Série 13 (Corrigé) - ANMC

Algèbre linéaire pour GM
Prof. A. Abdulle
Jeudi 19 décembre 2013
EPFL
Série 13 (Corrigé)
Exercice 1
Évaluer la forme quadratique xT Ax si


1 0 1


A = 0 1 2
1 2 3
 
 


1
x1
1
 
 
 
et x = 0 , x = 2 , x = x2  .
1
3
x3
Sol.:
• x = (1, 0, 1)T : xT Ax = 6;
• x = (1, 2, 3)T : xT Ax = 62;
• x = (x1 , x2 , x3 )T : xT Ax = x21 + x22 + 3x23 + 2x1 x3 + 4x2 x3 .
Exercice 2
Donner la matrice B (3 × 3 symétrique) telle que la forme quadratique Q(x) avec x ∈ R3
puisse s’écrire sous la forme Q(x) = xT Bx et déterminer le changement de variables x = U y
qui transforme la forme quadratique en une forme diagonale y T Dy dans les cas suivants.
i) Q(x) = 3x21 + 3x22 + 2x1 x2 ,


3 1 0


Sol.: B = 1 3 0. Le polynôme caractéristique est
0 0 0
−λ((3 − λ)2 − 1) = −λ(λ − 2)(λ − 4),


0 0 0


d’où les valeurs propres: 0, 2, 4. Ainsi, D = 0 2 0. Les vecteurs propres associés
0 0 4
  
  
0
1
1
  
  
sont 0 , −1, 1. On obtient la matrice orthogonale U en normalisant les
1
0
0
vecteurs propres:


0 √12 √12


√1
√1  .
U =
0 − 2
2
1
0
0
1
ii) Q(x) = 3x21 + 2x22 + 2x23 + 2x1 x2 + 2x1 x3 + 4x2 x3 ,




0 0 0
3 1 1




Sol.: B = 1 2 2. Les valeurs propres sont 0, 2, 5, ainsi D = 0 2 0. Les
0 0 5
1 2 2

 
  
0
2
1
 
  
vecteurs propres associés sont 
 1  , −1, 1. On obtient la matrice orthogonale
−1
−1
1
U en normalisant les vecteurs propres:

0
√1
U =
 2
− √12

√2
6
− √16
− √16
√1
3
√1  .
3
√1
3

iii) Q(x) = 5x21 + 6x22 + 7x23 + 4x1 x2 − 4x2 x3 .



5 2
0
3



Sol.: B = 2 6 −2. Les valeurs propres sont 3, 6, 9, ainsi D = 0
0 −2 7
0

   

−2
2
−1
   

Les vecteurs propres associés sont 
 2  , 1, −2. On obtient la matrice
1
2
2
onale U en normalisant les vecteurs propres:


0 0
6 0
.
0 9
orthog-

−2 2 −1
1

U =  2 1 −2 .
3
1 2 2
Exercice 3
Déterminer si les formes quadratiques suivantes sont (semi-)définies positives, (semi-)définies
négatives ou indéfinies.
i) Q(x) = 9x21 + 3x22 − 8x1 x2 , x ∈ R2 .
!
9 −4
Sol.: La matrice symétrique associée est B =
, avec pour valeurs propres
−4 3
1, 11 strictement positives donc la forme quadratique Q est définie positive.
Autre méthode (sans calculer les valeurs propres). Les deux valeurs propres de B
vérifient λ1 λ2 = det(B) = 11 > 0, donc les valeurs propres sont non nulles et de même
signe. Comme λ1 + λ2 = trace(B) = 12 > 0, ce signe est positif, d’où λ1 , λ2 > 0, et
Q est définie positive.
ii) Q(x) = −5x21 − 2x22 + 4x1 x2 , x ∈ R2 .
!
−5 2
Sol.: La matrice symétrique associée est B =
, avec pour valeurs propres
2 −2
−1, −6 strictement négatives donc la forme quadratique Q est définie négative.
2
Autre méthode (sans calculer les valeurs propres). Les deux valeurs propres de B
vérifient λ1 λ2 = det(B) = 6 > 0, donc les valeurs propres sont non nulles et de même
signe. Comme λ1 + λ2 = trace(B) = −7 < 0, ce signe est négatif, d’où λ1 , λ2 < 0 et
Q est définie négative.
iii) Q(x) = 2x21 + 2x22 + 2x23 + 6x2 x3 + 6x1 x3 , x ∈ R3 .

