PROBLEME On suppose 2. 1. Définition

PROBLEME
On suppose 𝑛 ≥ 2.
1. Définition-Propriétés : on appelle trace de la matrice 𝐴 = (𝑎𝑖,𝑗 )1≤𝑖,𝑗≤𝑛 carrée d’ordre 𝑛 la
𝑛
∑
somme des termes de sa diagonale : autrement dit, Tr(𝐴) =
𝑎𝑘𝑘 = 𝑎11 + 𝑎22 + ⋅ ⋅ ⋅ + 𝑎𝑛𝑛 .
𝑘=1
⎞
⎞
⎛
⎛
(
)
1 −1 1
1
2
3
1 2
⎟
⎟
⎜
⎜
Exemples : Tr
= 5, Tr ⎝ 3 −4 5 ⎠ = −12, Tr ⎝ 3 −3 1 ⎠ = 0.
3 4
3 1 2
−7 8 −9
Il est clair que la trace permet de définir une forme linéaire sur l’espace vectoriel ℳ𝑛 (ℝ).
On admet le résultat suivant que l’on pourra utiliser sans démonstration :
∙ pour tout (𝐴, 𝐵) ∈ ℳ𝑛 (ℝ)2 , Tr(𝐴𝐵) = Tr(𝐵𝐴).
On rappelle également les résultats suivants :
∙ une matrice carrée est inversible si, et seulement si, son déterminant est non nul.
∙ le déterminant n’est pas une forme linéaire.
∙ si les matrices 𝐴 et 𝐵 sont carrées d’ordre 𝑛, alors Dét(𝐴 × 𝐵) = Dét(𝐴)Dét(𝐵).
On dit que deux matrices 𝐴 et 𝐵 carrées d’ordre 𝑛 sont semblables s’il existe une matrice
carrée d’ordre 𝑛 inversible 𝑃 telle que 𝐴 = 𝑃 𝐵𝑃 −1 .
Question : montrer que deux matrices semblables ont la même trace.
On attend une preuve détaillée où toute opération sera clairement justifiée.
𝑖
2. Définition : une matrice 𝑀 ∈ ℳ
(𝑛 (ℝ) est
) nilpotente s’il existe un entier 𝑖 ≥ 1 tel que 𝑀 = 0.
𝑎 𝑏
Pour cette question : soit 𝐴 =
∈ 𝑀2 (ℝ).
𝑐 𝑑
(a) Vérifier l’égalité (où 𝐼2 désigne la matrice unité de ℳ2 (ℝ)) :
𝐴2 − Tr(𝐴).𝐴 + Dét(𝐴).𝐼2 = 0.
(b) On suppose maintenant que 𝐴 est nilpotente : montrer que Dét(𝐴) = 0.
(c) En déduire, pour tout entier 𝑘 ≥ 1 une expression simple de 𝐴𝑘 .
Montrer alors que Tr(𝐴) = 0.
(d) En déduire : 𝐴2 = 0.
(
3. Pour cette question : soit 𝐴 =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
(
(a) Soit 𝑘 ∈ ℕ∗ . On pose 𝐴𝑘 =
)
⎞
𝑎 𝑏 0
⎜
⎟
∈ 𝑀2 (ℝ) et 𝐵 = ⎝ 𝑐 𝑑 0 ⎠ ∈ 𝑀3 (ℝ).
𝑒 𝑓 0
)
𝑎𝑘 𝑏𝑘
𝑐𝑘 𝑑 𝑘
⎛
.
⎞
𝑎𝑘 𝑏𝑘 0
⎟
⎜
Montrer qu’il existe 𝑒𝑘 , 𝑓𝑘 ∈ ℝ tels que 𝐵 𝑘 = ⎝ 𝑐𝑘 𝑑𝑘 0 ⎠.
𝑒𝑘 𝑓𝑘 0
⎛
(b) On suppose ici que 𝐵 est nilpotente. Montrer que 𝐴 est nilpotente.
En déduire que Tr(𝐵) = 0.
(c) Réciproquement : montrer que, si 𝐴 est nilpotente, alors 𝐵 l’est aussi, et plus précisément
𝐵 3 = 0.
