(b) On suppose ici que 𝐵est nilpotente. Montrer que 𝐴est nilpotente.
En déduire que Tr(𝐵) = 0.
(c) Réciproquement : montrer que, si 𝐴est nilpotente, alors 𝐵l’est aussi, et plus précisément
𝐵3= 0.
4. Pour cette question, on considère une matrice 𝑀∈ ℳ3(ℝ). On suppose que 𝑀est nilpotente.
On appelle 𝜑l’endomorphisme de ℝ3canoniquement associé à cette matrice 𝑀. Ainsi, en
notant 𝒞= (⃗𝑒1, ⃗𝑒2, ⃗𝑒3)la base canonique de ℝ3,𝑀=Mat𝒞(𝜑).
(a) Justifier que Ker(𝜑)n’est pas réduit au vecteur nul, (i.e) Ker(𝜑)∕={⃗
0}.
(b) Soit ⃗𝑣3∈Ker(𝜑)− {⃗
0}: montrer qu’il existe une base de ℝ3de la forme ℱ= (⃗𝑣1, ⃗𝑣2, ⃗𝑣3).
(c) On note 𝐵la matrice de l’endomorphisme 𝜑dans cette nouvelle base ℱ: quelle est sa
forme générale ? Quelle relation y-a-t-il entre les matrices 𝐵et 𝑀?
En déduire que Tr(𝑀)=0.
(d) Montrer que 𝑀3= 0.
5. RESUME : on a donc établi le résultat suivant, pour 𝑛∈ {2,3}(compléter les pointillés) :
«si une matrice 𝑀∈ ℳ𝑛(ℝ)est nilpotente, alors ⋅ ⋅ ⋅ = 0 (∈ℝ) et ⋅ ⋅ ⋅ = 0 (∈ ℳ𝑛(ℝ)). »
6. Les matrices
𝑀1=⎛
⎜
⎝
1 2 3
4 5 6
7 8 9
⎞
⎟
⎠et 𝑀2=⎛
⎜
⎝
2 0 0
0−1−1
0 1 −1
⎞
⎟
⎠et 𝑀3=⎛
⎜
⎝
0 1 0
0 0 1
0 0 0
⎞
⎟
⎠
sont-elles nilpotentes ?
PROBLEME
PREMIÈRE PARTIE : étude des endomorphismes 𝑢tels que 𝑢∘𝑢= 0
Soit 𝐸un 𝕂-espace vectoriel de dimension 𝑛,𝑢un endomorphisme non nul de 𝐸tel que 𝑢∘𝑢= 0 :
on note 𝑟le rang de 𝑢et 𝑝la dimension du noyau de 𝑢.
1. (a) Il existe une inclusion reliant les ensembles Ker(𝑢)et Im(𝑢): quelle est-elle ? La prouver.
(b) En déduire : 𝑟≤𝑛
2et 𝑝≥𝑛
2.
2. Pour cette question on suppose 𝑛= 2.
(a) Justifier que Im(𝑢) = Ker(𝑢).
(b) Soit ⃗
𝑖, un vecteur non nul appartenant à Im(𝑢)et ⃗
𝑗un vecteur tel que 𝑢(⃗
𝑗) =⃗
𝑖.
Montrer que (
⃗
𝑖,⃗
𝑗)est une base de 𝐸, et donner la matrice de 𝑢dans cette base.
3. Pour cette question, on suppose 𝑛= 3.
(a) Montrer que 𝑟= 1. Quelle est la dimension de Ker(𝑢)?
(b) Soit ⃗
𝑘un vecteur de 𝐸n’appartenant pas à Ker(𝑢)et ⃗
𝑖=𝑢(⃗
𝑘).
Justifier l’existence d’un vecteur ⃗
𝑗de Ker(𝑢), non colinéaire à⃗
𝑖, puis démontrer que (
⃗
𝑖,⃗
𝑗, ⃗
𝑘)
est une base de 𝐸.
(c) Déterminer la matrice de 𝑢dans cette base.