Probabilités

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Probabilités
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Échauffez-vous !
Un sac contient cinq boules indiscernables au toucher, une rouge et
quatre noires.
On tire au hasard une boule dans le sac, on note sa couleur, puis on
la replace dans le sac avant d’effectuer un nouveau tirage (tirage avec
remise).
1 On a constitué un échantillon de cette expérience aléatoire en
réalisant 100 tirages. Pour cet échantillon, la boule rouge est sortie 31
fois.
Cochez la case correspondant à la réponse exacte.
a) La taille de l’échantillon est :
£ 100 £ 31 £ 5
b) La fréquence d’obtention de la boule rouge dans cet échantillon est :
£ 0,05 £ 20 £ 0,31
2 On effectue de nouveaux tirages. Tous les 100 tirages, on totalise
dans un tableau le nombre de fois où la boule rouge a été obtenue depuis
le premier tirage.
Nombre de tirages 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 000
Nombre d’obtentions
de la boule rouge 31 63 84 98 126 152 174 199 224 251
Fréquence d’obtentions 0,31 0,315 0,28 0,245 0,252 0,253 0,249 0,249 0,249 0,251
a) Cochez la case correspondant à la réponse exacte.
Entre le 101e et le 200e tirage, le nombre d’obtentions supplémentaires
de la boule rouge est :
£ 63 £ 32 £ 31
b) Complétez la colonne des fréquences du tableau.
(Donnez les valeurs décimales arrondies à 0,001 près.)
3 a) Rayez l’encadré inexact.
Lorsque le nombre de tirages devient très grand, on constate que la
fréquence de la boule rouge ne se stabilise pas / se stabilise vers le
nombre 0,25.
b) Complétez. Lorsqu’on tire au hasard une boule dans le sac, la
probabilité d’obtenir la boule rouge est 0,25.
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Vocabulaire
Tirages d’un individu
dans une population
• Avec remise
On replace chaque
individu dans la
population avant
le tirage du suivant.
• Sans remise
On ne replace aucun
individu dans la
population avant les
tirages des suivants.

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1 Vocabulaire des probabilités
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1. Distinguer issues et événements d’une expérience aléatoire
On considère l’expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé à six faces, numérotées
de 1 à 6, et à relever le numéro obtenu sur la face supérieure.
• Les issues de cette expérience aléatoire sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
• L’ensemble Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} de toutes les issues est l’univers.
• Un ensemble constitué d’issues est un événement :
l’événement P « obtenir un nombre strictement inférieur à 3 » s’écrit P = {1 ; 2} ;
l’événement Q « obtenir un nombre pair » s’écrit Q = {2 ; 4 ; 6}.
Un événement élémentaire est constitué d’une seule issue :
les événements R1 « obtenir 1 », R2 « obtenir 2 », …, s’écrivent R1 = {1},
R2 = {2}, … .
Activité 1
Cochez la case correspondant à la réponse exacte.
1. L’événement « obtenir un nombre strictement supérieur à 4 » s’écrit {5 ; 6}.
 £ Vrai £ Faux
2. L’événement « obtenir un nombre impair » est élémentaire.
 £ Vrai £ Faux
3. L’événement « obtenir un nombre strictement inférieur à 2 » est élémentaire.
 £ Vrai £ Faux
4. L’événement « obtenir un nombre strictement inférieur à 10 » est l’univers Ω.
 £ Vrai £ Faux
2. Concevoir ce que sont la réunion et l’intersection d’événements
Une urne contient une boule rouge et une boule noire.
1er
tirage
2e
tirage
Rouge Noire
Rouge rr nr
Noire rn nn
On tire au hasard une boule dans l’urne, on note sa
couleur et on la remet dans l’urne, puis on recommence
une fois. Cette situation est représentée par le tableau
ci-contre. Ω = {rr ; nr ; rn ; nn}.
On considère les événements A « obtenir une boule
rouge au 1er tirage » et B « obtenir une boule rouge au
2e tirage » : A = {rr ; rn} et B = {rr ; nr}.
• La réunion des événements A et B est l’événement
A < B, constitué des issues qui sont dans l’événement
A ou dans l’événement B, ce qui signifie ici « obtenir
au moins une boule rouge » :
A < B = {rr ; nr ; rn}.
• L’intersection des événements A et B est l’événement
A > B, constitué des issues qui sont à la fois dans l’évé-
nement A et dans l’événement B, ce qui signifie ici
« obtenir deux boules rouges » :
A > B = {rr}.
Ann B
Ω
rr
rn nr
Ann B
Ω
rr
rn nr

