nombres entiers et rationnels

3ème – Chapitre 13 Nombres entiers et rationnels
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N
NO OM MB BR RE ES S E EN NT TI IE ER RS S E ET T R RA AT TI IO ON NN NE EL LS S
1) Les nombres
définitions
 un nombre entier est un nombre sans virgule : 13, 9 , 0…
 un nombre décimal est un nombre dont l'écriture décimale a un nombre fini de chiffres après la
virgule : 1
7, 15, , 12...
4
 un nombre rationnel est un nombre qui s'écrit sous la forme d'un quotient de deux entiers : 4
3,
12,3 (car 123
12,3 10 )…
 un nombre irrationnel est un nombre qui n'est pas rationnel : 2, ...
2) Diviseur commun à deux entiers
définition
Si a et b sont deux entiers, un diviseur commun à a et b est un nombre qui divise a et qui divise b.
exemple
4 est un diviseur commun à 24 et 32 car 24 4 6
32 4 8
propriété
Parmi les diviseurs communs à a et b, l'un d'eux est plus grand que les autres. On l'appelle le Plus Grand
Commun Diviseur (PGCD). Le PGCD de a et b est parfois noté PGCD(a ; b).
exemple
Les diviseurs de 24 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Les diviseurs de 32 sont : 1, 2, 4, 8, 16, 32.
PGCD(24 ; 32) = 8.
définition
Si a et b sont deux entiers tels que (;) 1PGCD a b , on dit que a et b sont premiers entre eux.
exemple
Les diviseurs de 10 sont : 1, 2, 5, 10.
Les diviseurs de 21 sont : 1, 3, 7, 21.
(10; 21) 1PGCD  donc 10 et 21 sont premiers entre eux.

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3) Méthode pratique pour calculer le PGCD : algorithme d'Euclide
exemple
Recherche du PGCD de 1050 et 165.
a b
reste de la
division
euclidienne
de a par b
1050 165 60
1050 6 165 60
donc (1050;165) (165;60)PGCD PGCD
165 60 45
165 2 60 45
donc (165;60) (60;45)PGCD PGCD
60 45 15
60 1 45 15
donc (60;45) (45;15)PGCD PGCD
45 15 0
45 3 15 0
 donc (45;15) 15PGCD
donc (1050;165) 15PGCD
Le dernier reste différent de zéro dans la suite de divisions euclidiennes est 15 donc
(1050;165) 15PGCD .
4) Application à la réduction de fractions
définition
Une fraction a
b, avec 0b, est dite irréductible lorsque a et b sont premiers entre eux.
propriété
Pour rendre une fraction a
b irréductible, il suffit de diviser a et b par ( ; )PGCD a b .
exemple
1050 1050:15 70
165 165:15 11
 (on a divisé 1050 et 165 par (1050;165)
PGCD ).