Applications linéaires

Applications linéaires
Définition :
Soient Eet Fdeux K-espaces vectoriels, et soit f:E→Fune application. On dit que fest K-linéaire si et seulement
si
∀(u, v)∈E2,∀(λ, µ)∈K2, f(λu +µv) = λf(u) + µf(v).
Exemple :
1. avec E=F=Ret K=R,fest linéaire si et seulement si il existe kréel tel que f(x) = kx. La fonction définie par
f(x) = x2n’est pas linéaire.
2. La fonction f:R3→R2définie par f(x, y, z) = (3x2+z, y +z)n’est pas linéaire.
3. La fonction f:R3→R2définie par f(x, y, z) = (3x+z, y +z)est linéaire.
4. La fonction f:K[X]→K[X]définie par f(P) = P0où P0est le polynôme dérivée de Pest linéaire.
Théorème :
les images et les images réciproques de sous espaces vectoriels par une application linéaire sont des sous espaces vectoriels.
Autrement dit
1. Quelque soit Aun sous espace vectoriel de Ealors f(A) = {y∈F, ∃x∈A, f(x) = y}est un sous espace vectoriel
de F.
2. Quelque soit Bun sous espace vectoriel de Falors f−1(B) = {x∈E f(x)∈B}est un sous espace vectoriel de F.
(Attention ici l’utilisation du symbole f−1ne signifie pas que fest bijective. La notation f−1(B)désigne l’image
réciproque de l’ensemble Bpar l’application f, elle est bien définie pour toute application f:E→Fmême non
linéaire, et ici on affirme que si fest linéaire et Bun sous espace vectoriel alors l’image réciproque de Best un sous
espace vectoriel de E).
Preuve : on prend w1et w2dans f(A),puis λet µdans K,par définition on trouve u1et u2dans Etels que f(u1) = w1
et f(u2) = w2. Alors λw1+µw2=λf(u1) + µf(u2) = f(λu1+µu2)prouve que λw1+µw2appartient à f(A)et donc
f(A)est un sous ensemble de Fqui est stable par combinaison linéaire et donc f(A)est un sous espace vectoriel. De la
même manière soient u1et u2dans f−1(B)alors w1=f(u1)et w2=f(u2)appartiennent à B, qui est un (sous) espace
vectoriel et donc λw2+µw2appartient aussi à B, et donc λu1+µu2vérifie que f(λu1+µu2) = λw2+µw2∈B, et donc
λu1+µu2appartient à f−1(B)et donc f−1(B)qui est un sous ensemble de l’espace vectoriel Eest stable par combinaison
linéaire, et donc f−1(B)est un sous espace vectoriel de E.
Exemple La fonction f(x, y, z) = (x, y, y2)transforme le plan d’équation z= 0 en une gouttière infinie non plane. Ce
n’est pas une application linéaire. Par contre la fonction g(x, y, z) = (x, y, y)qui est linéaire transforme le plan d’équation
z= 0 en le plan d’équation y=z. Faire des dessins.
Définition :
Soient Eet Fdeux K-espaces vectoriels, et soit f:E→Fune application linéaire.
1. On appelle image de fle sous espace vectoriel f(E)(sous espace vectoriel de F) que l’on note =m(f).
2. On appelle noyau de fle sous espace vectoriel f−1({0F})(c’est un sous espace vectoriel de E) que l’on note Ker(f).
Exemple 1): f(x, y) = (x+y
√2,x+y √2,0) Faire un dessin.
Exemple :2)f(x, y) = (y, 0). Faire un dessin. Ici l’espace de départ Eet l’espace d’arrivée Fsont les mêmes et l’image
et le noyau sont confondus ! Ce qui montre que si fest un endomorphisme (ce qui signifie que fest linéaire de Edans
F=E), il est faux, a priori, que E==m(f)⊕Ker(f),cela peut-être vrai ou non.
Proposition :
Soient Eet Fdeux K-espaces vectoriels, et soit f:E→Fune application linéaire.
1. fest injective si et seulement si Ker(f) = {0E},
2. f est surjective si et seulement si =m(f) = F.
Preuve : ...
1

