chapitre 5 : les nombres premiers - ambition

LFA / Terminale S
SPÉCIALITÉ MATHS
Mme MAINGUY
Arithmétique
chapitre 5 :
les nombres premiers
I/Introduction
définition
Unnombrepremierestunentiernaturelquiadmetexactementdeuxdiviseurs:1etlui-même.
remarques
–Unentiernaturelnonpremierautreque1estditcomposé.Iladmetaumoinsundiviseur,autreque1etluimême,appelédiviseurstrict.
–Lepluspetitnombrepremierest2;1n’estpaspremiercariln’aqu’undiviseurdans ! .
exemples
–Lesnombres17et43sontpremiers.
–14n’estpaspremier,iladmet7commediviseurstrict.
théorème
Toutnombreentier n ≥ 2 admetundiviseurpremier
démonstration
–Si n = 0 alorslethéorèmeestvraicar2divise0.
{
}
–Onnote n unentiernaturelsupérieurouégalà2et Dn = p ∈!, p ≠ 1 tel que p n .
n ∈Dn donc Dn n’estpasvide. Dn admetdoncunpluspetitélémentquel’onnote p1 .
Démontronsque p1 estpremier:onnote d ∈! , d ≠ 1 ettelque d p1 Ilenexisteaumoinsun: p1 lui-même.
Onadonc d p1 et p1 n donc d n .Or p1 estlepluspetitdiviseurde n donc d ≥ p1 .
Etcomme d p1 alors d ≤ p1 .Onendéduitque d = p1 .
p1 admetdonccommeseulsdiviseurs d ,c’est-à-direlui-mêmeet1:ilestpremier.
théorème
Soit P l’ensembledesnombrespremiers.Alors P estinfini.
démonstration
(Àl’aided’unraisonnementparl’absurde)
{
}
n
Supposonsque P soitfini;notons P = p1 ; p2 ; p3 ;…; pn .Soit d = ∏ pi + 1 i=1
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d n’estpaspremiercarilestplusgrandquetousles pi pour i ∈ 1; 2 ;…; n .Iladoncundiviseurpremier m
{
}
n
d’aprèslethéorèmeprécédentet m ∈P .Alors m divise d et m divise ∏ pi alors m divise1cequiestabsurde.
i=1
Doncl’ensembledesnombrespremiersestinfini.
théorème
Toutentier n ≥ 2 nonpremieradmetaumoinsundiviseurpremier p telque p ≤ n .
démonstration
(
)
Onnote n unentiernaturelsupérieurouégalà2,nonpremier.L’ensembledesdiviseurs d de n 2 ≤ d < n admetunpluspetitélément p .
–si p n’estpaspremieralors p seraitdivisibleparunentier d1 ,avec 2 ≤ d1 < p ; d1 diviserait n ,cequi
contredirait« p pluspetitdiviseurde n .Ainsi p estpremier.
–Alorsilexiste k ∈! telque n = p × k avec p ≤ k .Onadonc n = p × k ≥ p 2 .
Orlafonctionracinecarréeeststrictementcroissantesur ! + doncelleconservel’ordre.Ainsi n ≥ p exemple
317est-ilpremier?D’aprèslethéorèmeprécédent,ilfauttesterladivisibilitéde317partouslesnombres
premiersà 317 !17,8 donc17.Àl’aidedescritèresdedivisibilitéilapparaîtque317n’estdivisiblenipar2,ni
par3,nipar5.Ils’avèrequelesnombrespremiers7,11,13,17nedivisentpas317.D’où317premier.
II/Divisibilitéetnombrespremiers
A† théorèmedeGaussetnombrespremiers
LesrésultatsquisuiventsontdesreformulationsduthéorèmedeGaussetdesesconséquencesdanslecas
particuliersdesnombrespremiers
théorème
Unnombrepremierdiviseunproduitdefacteurssietseulementsiildivisel’undecesfacteurs.
conséquences
–si p premier,divise a k alors p divise a etdonc p k divise a k .
–siunnombrepremierdiviseunproduitdefacteurspremiers,alorsill’undecesfacteurspremiers.
–soit p1 , p2 , p3 , … , pk desnombrespremiersdistinctset a1 , a2 , a3 , … , ak desentiersnaturelsnonnuls.Sipour
{
}
a
a
a
a
a
tout i ∈ 1 , 2 ,… , k , pi i divise n alors p1 1 p2 2 p3 3 … pk k divise n .
B† décompositiond’unentier
théorèmefondamentaldel’arithmétique
Toutentier n ≥ 2 ,peutsedécomposerdefaçonunique(àl’ordredesfacteursprès)enproduitdefacteurs
premiers:
exemple
a
a
a
n = p1 1 × p2 2 × …× pk k LFA / Terminale S
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Décomposons 349 272 enproduitdefacteurspremiers:
méthode:oneffectuedesdivisionssuccessivespardesnombrespremiersdansl’ordrecroissant:
349 272 2
174 636 2
87 318 2
43 659 3
14 553 3
4 851 3
1 617 3
539 7
77 7
11 11 Onobtientdonc: 349 272 = 23 × 34 × 7 2 × 11 1 application:déterminationdu PGCD etdu PPCM dedeuxnombres.
–décomposonslesnombres252et735:
252 2 735 3
126 2 245 5
63 3 49 7 Onadonc: 252= 22 × 32 × 7 21 3 7 7
735= 3× 5 × 7 2 7 7 1 1 –onutiliselesfacteurscommuns,pourle PGCD : PGCD 252 ; 735 = 3× 7 = 21 (
)
(
)
–onutiliselesfacteurspourle PPCM : PPCM 252 ; 735 = 2 × 3 × 5 × 7 2 = 8820 2
2
théorème
a
a
a
Soitun n dontladécompositionenfacteurspremiersest: n = p1 1 × p2 2 × …× pk k b
b
b
Alorstoutdiviseur d de n apourdécomposition: d = p11 × p22 × …× pk k {
}
avec 0 ≤ bi ≤ ai et i ∈ 1; 2 ;…; k (
)(
) (
)
Lenombredediviseurs N estalors: N = a1 + 1 a2 + 1 … ak + 1