PROBLEME On suppose 2. 1. Définition

PROBLEME
On suppose 𝑛≥2.
1. Définition-Propriétés : on appelle trace de la matrice 𝐴= (𝑎𝑖,𝑗 )1≤𝑖,𝑗≤𝑛carrée d’ordre 𝑛la
somme des termes de sa diagonale : autrement dit, Tr(𝐴) =
𝑛
∑
𝑘=1
𝑎𝑘𝑘 =𝑎11 +𝑎22 +⋅ ⋅ ⋅ +𝑎𝑛𝑛.
Exemples : Tr (1 2
3 4 )= 5, Tr ⎛
⎜
⎝
123
3−4 5
−7 8 −9
⎞
⎟
⎠=−12, Tr ⎛
⎜
⎝
1−1 1
3−3 1
312
⎞
⎟
⎠= 0.
Il est clair que la trace permet de définir une forme linéaire sur l’espace vectoriel ℳ𝑛(ℝ).
On admet le résultat suivant que l’on pourra utiliser sans démonstration :
∙pour tout (𝐴, 𝐵)∈ ℳ𝑛(ℝ)2, Tr(𝐴𝐵) = Tr(𝐵𝐴).
On rappelle également les résultats suivants :
∙une matrice carrée est inversible si, et seulement si, son déterminant est non nul.
∙le déterminant n’est pas une forme linéaire.
∙si les matrices 𝐴et 𝐵sont carrées d’ordre 𝑛, alors Dét(𝐴×𝐵) = Dét(𝐴)Dét(𝐵).
On dit que deux matrices 𝐴et 𝐵carrées d’ordre 𝑛sont semblables s’il existe une matrice
carrée d’ordre 𝑛inversible 𝑃telle que 𝐴=𝑃 𝐵𝑃 −1.
Question : montrer que deux matrices semblables ont la même trace.
On attend une preuve détaillée où toute opération sera clairement justifiée.
2. Définition : une matrice 𝑀∈ ℳ𝑛(ℝ)est nilpotente s’il existe un entier 𝑖≥1tel que 𝑀𝑖= 0.
Pour cette question : soit 𝐴=(𝑎 𝑏
𝑐 𝑑 )∈𝑀2(ℝ).
(a) Vérifier l’égalité (où 𝐼2désigne la matrice unité de ℳ2(ℝ)) :
𝐴2−Tr(𝐴).𝐴 +Dét(𝐴).𝐼2= 0.
(b) On suppose maintenant que 𝐴est nilpotente : montrer que Dét(𝐴) = 0.
(c) En déduire, pour tout entier 𝑘≥1une expression simple de 𝐴𝑘.
Montrer alors que Tr(𝐴) = 0.
(d) En déduire : 𝐴2= 0.
3. Pour cette question : soit 𝐴=(𝑎 𝑏
𝑐 𝑑 )∈𝑀2(ℝ)et 𝐵=⎛
⎜
⎝
𝑎 𝑏 0
𝑐 𝑑 0
𝑒 𝑓 0
⎞
⎟
⎠∈𝑀3(ℝ).
(a) Soit 𝑘∈ℕ∗. On pose 𝐴𝑘=(𝑎𝑘𝑏𝑘
𝑐𝑘𝑑𝑘).
Montrer qu’il existe 𝑒𝑘, 𝑓𝑘∈ℝtels que 𝐵𝑘=⎛
⎜
⎝
𝑎𝑘𝑏𝑘0
𝑐𝑘𝑑𝑘0
𝑒𝑘𝑓𝑘0
⎞
⎟
⎠.

(b) On suppose ici que 𝐵est nilpotente. Montrer que 𝐴est nilpotente.
En déduire que Tr(𝐵) = 0.
(c) Réciproquement : montrer que, si 𝐴est nilpotente, alors 𝐵l’est aussi, et plus précisément
𝐵3= 0.
