Série 13 (Corrigé) - ANMC

Algèbre linéaire pour GM Jeudi 19 décembre 2013
Prof. A. Abdulle EPFL
Série 13 (Corrigé)
Exercice 1
Évaluer la forme quadratique xTAx si
A=
1 0 1
0 1 2
1 2 3
et x=
1
0
1
, x =
1
2
3
, x =
x1
x2
x3
.
Sol.:
•x= (1,0,1)T:xTAx = 6;
•x= (1,2,3)T:xTAx = 62;
•x= (x1, x2, x3)T:xTAx =x2
1+x2 2+ 3x2 3+ 2x1x3+ 4x2x3.
Exercice 2
Donner la matrice B(3×3symétrique) telle que la forme quadratique Q(x)avec x∈R3
puisse s’écrire sous la forme Q(x) = xTBx et déterminer le changement de variables x=Uy
qui transforme la forme quadratique en une forme diagonale yTDy dans les cas suivants.
i) Q(x) = 3x2
1+ 3x2 2+ 2x1x2,
Sol.: B=
3 1 0
1 3 0
0 0 0
. Le polynôme caractéristique est
−λ((3 −λ)2−1) = −λ(λ−2)(λ−4),
d’où les valeurs propres: 0,2,4. Ainsi, D=
0 0 0
0 2 0
0 0 4
. Les vecteurs propres associés
sont 
0
0
1
,
1
−1
0
,
1
1
0
. On obtient la matrice orthogonale Uen normalisant les
vecteurs propres:
U=
01
√2
1
√2
0−1
√2
1
√2
1 0 0
.
1

ii) Q(x)=3x2
1+ 2x2 2+ 2x2 3+ 2x1x2+ 2x1x3+ 4x2x3,
Sol.: B=
3 1 1
1 2 2
1 2 2
. Les valeurs propres sont 0,2,5, ainsi D=
0 0 0
0 2 0
0 0 5
. Les
vecteurs propres associés sont 
0
1
−1
,
2
−1
−1
,
1
1
1
. On obtient la matrice orthogonale
Uen normalisant les vecteurs propres:
U=
02
√6
1
√3
1
√2−1 √6
1
√3
−1
√2−1 √6
1
√3
.
iii) Q(x)=5x2
1+ 6x2 2+ 7x2 3+ 4x1x2−4x2x3.
Sol.: B=
5 2 0
2 6 −2
0−2 7 
. Les valeurs propres sont 3,6,9, ainsi D=
3 0 0
0 6 0
0 0 9
.
Les vecteurs propres associés sont 
−2
2
1
,
2
1
2
,
−1
−2
2
. On obtient la matrice orthog-
onale Uen normalisant les vecteurs propres:
U=1
3
−2 2 −1
2 1 −2
122
.
Exercice 3
Déterminer si les formes quadratiques suivantes sont (semi-)définies positives, (semi-)définies
négatives ou indéfinies.
i) Q(x)=9x2
1+ 3x2 2−8x1x2,x∈R2.
Sol.: La matrice symétrique associée est B= 9−4
−4 3 !, avec pour valeurs propres
1,11 strictement positives donc la forme quadratique Qest définie positive.
Autre méthode (sans calculer les valeurs propres). Les deux valeurs propres de B
vérifient λ1λ2=det(B) = 11 >0, donc les valeurs propres sont non nulles et de même
signe. Comme λ1+λ2= trace(B) = 12 >0, ce signe est positif, d’où λ1, λ2>0, et
Qest définie positive.
ii) Q(x) = −5x2
1−2x2 2+ 4x1x2,x∈R2.
Sol.: La matrice symétrique associée est B= −5 2
2−2!, avec pour valeurs propres
−1,−6strictement négatives donc la forme quadratique Qest définie négative.
2