Théorème :
Soient Eet Fdeux K-espaces vectoriels, et soit f:E→Fune application linéaire. Si Eest de dimension finie, Fde
dimension finie ou non, alors
dim(Ker(f)) + dim(=m(f)) = dim(E).
Preuve : Soit k= dim(Ker(f)), et (e1, e2, . . . ek)une base de Ker(f)(tout cela est dans E). Soit l= dim(=m(f))
et (w1, w2, . . . , wl)une base de (=m(f)(tout cela est dans F). Comme wiest dans f(E),il existe uidans Etel que
f(ui) = wipour i= 1, . . . , l. Posons B= (e1, e2, . . . ek, u1, u2, . . . , ul). Montrons que Best une famille libre. Soient donc
(λ1, λ2, . . . λk, µ1, . . . µl)tels que λ1e1+· · · +λkek
| {z } +µ1u1+· · · +λlul
| {z }
= 0
e u . Alors f(e+u) = 0 = f(e) + f(u) = f(u)
parce que eest dans le noyau de f. Mais f(u) = f(µ1u1+···+λlul) = µ1f(u1) + · · · +λlf(ul) = µ1w1+···+λlwl= 0
et comme (w1, w2, . . . , wl)est une base de =m(f), nous en déduisons que µ1=··· =µl= 0. D’où u= 0 et il reste
λ1e1+· · · +λkek= 0 et comme (e1, e2, . . . ek)est une base de Ker(f), nous en déduisons que λ1=· · · =λl= 0.Best
donc libre.
Montrons que Best génératrice de E. Pour cela prenons u∈E. Comme v=f(u)est dans =m(f)il existe µ1, . . . , µl
tels que v=µ1w1+···+λlwl. Alors e=u−(µ1u1+· · · +λlul)vérifie f(e) = 0 et donc eest dans le noyau et donc
il existe λ1, . . . , λktels que e=λ1e1+···+λkeket finalement u=λ1e1+···+λkek+µ1u1+· · · +λlulet donc Best
génératrice. Donc Best une base de E. Donc k+l= dim E= dim(Ker(f)) + dim(=m(f)).
Attention en dimension infinie, un phénomène hors programme.
Prenons F=E=K[X]et f:P→P0, puis Gle sous espace de Edes polynômes Pvérifiant P(0) = 0. Alors G$E
et si P∈Galors P(X) = a0+a1X+· · · +anXnavec a0= 0 et donc f(P(X)) = P0(X) = a1+ 2a2X+· · · +nanXn−1
et donc f(G) = Eet donc en considérant la restriction de fàGon obtient f:G→Elinéaire avec G$Eet donc f
”grosssit”le sous espace de départ. Ce phénomène est impossible en dimension finie et toute la suite du cours en dépend.
Pour toute l’ue mat231 l’espace de départ est de dimension finie.
Matrices et applications linéaires.
A partir de maintenant nous supposerons que Eet Fsont de dimensions finies.
Définition :
Soient Eet Fdeux K-espaces vectoriels de dimensions net m, et A:E→Fune application linéaire. Soient
B={e1, e2, . . . , en}une base de Eet F={f1, f2, . . . fm}une base de F. On appelle matrice représentant Arelativement
aux bases Bet F, le tableau rectangle de n.m éléments de Kayant ncolonnes et mlignes, de sorte que la r`eme colonne
de la matrice soit constituée des mcomposantes de A(er)dans la base F.
Notations :
En notant par aij les éléments de la matrice, idésignant la ligne et jla colonne de l’élément, on écrit
A=
a11 a12 · · · · · · · · · a1n
a21 a22 a2n
.
.
.....
.
.
.
.
.....
.
.
am1· · · · · · · · · · · · amn
↑
A(e1)
↑
A(e2)
↑
A(en)
.
2

Proposition.
Si u∈Ese décompose dans la base B, en u=u1e1+· · · +unen, alors en effectuant le produit matriciel A
u1
u2
.
.
.
un
=
n
X
j=1
a1juj
n
X
j=1
a2juj
.
.
.
n
X
j=1
amj uj
, on obtient une colonne contenant les composantes de f(u)dans la base F.
Preuve : comme on a disposé dans la r`eme colonne de la matrice les composantes de A(er)on sait que A(er) =
m
X
k=1
akr fk= (f1, f2, . . . , fm)
a1r
a2r
.
.
.
amr
et donc A(u) = A(u1e1+· · · +unen) = A
e1e2· · · en
u1
u2
.
.
.
.
.
.
un
=
u1A(e1) + · · · +unA(en) = A(e1)A(e2)· · · A(en)
u1
u2
.
.
.
.
.
.
un
=f1f2· · · fmA
u1
u2
.
.
.
.
.
.
un
.
Dans cette preuve on utilise une matrice ayant une ligne et ncolonnes contenant non pas des scalaires (éléments de K)
mais des vecteurs de E, et une matrice ayant une ligne et mcolonnes contenant non pas des scalaires (éléments de
K) mais des vecteurs de F. Il s’agit uniquement d’une commodité d’écriture qui simplifie la manipulation. On écrit
que A(e1)A(e2)· · · A(en)=f1f2· · · fmAce qui est autre écriture de ∀r∈ {1,2,· · · , n},A(er) =
m
X
k=1
akr fk. Et dans la dernière expression f1f2· · · fmA
u1
u2
.
.
.
.
.
.
un
, on reconnaît la décomposition de A(u)dans
la base F.
Changement de bases.
Soit Eun K-espace vectoriel de dimension n, et deux bases B={e1, e2, . . . , en}et ˜ B={˜e1,˜e2,··· ,˜en}. Décidons de
nommer B, l’ancienne base et ˜ Bla nouvelle base. On cherche à relier les composantes d’un vecteur quelconque udans
la base Baux composantes de ce même vecteur dans ˜ B. Pour cela on définit la matrice de passage d’une base à l’autre
en utilisant la démarche précédente avec F=Eet Aétant l’identité. Pour ne pas créer plus de confusions, nous allons
répéter ce qui est déja fait dans ce cadre particulier.
Définition :
Soit Eun K-espace vectoriel de dimension n, et deux bases B={e1, e2, . . . , en}et ˜ B={˜e1,˜e2,· · · ,˜en}, on appelle PB→ ˜
B,
matrice de passage de l’ancienne base Bà la nouvelle base ˜ B, la matrice carrée ayant nlignes et ncolonnes, obtenue en
3