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Activité 2
1. Complétez.
a) L’expérience aléatoire précédente a quatre issues : rr ; nr ; rn ; nn .
b) L’événement C « obtenir une boule noire au 1er tirage » s’écrit C = {nr ; nn}.
c) L’événement D « obtenir une boule noire au 2e tirage » s’écrit D = {rn ; nn}.
2. a) Entourez les issues qui sont dans au moins un des événements C ou D.
rr nr rn nn
b) Déduisez-en l’écriture de la réunion de C et de D. C < D = {nr ; rn ; nn}.
c) Complétez. C < D est l’événement « obtenir au moins une boule noire ».
3. a) Entourez les issues qui sont à la fois dans l’événement C et dans l’événement D.
rr nr rn nn
b) Déduisez-en l’écriture de l’intersection de C et de D. C > D = {nn}.
c) Complétez. C > D est l’événement « obtenir deux boules noires ».
3. Comprendre ce que sont des événements incompatibles
et des événements contraires
Adel a trois cartons numérotés 1, 2 et 3.
Il pose au hasard un carton devant lui, puis un deuxième
à la droite du premier.
Il crée ainsi un nombre à deux chiffres.
Cette situation est représentée par l’arbre ci-contre.
Ω = {12 ; 13 ; 21 ; 23 ; 31 ; 32}.
On considère les événements A = {12 ; 13},
B = {21 ; 23 ; 32} et C = {21 ; 23 ; 31 ; 32}.
• Les événements A et B sont incompatibles, parce
qu’ils n’ont aucune issue en commun :
A > B = ∅ (ensemble vide).
• L’événement C est l’événement contraire de l’événe-
ment A, parce qu’il est constitué de toutes les issues de
Ω qui ne sont pas dans A.
Il est noté xA.
Activité 3
1. Cochez la case correspondant à la réponse exacte.
a) Les événements D = {23} et E = {12 ; 31 ; 32} n’ont aucune issue en commun
(D > E = ∅), donc D et E sont incompatibles. £ Vrai £ Faux
b) Les événements F = {21 ; 31 ; 32} et G = {13 ; 21 ; 31} ont au moins une issue
en commun, donc F et G ne sont pas incompatibles. £ Vrai £ Faux
2. Reliez chaque événement à son événement contraire et complétez.
E = {12 ; 31 ; 32} • • cG = {12 ; 23 ; 32}
G = {13 ; 21 ; 31} • • cE = {13 ; 21 ; 23}
3. Cochez la case correspondant à la réponse exacte.
Le contraire de A est C, donc le contraire de C est A. £ Vrai £ Faux
CHAPITRE 5 • PROBABILITÉS
1er chiffre
1
2 12
133
2
3
2e chiffre Issue
1 21
233
1 31
322
ABΩ
31
12
13 21 32
23
A
C
Ω
31
12
13 21 32
23

