{ }n ( ) ( ) ( )n

Chapitre 11 : Probabilités 1/3 2
nde
Ozar Hatorah 2011-2012
CHAPITRE XI : Probabilités
(Couche n°2)
I. Définitions fondamentales Fiches 1 et 2 p 149 et 152
1. Vocabulaire des probabilités
a) Expérience aléatoire – univers
On qualifie une expérience d’ aléatoire lorsqu’elle possède plusieurs issues possibles et que l’on ne peut ni
prévoir, ni calculer laquelle de ces issues se réalisera.
L’ensemble des issues d’une expérience aléatoire est appelé univers . On le note généralement
Ω
.
b) Probabilité d’une issue
La probabilité d’une issue est sa chance de survenir ; elle est donnée sous forme de fréquence (
[
]
1;0∈ ).
Tout le but de se chapitre est d’apprendre à calculer la probabilité des issues d’un univers.
On appelle loi de probabilité la donnée de la probabilité de chacune des issues de l’univers.
c) Probabilité et statistiques
Plus une expérience est réalisée sur une population grande, plus la fréquence observée tend vers la
probabilité de l’issue concernée (c’est la Loi des Grands Nombres, cf. chapitre VIII).
En France, 51% des nouveaux nés sont des garçons. Un jour donné, on choisit au hasard un nouveau né et
on note son sexe. Quelle est la loi de probabilité de cette expérience aléatoire ?
2. Propriété fondamentale
La somme des probabilités de toutes les issues de l’univers est 1.
On jette un dé à 6 faces pipé de telle sorte que P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = 0,125 et P(5) = P(6).
Déterminez la loi de probabilité de cette expérience.
3. Notion d’équiprobabilité
Lorsque toutes les issues de l’univers ont la même probabilité, on dit que l’expérience est équiprobable
(ou encore, que la loi de probabilité est équirépartie ).
Mathématiquement : On considère un univers possédant
n
issues :
{
}
n
ωωω ;;;
21
K =Ω .
L’expérience est équiprobable SSI
(
)
(
)
(
)
n
PPP ωωω === L
21
.
Remarque :
Dans un énoncé, on repère l’équiprobabilité à certaines expressions, synonymes d’impartialité.
Par exemple : « au hasard », « non truqué », « non pipé », « en aveugle », etc.
Une urne « opaque » contient 4 boules blanches « indiscernables au toucher ». On tire une boule au hasard.
1) Déterminez l’univers de cette expérience ;
2) Déterminez la loi de probabilité de cette expérience.

Chapitre 11 : Probabilités 2/3 2
nde
Ozar Hatorah 2011-2012
II. Probabilité d’un événement
1. Notion d’événement
a) Définition d’événement
Un événement est la réunion de plusieurs issues de l’univers.
b) Probabilité d’un événement
La probabilité d’un événement est la somme des probabilités de chacune de ses issues.
La roue représentée ci-contre est partagée en 6 secteurs. Une
expérience aléatoire consiste à faire tourner la roue et à noter le
numéro du secteur sur lequel elle s’immobilise. La roue étant
bien équilibrée, on associe à chaque issue une probabilité
proportionnelle à l’angle du secteur angulaire correspondant.
1) Déterminez l’univers ainsi que sa loi de probabilité.
2) Calculez la probabilité des événements suivants :
 A : « Le numéro est pair »
 B : « Le numéro est inférieur ou égal à 3 ».
c) Evénements spécifiques
L’événement certain :
Ω
(
)
1=ΩP
L’événement impossible :
∅
(
)
0=∅P
2. Evénements et équiprobabilité
a) Cardinal d’un ensemble fini
Le nombre d’éléments d’un ensemble fini est appelé cardinal de cet ensemble.
Soit
E
un ensemble fini de cardinal
n
. On note
(
)
ECardn = .
Le cardinal de l’ensemble vide est 0.
b) Théorème de l’équiprobabilité
Dans une situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement
Ω
⊂
A
est :
( )
(
)
( ) Ω
== Card ACard
totalaucasdenombre favorablescasdenombre
AP
D EMONSTRATION .
On tire au hasard une carte dans un jeu classique de 32 cartes. On s’intéresse à la couleur et à la valeur de
la carte. Calculer la probabilité des événements :
a)
A
: « la carte tirée est un roi »
b)
B
: « la carte tirée est un trèfle »
c)
C : « la carte tirée est une figure »

Chapitre 11 : Probabilités 3/3 2
nde
Ozar Hatorah 2011-2012
III. Probabilités et ensembles Fiche 3 p 154
1. Opérations sur les ensembles (rappel)
Réunion Intersection Complémentaire
BxouAxBAx
∈
∈
⇔
∪
∈
BxetAxBAx
∈
∈
⇔
∩
∈
AxetxAx ∉Ω∈⇔∈
Remarques :
 On dit que deux événements sont incompatibles lorsque leur intersection est vide (
∅
=
∩
BA ).
 Le complémentaire d’une réunion est l’intersection des complémentaires (
B
A
B
A
∩
=
∪
).
On dispose d’un dé cubique bien équilibré. On lance ce dé sur une table et on lit le numéro obtenu.
1) Déterminez l’univers de cette expérience.
2) On note
A
l’événement : « Obtenir un nombre pair » et
B
: « Obtenir un nombre supérieur à 3 ».
a) Quelles sont les issues qui réalisent chacun des événements
A
,
B
,
B
,
B
A
∩
et
B
A
∪
?
b) Quelle est la probabilité de chacun de ces événements.
2. En termes de probabilités
a) Réunion de deux événements incompatibles
La probabilité de la réunion de deux événements incompatibles est la somme des probabilités
i.e. :
Si
A
et
B
sont incompatibles, alors
(
)
(
)
(
)
BPAPBAP +=∪
b) Réunion de deux événements quelconques
Quels que soient les événements
A
et
B
,
(
)
(
)
(
)
(
)
BAPBPAPBAP ∩−+=∪
c) Complémentaire d’un événement
Quel que soit l’événement
A
,
(
)
(
)
APAP −= 1
d) Formule de De Morgan
La probabilité du complémentaire d’une réunion est l’intersection des complémentaires
i.e. :
Quels que soient les événements
A
et
B
,
(
)
(
)
(
)
BPAPBAP ∩=∪ et
(
)
(
)
(
)
BPAPBAP ∪=∩
D EMONSTRATIONS .
La classe de 2
nde
compte 35 élèves. 12 d’entre eux pratiquent la natation, 7 le volley-ball et 18 ne pratiquent
ni la natation, ni le volley-ball. On désigne au hasard un élève de la classe. Calculer la probabilité :
a) Que l’élève pratique au moins un des deux sports.
b) Que l’élève pratique les deux sports.
***