4. Pour cette question, on considère une matrice 𝑀 ∈ ℳ3 (ℝ). On suppose que 𝑀 est nilpotente.
On appelle 𝜑 l’endomorphisme de ℝ3 canoniquement associé à cette matrice 𝑀 . Ainsi, en
notant 𝒞 = (⃗𝑒1 , ⃗𝑒2 , ⃗𝑒3 ) la base canonique de ℝ3 , 𝑀 = Mat𝒞 (𝜑).
(a) Justifier que Ker(𝜑) n’est pas réduit au vecteur nul, (i.e) Ker(𝜑) ∕= {⃗0}.
(b) Soit ⃗𝑣3 ∈ Ker(𝜑) − {⃗0} : montrer qu’il existe une base de ℝ3 de la forme ℱ = (⃗𝑣1 , ⃗𝑣2 , ⃗𝑣3 ).
(c) On note 𝐵 la matrice de l’endomorphisme 𝜑 dans cette nouvelle base ℱ : quelle est sa
forme générale ? Quelle relation y-a-t-il entre les matrices 𝐵 et 𝑀 ?
En déduire que Tr(𝑀 ) = 0.
(d) Montrer que 𝑀 3 = 0.
5. RESUME : on a donc établi le résultat suivant, pour 𝑛 ∈ {2, 3} (compléter les pointillés) :
« si une matrice 𝑀 ∈ ℳ𝑛 (ℝ) est nilpotente, alors ⋅ ⋅ ⋅ = 0 (∈ ℝ) et ⋅ ⋅ ⋅ = 0 (∈ ℳ𝑛 (ℝ)). »
6. Les matrices
⎛
⎞
1 2 3
⎜
⎟
𝑀1 = ⎝ 4 5 6 ⎠
7 8 9
sont-elles nilpotentes ?
⎛
et
⎞
2 0
0
⎜
⎟
𝑀2 = ⎝ 0 −1 −1 ⎠
0 1 −1
⎛
et
⎞
0 1 0
⎜
⎟
𝑀3 = ⎝ 0 0 1 ⎠
0 0 0
PROBLEME
PREMIÈRE PARTIE : étude des endomorphismes 𝑢 tels que 𝑢 ∘ 𝑢 = 0
Soit 𝐸 un 𝕂-espace vectoriel de dimension 𝑛, 𝑢 un endomorphisme non nul de 𝐸 tel que 𝑢∘𝑢 = 0 :
on note 𝑟 le rang de 𝑢 et 𝑝 la dimension du noyau de 𝑢.
1. (a) Il existe une inclusion reliant les ensembles Ker(𝑢) et Im(𝑢) : quelle est-elle ? La prouver.
𝑛
𝑛
(b) En déduire : 𝑟 ≤ et 𝑝 ≥ .
2
2
2. Pour cette question on suppose 𝑛 = 2.
(a) Justifier que Im(𝑢) = Ker(𝑢).
(b) Soit ⃗𝑖, un vecteur non nul appartenant à Im(𝑢) et ⃗𝑗 un vecteur tel que 𝑢(⃗𝑗) = ⃗𝑖.
Montrer que (⃗𝑖, ⃗𝑗) est une base de 𝐸, et donner la matrice de 𝑢 dans cette base.
3. Pour cette question, on suppose 𝑛 = 3.
(a) Montrer que 𝑟 = 1. Quelle est la dimension de Ker(𝑢) ?
(b) Soit ⃗𝑘 un vecteur de 𝐸 n’appartenant pas à Ker(𝑢) et ⃗𝑖 = 𝑢(⃗𝑘).
Justifier l’existence d’un vecteur ⃗𝑗 de Ker(𝑢), non colinéaire à ⃗𝑖, puis démontrer que (⃗𝑖, ⃗𝑗, ⃗𝑘)
est une base de 𝐸.
(c) Déterminer la matrice de 𝑢 dans cette base.
SECONDE PARTIE : application à un exemple
On rappelle que ℳ3 (ℝ) désigne l’ensemble des matrices carrées d’ordre 3 à coefficients réels, et
𝐺𝐿3 (ℝ) l’ensemble constitué par les matrices inversibles de ℳ3 (ℝ).