4. Pour cette question, on considère une matrice 𝑀∈ ℳ3(ℝ). On suppose que 𝑀est nilpotente.
On appelle 𝜑l’endomorphisme de ℝ3canoniquement associé à cette matrice 𝑀. Ainsi, en
notant 𝒞= (⃗𝑒1, ⃗𝑒2, ⃗𝑒3)la base canonique de ℝ3,𝑀=Mat𝒞(𝜑).
(a) Justifier que Ker(𝜑)n’est pas réduit au vecteur nul, (i.e) Ker(𝜑)∕={⃗ 0}.
(b) Soit ⃗𝑣3∈Ker(𝜑)− {⃗ 0}: montrer qu’il existe une base de ℝ3de la forme ℱ= (⃗𝑣1, ⃗𝑣2, ⃗𝑣3).
(c) On note 𝐵la matrice de l’endomorphisme 𝜑dans cette nouvelle base ℱ: quelle est sa
forme générale ? Quelle relation y-a-t-il entre les matrices 𝐵et 𝑀?
En déduire que Tr(𝑀)=0.
(d) Montrer que 𝑀3= 0.
5. RESUME : on a donc établi le résultat suivant, pour 𝑛∈ {2,3}(compléter les pointillés) :
«si une matrice 𝑀∈ ℳ𝑛(ℝ)est nilpotente, alors ⋅ ⋅ ⋅ = 0 (∈ℝ) et ⋅ ⋅ ⋅ = 0 (∈ ℳ𝑛(ℝ)). »
6. Les matrices
𝑀1=⎛
⎜
⎝
1 2 3
4 5 6
7 8 9
⎞
⎟
⎠et 𝑀2=⎛
⎜
⎝
2 0 0
0−1−1
0 1 −1
⎞
⎟
⎠et 𝑀3=⎛
⎜
⎝
0 1 0
0 0 1
0 0 0
⎞
⎟
⎠
sont-elles nilpotentes ?
PROBLEME
PREMIÈRE PARTIE : étude des endomorphismes 𝑢tels que 𝑢∘𝑢= 0
Soit 𝐸un 𝕂-espace vectoriel de dimension 𝑛,𝑢un endomorphisme non nul de 𝐸tel que 𝑢∘𝑢= 0 :
on note 𝑟le rang de 𝑢et 𝑝la dimension du noyau de 𝑢.
1. (a) Il existe une inclusion reliant les ensembles Ker(𝑢)et Im(𝑢): quelle est-elle ? La prouver.
(b) En déduire : 𝑟≤𝑛
2et 𝑝≥𝑛 2.
2. Pour cette question on suppose 𝑛= 2.
(a) Justifier que Im(𝑢) = Ker(𝑢).
(b) Soit ⃗ 𝑖, un vecteur non nul appartenant à Im(𝑢)et ⃗ 𝑗un vecteur tel que 𝑢(⃗ 𝑗) =⃗ 𝑖.
Montrer que (
⃗
𝑖,⃗ 𝑗)est une base de 𝐸, et donner la matrice de 𝑢dans cette base.
3. Pour cette question, on suppose 𝑛= 3.
(a) Montrer que 𝑟= 1. Quelle est la dimension de Ker(𝑢)?
(b) Soit ⃗ 𝑘un vecteur de 𝐸n’appartenant pas à Ker(𝑢)et ⃗ 𝑖=𝑢(⃗ 𝑘).
Justifier l’existence d’un vecteur ⃗ 𝑗de Ker(𝑢), non colinéaire à⃗ 𝑖, puis démontrer que (
⃗
𝑖,⃗ 𝑗, ⃗ 𝑘)
est une base de 𝐸.
(c) Déterminer la matrice de 𝑢dans cette base.

SECONDE PARTIE : application à un exemple
On rappelle que ℳ3(ℝ)désigne l’ensemble des matrices carrées d’ordre 3 à coefficients réels, et
𝐺𝐿3(ℝ)l’ensemble constitué par les matrices inversibles de ℳ3(ℝ).
