Statistique Descriptive L1 - Sciences Economiques Chap 5 Tableaux et Diagrammes - II Michel PAUL February 10, 2017 Contents 1 Présentation 2 Les 2.1 2.2 2.3 2 distributions conditionnelles . . . de y sachant xi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de x sachant yj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 10 13 3 Indépendance et liaison fonctionnelle 15 3.1 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 Liaison fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4 Diagrammes 4.1 x et y sont qualitatifs . . . . . . 4.2 x est qualitatif, y est quantitatif 4.3 x et y sont quantitatifs . . . . . . 4.4 Autres représentations . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 31 33 34 35 1 Présentation On considère une population de n individus décrits simultanément selon 2 caractères : le caractère x qui contient k modalités : x1 ; x2 ; : : : ; xk le caractère y qui contient p modalités : y1 ; y 2 ; : : : ; yp En termes de série : Individus 1 2 .. . i0 .. . n x x1 x2 y y1 y2 xi0 y i0 xn yn Remarque Dans ce qui suit, on indicera : les individus par l’indice i0 , ce dernier variant de 1 à n, les modalités du caractère x par l’indice i, ce dernier variant de 1 à k, les modalités du caractère y par l’indice j, ce dernier variant de 1 à p. Exemples Voir les tableaux 1 à 4. 2 Constitution du tableau statistique (1) On compte le nombre d’individus pour lesquels on observe la valeur xi et la valeur yj : # f(xi0 ; yi0 ) = (xi ; yj )g = nij (2) On fait ce comptage pour tous les couples de valeurs possibles (xi ; yj ), i variant de 1 à k, j variant de 1 à p. (3) On dresse un tableau à double entrée décrivant la répartition des n individus selon les di¤érents couples de modalités possibles (xi ; yj ). (4) On complète le tableau par k sommations horizontales (voir dernière colonne) et p sommations verticales (voir dernière ligne). (5) On fait également …gurer dans la dernière cellule l’e¤ectif total n. Format général du Tableau : x1 x2 .. . xi .. . xk y1 n11 n21 y2 n12 n22 ni1 ni2 nk1 n:1 nk2 n:2 ... yj n1j n2j ::: yp n1p n2p n1: n2: nij nip ni: nkj n:j nkp n:p nk: n Exemple : cf le tableau 5 - A (croisement de la réussite et de la bourse). 3 Rappel On a : x1 x2 .. . xi .. . xk y1 n11 n21 y2 n12 n22 ni1 ni2 nk1 n:1 nk2 n:2 ... yj n1j n2j ::: yp n1p n2p n1: n2: nij nip ni: nkj n:j nkp n:p nk: n Commentaires (1) Le tableau ainsi obtenu est appelé tableau de contingence. (2) On dispose d’une information : – sur la distribution jointe des deux caractères (distribution du couple (x; y)) ; – sur la distribution (marginale) du caractère x (dernière colonne), – sur la distribution (marginale) du caractère y (dernière ligne). (3) Formellement : ni: = p P nij j=1 n:j = k P nij i=1 avec de plus : n = n:1 + n:2 + : : : + n:j + : : : + n:p = p P n:j = j=1 = n1: + n2: + : : : + ni: + : : : + nk: = k P i=1 4 p P k P nij j=1 i=1 ni: = p k P P i=1 j=1 nij Présentation alternative : Calcul des fréquences : fij = nij n Calcul des fréquences marginales : fi: = ni: n f:j = n:j n soit : x1 x2 .. . xi .. . xk Total y1 f11 f21 y2 f12 f22 fi1 fi2 fk1 f:1 fk2 f:2 ... yj f1j f2j ::: yp f1p f2p Total f1: f2: fij fip fi: fkj f:j fkp f:p fk: 1 Exemple Voir tableau 5 - B (les fréquences sont exprimées en %) Remarque Formellement : fi: p P = fij j=1 f:j k P = i=1 pour i = 1; : : : ; k, j = 1; : : : ; p. 5 fij 2 2.1 Les distributions conditionnelles . . . de y sachant xi Exemple On reprend le tableau 5 : ABI 13 18 31 boursier non boursier Admis 40 39 79 Ajourné 103 71 174 156 128 284 et l’on calcule : (1) le taux de réussite global (ou général) : t = nbre admis nbre inscrits = 79 = 27:8% 284 (2) le taux de réussite chez les boursiers : tb = nbre boursiers admis nbre boursiers inscrits = 40 = 25:6% 156 (3) le taux de réussite chez les non boursiers : tnb = nbre non boursiers admis nbre non boursiers inscrits = 39 = 30:8% 128 Le point : (2) et (3) sont des fréquences conditionnelles. 