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2 Probabilité
1. Déterminer la probabilité d’un événement
En lançant un très grand nombre de fois un dé pipé, à six faces numérotées, on a
obtenu les fréquences suivantes, pour les six issues 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
Face du dé 123456
Fréquence 0,05 0,1 0,1 0,2 0,25 0,3
On prend comme probabilités de ces issues les fréquences correspondantes :
la probabilité p(1) de l’issue 1 est p(1) = 0,05 ; p(2) = 0,1 ; p(3) = 0,1 ; .
• La probabilité p(A) d’un événement A est la somme des probabilités de toutes les
issues de A :
la probabilité de l’événement E « obtenir un nombre strictement supérieur à 3 » est
p(E) = p(4) + p(5) + p(6) = 0,2 + 0,25 + 0,3 = 0,75.
Ainsi, les probabilités des événements élémentaires {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} sont
celles des issues 1, 2, 3, 4, 5 et 6 et la probabilité p(A) est la somme des probabilités
de tous les événements élémentaires contenus dans A.
Activité 1
On lance le dé précédent. Cochez la case correspondant à la réponse exacte.
1. La probabilité p(6) est : £ 0,17 £ 0,25 £ 0,3
2. a) L’événement P « obtenir un nombre pair » s’écrit :
 £ {1 ; 3 ; 5} £ {2 ; 4 ; 6} £ {3 ; 4 ; 5 ; 6}
b) La probabilité p(P) est : £ 0,4 £ 0,6 £ 0,85
3. La probabilité p(Ω) de l’univers Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} est :
 £ 0 £ 0,5 £ 1
2. Repérer l’équiprobabilité
Une urne contient cinq boules indiscernables au toucher : trois rouges, une verte et
une noire. On tire au hasard une boule dans l’urne et on note sa couleur.
Toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées :
1
5 , c’est-à-dire 0,2.
• On dit qu’il y a équiprobabilité lorsque toutes les issues ont la même probabilité.
– Si l’univers Ω est constitué de n issues, la probabilité de chaque issue est
1
n .
– La probabilité d’un événement A est p(A) =
nombre d’issues de A
nombre d’issues de Ω .
Activité 2
Complétez.
Dans la situation de l’encadré, soit A l’événement « obtenir une boule rouge ».
Le nombre total d’issues (nombre d’issues de Ω) est 5 et le nombre d’issues de
A est 3, donc la probabilité p(A) est : 3
5 = 0,6.
Par ailleurs, A étant constitué de 3 issues, chacune de probabilité 0,2 :
p(A) = 0,2 + 0,2 + 0,2 = 3 × 0,2 = 0,6. On obtient bien le même résultat.

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CHAPITRE 5 • PROBABILITÉS
3. Comment calculer la probabilité d’un événement A lorsqu’il y a
équiprobabilité ?
Méthode 1
Étape 1 Si nécessaire, on représente la situation par un tableau, un arbre ou un diagramme.
Étape 2 On détermine le nombre d’issues de l’univers Ω (nombre total d’issues).
Étape 3 On détermine le nombre d’issues de A.
Étape 4 On utilise l’égalité p(A) = nombre d’issues de A
nombre d’issues de Ω.
m
On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes, on note sa couleur (noire ou rouge)
et on la remet dans le jeu. Puis on tire au hasard une deuxième carte dans le jeu, on note sa
couleur et on la remet dans le jeu.
On s’intéresse aux couleurs obtenues sur les deux cartes tirées.
On admet que toutes les issues (couples de couleurs) sont équiprobables.
On considère les événements A « les deux cartes obtenues sont une noire et une rouge » et
B « les deux cartes obtenues sont rouges ».
Calculez les probabilités de A et de B.
Solution
Étape 1 On représente la situation par un tableau ou par un arbre.
1re carte
nn
r
nn
n r
2e carte Issue
rn
r
r n
rr
1re
carte
2e
carte
noire rouge
noire nn rn
rouge nr rr
Étape 2 À l’aide du tableau ou de l’arbre, on constate que l’univers Ω est
constitué des issues nn, nr, rn et rr. Ainsi, le nombre d’issues de l’univers Ω
(nombre total d’issues) est égal à 4 .
Étape 3 À l’aide du tableau ou de l’arbre, on constate que :
• l’événement A est constitué de 2 issues : nr et rn ;
• l’événement B est constitué d’une seule issue : rr .
Étape 4
• La probabilité de l’événement A est p(A) = 2
4 = 0,5.
• La probabilité de l’événement B est p(B) = 1
4 = 0,25.