Dans cette partie, 𝐼désigne la matrice unité de ℳ3(ℝ)et 𝐽la matrice définie par :
𝐽=⎛
⎜
⎝
−1 1 1
−2 2 2
1−1−1
⎞
⎟
⎠.
1. Soit 𝑣l’endomorphisme de ℝ3dont la matrice relativement à la base canonique 𝒞= (⃗𝑒1, ⃗𝑒2, ⃗𝑒3)
de ℝ3est 𝐽.
(a) Vérifier que 𝑣∘𝑣= 0.
(b) Donner la valeur de 𝐽𝑛pour tout entier 𝑛≥0.
(c) Déterminer le noyau et l’image de 𝑣. Préciser leur dimension, une base et une équation (ou
système d’équations) pour chacun d’entre eux. Ces deux sous-espaces vectoriels sont-ils
supplémentaires dans ℝ3?
2. (a) Justifier que la famille ℬ= (
⃗
𝑖,⃗ 𝑗, ⃗
𝑘), avec ⃗
𝑖= (1,2,−1),⃗ 𝑗= (1,0,1),⃗ 𝑘= (0,0,1) est une
base de ℝ3dans laquelle la matrice de 𝑣est la matrice 𝑁=⎛
⎜
⎝
0 0 1
0 0 0
0 0 0
⎞
⎟
⎠.
(b) Dans la suite du problème, on notera 𝑃la matrice de passage de la base canonique 𝒞de
ℝ3à la base ℬ.
Pourquoi la matrice 𝑃est-elle inversible ? Préciser 𝑃−1(le détail des calculs est attendu
sur la copie).
(c) Quelle relation existe-t’il entre les matrices 𝐽,𝑁et 𝑃?
3. On considère l’ensemble ℰdes matrices 𝑀𝑎,𝑏 de ℳ3(ℝ)de la forme 𝑀𝑎,𝑏 =𝑎𝐼 +𝑏𝐽 avec
(𝑎, 𝑏)∈ℝ2.
(a) Démontrer que ℰest un sous-espace vectoriel de ℳ3(ℝ).
On en précisera une base 𝒟et la dimension.
(b) Si (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑)∈ℝ4, prouver que le produit 𝑀𝑎,𝑏 ×𝑀𝑐,𝑑 est aussi un élément de ℰ.
(c) A quelle condition sur (𝑎, 𝑏)∈ℝ2une matrice 𝑀𝑎,𝑏 est-elle inversible ?
Lorsque c’est le cas, montrer que son inverse peut s’écrire sous la forme 𝑀𝑐,𝑑.
(d) Si (𝑎, 𝑏)∈ℝ2, déterminer, pour tout entier 𝑛≥1, les coordonnées de 𝑀𝑛
𝑎,𝑏 sur la base 𝒟
de ℰ.
4. On considère l’ensemble Δdes matrices 𝑀de ℳ3(ℝ)de la forme 𝑀=𝐼+𝑘𝐽 (avec 𝑘∈ℝ).
(a) Démontrer que Δest stable pour la multiplication matricielle.
(b) Vérifier que Δest inclus dans 𝐺𝐿3(ℝ), l’ensemble des matrices inversibles de ℳ3(ℝ).

(c) Montrer alors que Δest un groupe pour la multiplication matricielle. Est-ce un groupe
commutatif (i.e abélien) ?
(d) L’ensemble Δest-il un sous-espace vectoriel de ℳ3(ℝ)?
5. Soit 𝑀=𝐼+𝑘𝐽 où 𝑘est un réel non nul fixé.
On se propose dans cette question de trouver toutes les matrices 𝑋de ℳ3(ℝ)solutions de
l’équation
(∗):𝑋2=𝑀.
(a) Quelles sont les solutions de (∗)appartenant à Δ?
(b) Justifier l’égalité 𝑃−1𝑀𝑃 =𝑇,𝑇désignant la matrice ⎛
⎜
⎝
1 0 𝑘
0 1 0
0 0 1
⎞
⎟
⎠.
