Soit!un!
n
!dont!la!décomposition!en!facteurs!premiers!est!:!!
n=p1
a1×p2 a2×…×pk ak
!
Alors!tout!diviseur!
d
!de!
n
!a!pour!décomposition!:!
d=p1
b
1×p2
b2×…×pk bk
"
avec"
0≤bi≤ai
"et"
i∈1; 2 ; …;k
{ }
!
Le!nombre!de!diviseurs!
N
!est!alors!:!
N=a1+1
( )
a2+1
( )
…ak+1
( )
!
!
!
349 272
!
2!
174 636
!
2!
87 318
!
2!
43 659
!
3!
14 553
!
3!
4 851
!
3!
1 617
!
3!
539
!
7!
77!
7!
11!
11!
1!
!
252!
2!
!
735!
3!
126!
2!
!
245!
5!
63!
3!
!
49!
7!
21!
3!
!
7!
7!
7!
7!
!
1!
!
1!
!
!
!
!