Dans cette partie, 𝐼 désigne la matrice unité de ℳ3 (ℝ) et 𝐽 la matrice définie par :
⎞
⎛
−1 1
1
⎟
⎜
𝐽 = ⎝ −2 2
2 ⎠.
1 −1 −1
1. Soit 𝑣 l’endomorphisme de ℝ3 dont la matrice relativement à la base canonique 𝒞 = (⃗𝑒1 , ⃗𝑒2 , ⃗𝑒3 )
de ℝ3 est 𝐽.
(a) Vérifier que 𝑣 ∘ 𝑣 = 0.
(b) Donner la valeur de 𝐽 𝑛 pour tout entier 𝑛 ≥ 0.
(c) Déterminer le noyau et l’image de 𝑣. Préciser leur dimension, une base et une équation (ou
système d’équations) pour chacun d’entre eux. Ces deux sous-espaces vectoriels sont-ils
supplémentaires dans ℝ3 ?
⃗
2. (a) Justifier que la famille ℬ = (⃗𝑖, ⃗𝑗, ⃗𝑘), avec ⃗𝑖 = (1, 2, −1), ⃗𝑗 = (1,
⎛ 0, 1), 𝑘 =⎞(0, 0, 1) est une
0 0 1
⎜
⎟
3
base de ℝ dans laquelle la matrice de 𝑣 est la matrice 𝑁 = ⎝ 0 0 0 ⎠.
0 0 0
(b) Dans la suite du problème, on notera 𝑃 la matrice de passage de la base canonique 𝒞 de
ℝ3 à la base ℬ.
Pourquoi la matrice 𝑃 est-elle inversible ? Préciser 𝑃 −1 (le détail des calculs est attendu
sur la copie).
(c) Quelle relation existe-t’il entre les matrices 𝐽, 𝑁 et 𝑃 ?
3. On considère l’ensemble ℰ des matrices 𝑀𝑎,𝑏 de ℳ3 (ℝ) de la forme 𝑀𝑎,𝑏 = 𝑎𝐼 + 𝑏𝐽 avec
(𝑎, 𝑏) ∈ ℝ2 .
(a) Démontrer que ℰ est un sous-espace vectoriel de ℳ3 (ℝ).
On en précisera une base 𝒟 et la dimension.
(b) Si (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) ∈ ℝ4 , prouver que le produit 𝑀𝑎,𝑏 × 𝑀𝑐,𝑑 est aussi un élément de ℰ.
(c) A quelle condition sur (𝑎, 𝑏) ∈ ℝ2 une matrice 𝑀𝑎,𝑏 est-elle inversible ?
Lorsque c’est le cas, montrer que son inverse peut s’écrire sous la forme 𝑀𝑐,𝑑 .
𝑛
(d) Si (𝑎, 𝑏) ∈ ℝ2 , déterminer, pour tout entier 𝑛 ≥ 1, les coordonnées de 𝑀𝑎,𝑏
sur la base 𝒟
de ℰ.
4. On considère l’ensemble Δ des matrices 𝑀 de ℳ3 (ℝ) de la forme 𝑀 = 𝐼 + 𝑘𝐽 (avec 𝑘 ∈ ℝ).
(a) Démontrer que Δ est stable pour la multiplication matricielle.
(b) Vérifier que Δ est inclus dans 𝐺𝐿3 (ℝ), l’ensemble des matrices inversibles de ℳ3 (ℝ).
(c) Montrer alors que Δ est un groupe pour la multiplication matricielle. Est-ce un groupe
commutatif (i.e abélien) ?
(d) L’ensemble Δ est-il un sous-espace vectoriel de ℳ3 (ℝ) ?
5. Soit 𝑀 = 𝐼 + 𝑘𝐽 où 𝑘 est un réel non nul fixé.
On se propose dans cette question de trouver toutes les matrices 𝑋 de ℳ3 (ℝ) solutions de
l’équation
(∗) : 𝑋 2 = 𝑀 .
(a) Quelles sont les solutions de (∗) appartenant à Δ ?
⎛
⎞
1 0 𝑘
⎜
⎟
(b) Justifier l’égalité 𝑃 −1 𝑀 𝑃 = 𝑇 , 𝑇 désignant la matrice ⎝ 0 1 0 ⎠.
