Contribution du raisonnement logique à la cartographie des flux

Contribution du
raisonnement logique à la
cartographie des flux
Françoise Bahoken
SAGEO’2012
Liège (Belgique) – 07/11/2012
Intervenant - date
Sommaire
• Le problème général de la cartographie des flux
• Les solutions graphiques et numériques
• L’intérêt du raisonnement logique
Intervenant - date
1. Le problème général
2. Les solutions
3. L’intérêt du raisonnement logique
Cartographier les flux
• Cartographier les flux, c’est :
représenter la valeur des flux (Fij, Fji) sur un espace métrique
à l’aide de N² figurés graphiques (N= nombre de lieux)
mais, si N ≥10 Effet-spaghetti
Intervenant - date
(Breukelman & al., 2009)
1. Le problème général
2. Les solutions
3. L’intérêt du raisonnement logique
Approches
Liens-Lieux
« la focale »
(i,j) : origine, destination Fij : flux aller Fji : flux retour
(j)
(Fij+Fji) > 250
∑i Fij
(i)
Fij
Fji
∑j Fji
Lieux (i,j) ≠ Liens (Fij, Fji)
Intervenant - date
(Fij, Fji)
1. Le problème général
2. Les solutions
3. L’intérêt du raisonnement logique
Cartographier les flux
• La problématique de la « sélection » avec « parcimonie »,
dans l’optique d’une réduction est ancienne (Bunge, 1962,
1969, Bertin, 1967, 1973, Tobler, 1987, Rae, 2009)
Simplifier la figure : éliminer, filtrer, seuiller, combiner
décomposer, agréger
•
-
Plusieurs approches
graphique
probabiliste
statistique
matricielle
logique
scalaire
Intervenant - date
N*(N-1) liens soit 10356
1.
Le problème général
2. Les solutions
3. L’intérêt du raisonnement logique
L’approche graphique
(i,j) : origine, destination Fij : flux aller Fji : flux retour
je représente :
- Les 5% de flux les plus importants
- Les flux supérieurs à α
[a]
Seuil : (Fij, Fji) > α
Variante : (Fij, Fji) > α Dij
Nr. de
classe
Classe de
valeurs
des flux
Valeurs
des flux
cumulés
Nombre
de liens
(figurés)
%
de liens
Interaction
moyenne
par lien
4853
% de valeur
des flux (sur
interaction
totale)
8,06
1
1-100
9983
96,40
0,49
2
100-500
34900
57,97
349
3,37
100
3
500-1000
10929
18,15
16
0,15
683
4
> 1000
9521
15,81
8
0,08
1190
60203
100
10356
100,00
6
Total
N*(N-1) liens soit 10356
Intervenant - date
1.
Le problème général
2. Les solutions
3. L’intérêt du raisonnement logique
L’approche probabiliste
(i,j) : origine, destination Fij : flux aller Fji : flux retour
je représente la part des flux ayant
une prob. > 50% d’aller de i vers j
Liens
[b]
Probabilité de i vers j
(Fij / Oi ) * 100
je représente l’intensité totale
[b’]
∑iFij
des flux émis par (i)
Lieux
Intervenant - date
1.
Le problème général
2. Les solutions
3. L’intérêt du raisonnement logique
L’approche statistique
(i,j) : origine, destination Fij : flux aller Fji : flux retour
je représente le volume
(ou le solde) des flux
je représente l’efficacité des zones
(Courgeau, 1980),
…la préférence (Pumain, 2001)
[1]
[2]
[3]
Intervenant - date
Le volume :
(Fij + Fji)
Le solde :
(Fij – Fji)
L’asymétrie :
(Fij - Fji ) / (Fij + Fji )
1.
Le problème général
2. Les solutions
3. L’intérêt du raisonnement logique
L’approche algébrique
Algèbre des matrices
Soit F(i,j) ; Si i ≠ j et Fij ≠Fji alors F = (F+) + (F-)
Fondements :
[4]
je décompose le spectre de la
matrice en 2 parties
triangulaires (LU)
- supérieure (Up)
- inférieure (Law)
Composante symétrique (F+)
F+ = (Fij + Fji) / 2
[5]
Composante antisymétrique (F-)
(F-) = (Fij – Fji) / 2
Algébrique :
je représente la composante
symétrique des échanges
Tobler (1979, 1982)
F= (F+) + (F-)
Intervenant - date
Variantes des [1] et [2]
[1] : (Fij+Fji) [2] : (Fij – Fji)
donc [4] [5] = moyennes arithmétiques
1.
Le problème général
2. Les solutions
3. L’intérêt du raisonnement logique
L’approche algébrique
Algèbre des matrices
Intervenant - date
Soit F(i,j) ; Si i ≠ j et Fij ≠Fji alors F = (F+) + (F-)
1.