2

Sol.: La matrice symétrique associée est B = 0
3
√
√
2, 2 + 18 > 0, 2 − 18 < 0. La forme quadratique
0
2
3
Q

3
3
, avec pour valeurs propres
2
est donc indéfinie.
Autre méthode (sans calculer les valeurs propres). On remarque que pour x =
(−1, 0, 1)T , Q(x) = −2 et que pour x = (1, 0, 0)T , Q(x) = 2. La forme quadratique
prend des valeurs positives et négatives et elle est donc indéfinie.
Exercice 4
!
a b
Soit A =
et la forme quadratique Q(x) = xT Ax. Montrez que
b d
a) Q est définie positive si det A > 0 et a > 0;
b) Q est définie négative si det A > 0 et a < 0;
c) Q est indéfinie si det A < 0.
Sol.: Calculons le polynôme characteristique de la matrice A
det(λI − A) = λ2 − λ tr A + det A = λ2 − (a + d)λ + (ad − b2 ).
(1)
Le théorème spectral pour les matrices symétriques implique que la matrice A a deux valeurs
propres réelles λ1 , λ2 (où λ1 = λ2 est possible). En utilisant λ1 , λ2 , le polynôme characteristique de A est représenté par
det(λI − A) = (λ − λ1 )(λ − λ2 ) = λ2 − (λ1 + λ2 )λ + λ1 λ2 ,
(2)
donc, en comparant les coéfficients dans (1) et (2), nous déduisons
tr A = λ1 + λ2 ,
det A = λ1 λ2 .
a) Q est définie positive si et seulement si toutes les valeurs propres de A sont strictement
positives. Comme det A = λ1 λ2 > 0, nous observons que soit λ1 , λ2 > 0 soit λ1 , λ2 < 0,
donc les valeurs propres sont de même signe. Comme det A = ad − b2 > 0 et a > 0 il est
nécessaire que d > 0, donc 0 < a + d = tr A = λ1 + λ2 . En fait, cela permet de conclure
que λ1 , λ2 > 0.
b) Q est définie négative si et seulement si toutes les valuers propres de A sont strictement
négatives. Comme dans la partie a) nous déduisons de det A > 0 que λ1 , λ2 sont de
même signe. Mais par contre, det A = ad − b2 > 0 et a < 0 implique que d < 0 est
nécessaire. Alors, puisque 0 > a + d = tr A = λ1 + λ2 on obtient que λ1 , λ2 < 0.
c) Q est indéfinie si et seulement si A a des valeurs propres négatives et positives. Comme
λ1 λ2 = det A < 0 nous déduisons directement que λ1 , λ2 sont de signes différents.
3
Exercice 5
Soit A une matrice symétrique. Montrez que si la forme quadratique xT Ax est définie
positive, la forme quadratique xT A−1 x l’est aussi.
Sol.: Définissons P (x) = xT Ax et Q(x) = xT A−1 x.La symétrie de A implique que sa
matrice inverse A−1 est aussi symétrique ((A−1 )T = (AT )−1 = A−1 ). Nous rappelons que P
et Q sont définies positives si et seulement si les valeurs propres de A et A−1 , respectivement,
sont toutes strictement positives. Soient λi les valeurs propres de A. Comme P est définie
positive nous déduisons que λi > 0 et que A est inversible. De plus, nous avons montré
dans l’Exercice 7 de la Série 10 que les valeurs propres de A−1 sont données par λ−1
i . Nous
−1
concluons donc que Q est définie positive parce que les valeurs propres de A données par
λ−1
satisfont λ−1
i
i > 0.
Exercice 6
Indiquer pour chaque énoncé s’il est vrai ou faux et justifier brièvement votre réponse.
a) La matrice d’une forme quadratique est symétrique.
b) Les axes principaux d’une forme quadratique sont les vecteurs propres de A.
c) Une forme quadratique strictement positive satisfait Q(x) > 0,∀x ∈ Rn .
d) Si les valeurs propres d’une matrice symétrique A sont toutes strictement positives, alors
la forme quadratique xT Ax est définie positive.
e) L’expression kxk2 est une forme quadratique.
Sol.: Vrai: a), b), d), e). Faux: c).
Exercice 7
Indiquer pour chaque énoncé s’il est vrai ou faux et justifier brièvement votre réponse.
a) Une matrice symétrique de taille n × n possède n valeurs propres réelles distinctes.
b) Toute matrice symétrique est orthogonalement diagonalisable mais la réciproque est
fausse.
c) Q(x) = 3x21 − 7x22 est une forme quadratique.
d) La forme quadratique Q(x) = 3x21 + 2x22 + x23 + 4x1 x2 + 4x2 x3 est définie positive.
Sol.: Vrai: c). Faux: a), b), d).
Informations générales, séries et corrigés: cf. http://anmc.epfl.ch/Algebre.html.
Les exercices de type vrai ou faux proviennent du livre: D.C. Lay. Algèbre linéaire : théorie,
exercices et applications. De Boeck, Bruxelles, 2005.
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