0 0 1
(c) Montrer qu’en posant 𝑌 = 𝑃 −1 𝑋𝑃 , l’équation (∗) équivaut à l’équation
(∗∗) : 𝑌 2 = 𝑇 .
(d) Soit 𝑌 , une matrice
⎛ de ℳ3 (ℝ)
⎞ solution de (∗∗). Montrer que 𝑌 𝑇 = 𝑇 𝑌 .
𝑎 𝑏 𝑐
⎜
⎟
Si on pose 𝑌 = ⎝ 𝑑 𝑒 𝑓 ⎠, en déduire que 𝑌 est triangulaire supérieure et que 𝑖 = 𝑎.
𝑔 ℎ 𝑖
(e) Résoudre l’équation (∗∗). On vérifiera qu’il y a une infinité de solutions dont on précisera
la forme.
(f) Exprimer alors les solutions de (∗) à l’aide de la matrice 𝑃 (aucun calcul n’est demandé).
PROBLEME 2
Soit E, un R-espace vectoriel non réduit à son vecteur nul.
On s’intéresse aux endomorphismes f de E vérifiant la relation :
1
f 2 = (f + IdE ) (∗)
2
PARTIE A :
1. Montrer que (∗) possède une solution évidente.
2. Montrer que, si f vérifie (∗), alors f est bijective, et exprimer f −1 comme combinaison linéaire
de f et IdE .
3. Déterminer les homothéties vectorielles vérifiant (∗).
4. L’ensemble des endomorphismes vérifiant (∗) est-il un sous-espace vectoriel de L(E), espace
des endomorphismes de E ?
On suppose dans la suite que f est une solution de (∗) et que f n’est pas une homothétie.
PARTIE B : Etude des puissances de f
1. Justifier que la famille (f, IdE ) est libre (i.e) que f et IdE sont linéairement indépendants.
2. (a) Exprimer f 3 et f 4 comme combinaison linéaire de IdE et f .
(b) Montrer que pour tout entier n ∈ N, il existe un unique couple (an , bn ) de réels tels que
f n = an f + bn IdE .
(c) Déterminer a0 , b0 , a1 , b1 et exprimer an+1 et bn+1 en fonction de an et bn .
(d) Montrer que, pour tout entier n ≥ 1, 2an+1 − an − an−1 = 0.
3. (a) En déduire une expression de an ne faisant intervenir que n.
(b) Calculer alors bn en fonction de n, puis lim (an ) et lim (bn ).
n→+∞
n→+∞
PARTIE C : Etude des combinaisons linéaires de f et IdE
2
1
On pose p = f + IdE .
3
3
1. Montrer que p est un projecteur.
2. Montrer que Im (p) = Ker (f − IdE ). Caractériser de même Ker (p).
3. Justifier que E =Ker(f − IdE )⊕Ker(f + 21 IdE ).
4. Montrer que Im(f − IdE ) ⊂ Ker(f + 12 IdE ) et Im(f + 21 IdE ) ⊂ Ker(f − IdE ).
5. Vérifier que IdE est une combinaison linéaire de (f + 12 IdE ) et (f − IdE ).
En déduire que E =Im(f − IdE )⊕Im(f + 12 IdE ).
PARTIE D : Un exemple
R2
On définit l’application g :
(x, y)
−→
7−→
R2
g(x, y) =
x−y
, −x
2
1. Montrer que g est un endomorphisme de R2 .
2. On note id pour IdR2 .
Pour tout (x, y) de R2 , déterminer (g − id)(x, y) et (2g + id)(x, y).
Calculer alors (g − id) ◦ (2g + id). Conclusion ?
3. Déterminer3 les sous-espaces F = Ker(g − id) et G = Ker(2g + id).
En particulier, préciser leur nature géométrique et une base simple de chacun.
4. Justifier que F et G sont supplémentaires dans R2 .
Pour tout vecteur ~u = (x, y) ∈ R2 , déterminer ~u1 ∈ F et ~u2 ∈ G tels que ~u = ~u1 + ~u2 .
5. Si ~a ∈ F , que vaut g(~a) ? g n (~a), où n ∈ N ?
De même, si ~b ∈ G, que vaut g(~b) ? g n (~b) ?
6. En déduire l’expression analytique de g n pour n ∈ N : autrement dit, g n (x, y) = ? .