Autre méthode (sans calculer les valeurs propres). Les deux valeurs propres de B
vérifient λ1λ2=det(B)=6>0, donc les valeurs propres sont non nulles et de même
signe. Comme λ1+λ2= trace(B) = −7<0, ce signe est négatif, d’où λ1, λ2<0et
Qest définie négative.
iii) Q(x)=2x2
1+ 2x2 2+ 2x2 3+ 6x2x3+ 6x1x3,x∈R3.
Sol.: La matrice symétrique associée est B=
2 0 3
0 2 3
3 3 2
, avec pour valeurs propres
2,2 + √18 >0,2−√18 <0. La forme quadratique Qest donc indéfinie.
Autre méthode (sans calculer les valeurs propres). On remarque que pour x=
(−1,0,1)T,Q(x) = −2et que pour x= (1,0,0)T,Q(x) = 2. La forme quadratique
prend des valeurs positives et négatives et elle est donc indéfinie.
Exercice 4
Soit A= a b
b d!et la forme quadratique Q(x) = xTAx. Montrez que
a) Qest définie positive si det A > 0et a > 0;
b) Qest définie négative si det A > 0et a < 0;
c) Qest indéfinie si det A < 0.
Sol.: Calculons le polynôme characteristique de la matrice A
det(λI −A) = λ2−λtr A+ det A=λ2−(a+d)λ+ (ad −b2).(1)
Le théorème spectral pour les matrices symétriques implique que la matrice Aa deux valeurs
propres réelles λ1, λ2(où λ1=λ2est possible). En utilisant λ1, λ2, le polynôme character-
istique de Aest représenté par
det(λI −A)=(λ−λ1)(λ−λ2) = λ2−(λ1+λ2)λ+λ1λ2,(2)
donc, en comparant les coéfficients dans (1) et (2), nous déduisons
tr A=λ1+λ2,det A=λ1λ2.
a) Qest définie positive si et seulement si toutes les valeurs propres de Asont strictement
positives. Comme det A=λ1λ2>0, nous observons que soit λ1, λ2>0soit λ1, λ2<0,
donc les valeurs propres sont de même signe. Comme det A=ad −b2>0et a > 0il est
nécessaire que d > 0, donc 0< a +d= tr A=λ1+λ2. En fait, cela permet de conclure
que λ1, λ2>0.
b) Qest définie négative si et seulement si toutes les valuers propres de Asont strictement
négatives. Comme dans la partie a) nous déduisons de det A > 0que λ1, λ2sont de
même signe. Mais par contre, det A=ad −b2>0et a < 0implique que d < 0est
nécessaire. Alors, puisque 0> a +d= tr A=λ1+λ2on obtient que λ1, λ2<0.
c) Qest indéfinie si et seulement si Aa des valeurs propres négatives et positives. Comme
λ1λ2= det A < 0nous déduisons directement que λ1, λ2sont de signes différents.
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Exercice 5
Soit Aune matrice symétrique. Montrez que si la forme quadratique xTAx est définie
positive, la forme quadratique xTA−1xl’est aussi.
Sol.: Définissons P(x) = xTAx et Q(x) = xTA−1x.La symétrie de Aimplique que sa
matrice inverse A−1est aussi symétrique ((A−1)T= (AT)−1=A−1). Nous rappelons que P
et Qsont définies positives si et seulement si les valeurs propres de Aet A−1, respectivement,
sont toutes strictement positives. Soient λiles valeurs propres de A. Comme Pest définie
positive nous déduisons que λi>0et que Aest inversible. De plus, nous avons montré
dans l’Exercice 7 de la Série 10 que les valeurs propres de A−1sont données par λ−1
i. Nous
concluons donc que Qest définie positive parce que les valeurs propres de A−1données par
λ−1
isatisfont λ−1 i>0.
Exercice 6
Indiquer pour chaque énoncé s’il est vrai ou faux et justifier brièvement votre réponse.
a) La matrice d’une forme quadratique est symétrique.
b) Les axes principaux d’une forme quadratique sont les vecteurs propres de A.
c) Une forme quadratique strictement positive satisfait Q(x)>0,∀x∈Rn.
d) Si les valeurs propres d’une matrice symétrique Asont toutes strictement positives, alors
la forme quadratique xTAx est définie positive.
e) L’expression kxk2est une forme quadratique.
Sol.: Vrai: a), b), d), e). Faux: c).
Exercice 7
Indiquer pour chaque énoncé s’il est vrai ou faux et justifier brièvement votre réponse.
a) Une matrice symétrique de taille n×npossède nvaleurs propres réelles distinctes.
b) Toute matrice symétrique est orthogonalement diagonalisable mais la réciproque est
fausse.
c) Q(x) = 3x2
1−7x2 2est une forme quadratique.
d) La forme quadratique Q(x)=3x2
1+ 2x2 2+x2 3+ 4x1x2+ 4x2x3est définie positive.
Sol.: Vrai: c). Faux: a), b), d).
Informations générales, séries et corrigés: cf. http://anmc.epfl.ch/Algebre.html.
Les exercices de type vrai ou faux proviennent du livre: D.C. Lay. Algèbre linéaire : théorie,
exercices et applications. De Boeck, Bruxelles, 2005.
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