Le problème général
2. Les solutions
3. L’intérêt du raisonnement logique
L’approche algébrique
Logique matricielle
Fondements :
(Zadeh,1965, Dubois et Pradé,
1980)
Fmin = Min(Fij,Fji)
Fmax = Max(Fij, Fji)
F [Min(Fij,Fji) ; Max(Fij, Fji)]
je représente les flux
aller et les flux retour
je représente les flux
aller ou les flux retour
Intervenant - date
Soit F(i,j) Si i ≠ j ; Fij ≠Fji ; Fij, Fji [(F)min, Fmax]
[7]
L’union (U) : ‘OU’ : (A U B)(x)
Fij U Fji = Max(Fij, Fji)
[8]
L’intersection (∩) : ’ET’ : (A ∩ B)(x)
Fij ∩ Fji = Min(Fij, Fji)
1.
Le problème général
2. Les solutions
3. L’intérêt du raisonnement logique
[7] Fij U Fji = Max(Fij, Fji)
36% des figurés
[8] Fij ∩ Fji = Min(Fij, Fji)
47% des figurés
Intervenant - date
1.
Le problème général
2. Les solutions
3. L’intérêt du raisonnement logique
Cartographier la vraie symétrie
des échanges
Soit (F), une matrice asymétrique (F) : Fij ≠ Fji
La transposée de (F)= FT
La composante moyenne est donc : (F + FT )/2 = F+ (Tobler)
La vraie symétrie passe alors par Min(Fij,Fji) ou Max(Fij, Fji)
Intervenant - date
1.
Le problème général
2. Les solutions
3. L’intérêt du raisonnement logique
Combinaisons
• Possibilités de combinaisons pour générer des indicateurs
[9]
Solde (Bilan net) : [Max(Fij,Fji) – Min(Fij, Fji)]
Différence bornée |_|
|Max(Fij,Fji) – Min(Fij, Fji)|
[10]
Dissymétrie : Max(Fij, Fji) - Min(Fij, Fji) / Max(Fij, Fji) + Min(Fij, Fji)
[11]
et la moyenne !
Intervenant - date
1.
Le problème général
2. Les solutions
3. L’intérêt du raisonnement logique
Sur la moyenne
[6]
Moyenne quadratique Qij
Qij = √ (Fij² + Fji²)/2
[6bis] Qij (pondérées)
Qij = √ (Fij² + Fji²)/Oi.Dj
Intervenant - date
1.
Le problème général
2. Les solutions
3. L’intérêt du raisonnement logique
Conclusion
• La cartographie des Min(Fij,Fji) illustre les processus de coopération
entre lieux
• La cartographie des Max(Fij,Fji) illustre la compétition
• Les variantes permettent de poser des hypothèses sur la hiérarchie des
flux et l’attractivité des lieux, sur l’existence d’effets-frontière spécifiques
Résolution des problèmes :
i) effet-spaghetti
ii) Fusion d’informations de nature différentes (par la décomposition des
matrices)
mais pas…
iii) l’effet de maillage (lié à l’hétérogénéïté de taille des zones et à leur séparation,
la distance euclidienne, par exemple)
Intervenant - date
Merci pour votre attention
IFSTTAR (www.ifsttar.fr)
Institut Français des Sciences et Technologies des Transports, de l’Aménagement et des Réseaux
Cité Descartes - Bd Newton - 77420 Champs-sur-Marne
UMR GéographieGéographie-Cités / Equipe PARIS (www.parisgeo.cnrs.fr)
13, rue du Four – 75006 Paris
[email protected]
[email protected]
Intervenant - date
1. Cartographie des flux
2. Méthodologie
3. Illustration
4. Application
Illustration
(i,j) : origine, destination
Num.
[0]
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
Intervenant - date
Opérateur
Critère
Somme
Différence(1)
Ratio
Moyenne (2)
Moyenne (2)
Moyenne (3)
Union (ET)
Intersection (OU)
Différence(1)
Ratio
Ratio
Indice
α
Volume
Solde
Asymétrie
F+
FQij
Symétrie
Antisymétrie
Solde
Dissymétrie
Asymétrie
Fij =100 et Fji= 65
Formulation
(Fij, Fji) >α
Fij + Fji
Fij – Fji
[1] / [2]
(Fij + Fji)/2
(Fij – Fji)
√ (Fij²+Fji²)/2
Max(Fij, Fji)
Min(Fij, Fji)
[7] – [8]
[8] / [7]
[9] / Max+Min
Résultat
variable
165
- 35 (ou + 35)
- 0,21
82,5
- 17,5
110
100
65
35
0,65
0,21
La carte des flux
Intervenant - date
1. Cartographie des flux
2. Méthodologie
3. Illustration
4. Application
Application
[0] le critère α
Numéro
de
classe
1
2
%
d’interaction
Nombre
de liaisons
% de
liaisons
8,06
57,97
9983
349
96,40
3,37
Interaction
moyenne
par liaison
0,49
100
3
500-1000
10929
18,15
16
0,15
683
4
> 1000
9521
15,81
8
0,08
1190
60203
100
10356
100,00
6
Total
Intervenant - date
Classe de
Total
valeur des cumulé des
interactions interactions
1-100
4853
100-500
34900
Application
[9] [10] [11]
Intervenant - date
Différence et Ratios