(c) Montrer qu’en posant 𝑌=𝑃−1𝑋𝑃 , l’équation (∗)équivaut à l’équation
(∗∗):𝑌2=𝑇.
(d) Soit 𝑌, une matrice de ℳ3(ℝ)solution de (∗∗). Montrer que 𝑌 𝑇 =𝑇 𝑌 .
Si on pose 𝑌=⎛
⎜
⎝
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
⎞
⎟
⎠, en déduire que 𝑌est triangulaire supérieure et que 𝑖=𝑎.
(e) Résoudre l’équation (∗∗). On vérifiera qu’il y a une infinité de solutions dont on précisera
la forme.
(f) Exprimer alors les solutions de (∗)à l’aide de la matrice 𝑃(aucun calcul n’est demandé).
Soit E, un R-espace vectoriel non réduit à son vecteur nul.
On s’intéresse aux endomorphismes fde Evérifiant la relation :
f2=1
2(f+IdE) (∗)
PARTIE A :
1. Montrer que (∗)possède une solution évidente.
2. Montrer que, si fvérifie (∗), alors fest bijective, et exprimer f−1comme combinaison linéaire
de fet IdE.
3. Déterminer les homothéties vectorielles vérifiant (∗).
4. L’ensemble des endomorphismes vérifiant (∗)est-il un sous-espace vectoriel de L(E), espace
des endomorphismes de E?
PROBLEME 2

On suppose dans la suite que fest une solution de (∗)et que fn’est pas une homothétie.
PARTIE B :Etude des puissances de f
1. Justifier que la famille (f, IdE) est libre (i.e) que fet IdEsont linéairement indépendants.
2. (a) Exprimer f3et f4comme combinaison linéaire de IdEet f.
(b) Montrer que pour tout entier n∈N, il existe un unique couple (an, bn)de réels tels que
fn=anf+bnIdE.
(c) Déterminer a0,b0,a1,b1et exprimer an+1 et bn+1 en fonction de anet bn.
(d) Montrer que, pour tout entier n≥1,2an+1 −an−an−1= 0.
3. (a) En déduire une expression de anne faisant intervenir que n.
(b) Calculer alors bnen fonction de n, puis lim
n→+∞(an)et lim n→+∞(bn).
PARTIE C :Etude des combinaisons linéaires de fet IdE
On pose p=2
3f+1 3IdE.
1. Montrer que pest un projecteur.
2. Montrer que Im (p) = Ker (f−IdE). Caractériser de même Ker (p).
3. Justifier que E=Ker(f−IdE)⊕Ker(f+1
2IdE).
4. Montrer que Im(f−IdE)⊂Ker(f+1
2IdE)et Im(f+1 2IdE)⊂Ker(f−IdE).
5. Vérifier que IdEest une combinaison linéaire de (f+1
2IdE)et (f−IdE).
En déduire que E=Im(f−IdE)⊕Im(f+1
2IdE).
PARTIE D :Un exemple
On définit l’application g:
R2−→ R2
(x, y)7−→ g(x, y) = x−y
2,−x
1. Montrer que gest un endomorphisme de R2.
2. On note id pour IdR2.
Pour tout (x, y)de R2, déterminer (g−id)(x, y)et (2g+id)(x, y).
Calculer alors (g−id)◦(2g+id). Conclusion ?
3. Déterminer3les sous-espaces F=Ker(g−id)et G=Ker(2g+id).
En particulier, préciser leur nature géométrique et une base simple de chacun.
4. Justifier que Fet Gsont supplémentaires dans R2.
Pour tout vecteur ~u = (x, y)∈R2, déterminer ~u1∈Fet ~u2∈Gtels que ~u =~u1+~u2.
5. Si ~a ∈F, que vaut g(~a)?gn(~a), où n∈N?
De même, si ~ b∈G, que vaut g(~ b)?gn(~ b)?
6. En déduire l’expression analytique de gnpour n∈N: autrement dit, gn(x, y) = ? .