plaçant dans les colonnes de P, les composantes des nouveaux vecteurs exprimées dans l’ancienne base.
PB→ ˜
B=
p11 p12 ··· ··· ··· p1n
p21 p22 p2n
.
.
.....
.
.
.
.
.....
.
.
pn1· · · · · · · · · · · · pnn
↑
˜e1
↑
˜e2
↑
˜en
.
Proposition :
1. La matrice de passage de l’ancienne base à la nouvelle permet de calculer les anciennes composantes d’un vecteur
en fonction des nouvelles, c’est à dire que si u=x1e1+x2e2+· · · +xnenet u= ˜x1˜e1+ ˜x2˜e2+···+ ˜xn˜enalors avec
Pla matrice de passage de Bà˜ B.
x1
x2
.
.
.
.
.
.
xn
=P
˜x1
˜x2
.
.
.
.
.
.
˜xn
.
Preuve :
u=e1e2. . . . . . en
x1
x2
.
.
.
.
.
.
xn
=˜e1˜e2. . . . . . ˜enP
x1
x2
.
.
.
.
.
.
xn
=˜e1˜e2. . . . . . ˜en
˜x1
˜x2
.
.
.
.
.
.
˜xn
.
Comme la décomposition de udans ˜ Best unique, on obtient bien P
˜x1
˜x2
.
.
.
.
.
.
˜xn
=
x1
x2
.
.
.
.
.
.
xn
.
2. Comme Preprésente l’identité qui est bijective, la matrice Pest inversible, et la matrice inverse P−1est constituée
des composantes des vecteurs de ˜ Bexprimés dans B, disposées en colonne.
Théorème.
Soient Eet Fdeux K-espaces vectoriels, et soit A:E→Fune application linéaire. On considère Bet ˜ Bdeux bases de
E, et Fet ˜ Fdeux bases de F. Soient Ala matrice représentant Adans les bases Bet F, et soit ˜ Ala matrice représentant
Adans les bases ˜ Bet ˜ F, alors ˜
A˜
B,˜ F=P˜ F→F.AB,F.PB→ ˜ B.
Preuve :
v=A(u)
s’écrit 
v1
v2
.
.
.
.
.
.
vm
=A
u1
u2
.
.
.
.
.
.
un
4

une fois les bases Bde Eet Fde Fchoisies. Multiplions à gauche par f1f2· · · · · · fm
f1f2· · · · · · fm
v1
v2
.
.
.
.
.
.
vm
=f1f2· · · · · · fmA
u1
u2
.
.
.
.
.
.
un
=f1f2· · · · · · fmAPB→ ˜
B
˜u1
˜u2
.
.
.
.
.
.
˜un
=˜
f1˜ f2. . . . . . ˜ fnP˜
F→FAPB→ ˜ B
˜u1
˜u2
.
.
.
.
.
.
˜un
=˜
f1˜ f2. . . . . . ˜ fn˜
A
˜u1
˜u2
.
.
.
.
.
.
˜un
et donc ˜
A˜
B,˜ F=P˜ F→F.AB,F.PB→ ˜ B.
en identifiant P˜
F→FAPB→ ˜ B
˜u1
˜u2
.
.
.
.
.
.
˜un
et ˜ A
˜u1
˜u2
.
.
.
.
.
.
˜un
comme deux expressions des composantes du même vecteur vdans la
base ˜ F. Comme cela a lieu quelque soit la colonne
˜u1
˜u2
.
.
.
.
.
.
˜un
on a bien démontré la formule demandée.
Changement de base, cas d’un endomorphisme.
Soit Eun K-espace vectoriel et A:E→Eune application linéaire de Edans E, puis Bet ˜ Bdeux bases de E. Alors la
matrice Aqui représente Arelativement à la base B, et la matrice ˜ Aqui représente Arelativement à la base ˜ Bvérifient
˜
A=P−1.A.P
où Pest la matrice de passage de la base Bà la base ˜ B.
Preuve : on applique le théorème précédent avec F=E,. . . .
5