6 De façon plus générale, connaissant la distribution (marginale) du caractère y : fy = (f:1 ; f:2 ; f:3 ) = 31 79 174 ; ; 284 284 284 = (10:92%; 27:82%; 61:27%) on veut savoir ce qu’il advient de cette distribution : ) pour la sous-population des boursiers, ) pour la sous-population des non boursiers. Tableau 5-A boursier non boursier ABI 13 18 31 Admis 40 39 79 Ajourné 103 71 174 156 128 284 A ces …ns : distribution de la réussite chez les (seuls) boursiers : fyboursier = = f1boursier ; f2boursier ; f3boursier 13 40 103 ; ; 156 156 156 = (8:33%; 25:64%; 66:03%) distribution de la réussite chez les (seuls) non-boursiers : fynon boursier = = f1non boursier ; f2non 18 39 71 ; ; 128 128 128 boursier ; f3non = (14:06%; 30:47%; 55:47%) Au …nal : boursier non boursier ABI 8.33 14.06 10.92 Admis 25.64 30.47 27.82 Tableau 6 7 boursier Ajourné 66.03 55.47 61.27 100 100 100 Tableau 5-A boursier non boursier ABI 13 18 31 Admis 40 39 79 Ajourné 103 71 174 156 128 284 Ajourné 66.03 55.47 61.27 100 100 100 + Tableau 6 boursier non boursier ABI 8.33 14.06 10.92 Admis 25.64 30.47 27.82 A la lecture du tableau : les étudiants boursiers se présentent plus souvent aux examens (comparé aux non boursiers) mais : ils réussissent (en moyenne) moins bien. Remarque Cette moindre réussite demeure lorsque l’on calcule les taux de réussite e¤ ectifs : f tef boursier = f tef non 40 = 27:98% 40 + 103 boursier tef f = = 39 = 35:55% 39 + 71 79 = 31: 26% 79 + 174 mais attention au biais de sélection ! 8 Généralisation Etant donné les ni: individus qui présentent la modalité xi , on veut la distribution (conditionnelle) du caractère y pour cette seule souspopulation : fyi = f1i ; f2i ; : : : ; fji ; : : : ; fpi avec : ni1 ni: f1i = f2i ni2 ni: .. . nij = ni: .. . nip = ni: fji fpi = (fji se lit “f de j sachant i”). Litérallement : Dans la sous-population des individus qui présentent xi : (1) f1i % présente y1 (2) f2i % présente y2 .. . ( p) fpi % présente yp De plus : Comme le caractère x présente k modalités, il existe k distributions conditionnelles : fyi = f1i ; f2i ; : : : ; fpi = fji de la sorte. 9 p j=1 2.2 . . . de x sachant yj Reprenant le tableau 5 : boursier non boursier ABI 13 18 31 Admis 40 39 79 Ajourné 103 71 174 156 128 284 on calcule : (1) le pourcentage d’étudiants boursiers (dans la population totale), (2) le pourcentage d’étudiants boursiers parmi les ABI, (3) le pourcentage d’étudiants boursiers pami les Admis, (4) le pourcentage d’étudiants boursiers pami les Ajournés soit : boursier non boursier ABI 41.94 58.06 100 Admis 50.63 49.37 100 Ajourné 59.20 40.80 100 54.93 45.07 100 Tableau 7 Littéralement : Un peu moins de 55% des étudiants de première année d’économie sont boursiers, un peu plus de 40% des étudiants qui ne se présentent pas aux examens sont boursiers, un peu plus de 50% des étudiants qui réussissent sont boursiers, un peu moins de 60% des étudiants qui échouent sont boursiers. Remarque On note une légère sous-représentation des étudiants boursiers dans la réussite (55% des e¤ ectifs au départ, 50% à l’arrivée). 10 (rappel) boursier non boursier ABI 13 18 31 Admis 40 39 79 Ajourné 103 71 174 156 128 284 Ajourné 59.20 40.80 100 54.93 45.07 100 Tableau 4 + boursier non boursier ABI 41.94 58.06 100 Admis 50.63 49.37 100 Tableau 7 Le point : On est en train de calculer des distributions conditionnelles, dans le cas présent celles du caractère x = Bourse selon les di¤ érentes modalités du caractère y = Reussite. En d’autres termes : On ventile la population totale en p = 3 sous-populations, selon les di¤ érentes modalités du caractère y = Reussite. Puis : On regarde dans chacune de ces p = 3 sous-population la distribution du caractère x = Bourse. 11 De façon plus générale : (1) On “découpe” la population P en p sous populations Pj au regard de la valeur présentée pour le caractère y : P1 = fi0 2 P jyi0 = y1 g et #P1 = n:1 .. . Pj = fi0 2 P jyi0 = yj g .. . et #Pj = n:j Pp = fi0 2 P jyi0 = yp g et #Pp = n:p Puis : (2) On calcule : – le pourcentage d’individus qui présentent la valeur x = xi parmi les n:j individus qui présentent la valeur y = yj : fij = nij n:j (lire “f de i sachant j”) ; – de façon plus générale la distribution du caractère x dans Pj : fxj = f1j ; f2j ; : : : ; fkj = n1j n2j nkj ; ;:::; n:j n:j n:j Pour …nir : (3) Le caractère y se divisant en p modalités : y1 ; : : : ; y j ; : : : ; yp il existe p distributions conditionnelles : fx1 = f11 ; f21 ; : : : ; fk1 = fi1 k i=1 .. . n o n ok fxj = f1j ; f2j ; : : : ; fkj = fij i=1 .. . k fxp = ff1p ; f2p ; : : : ; fkp g = ffip gi=1 de la sorte. 12 2.3 Propriétés Propriété 1 : fij = nij n = nij ni: = fji ni: n fi: Propriété 2 : fij = nij n = nij n:j = fij n:j n f:j Littéralement : (1) le pourcentage de la population qui a i et j est égale au pourcentage qui a i que multiplie le pourcentage qui a j parmi ceux qui ont i ; (2) le pourcentage de la population qui a i et j est aussi égale au pourcentage qui a j que multiplie le pourcentage qui a i parmi ceux qui ont j. 13 Application On a : Tableau 5-A boursier non boursier ABI 13 18 31 Admis 40 39 79 Ajourné 103 71 174 156 128 284 Tableau 6 boursier non boursier ABI 8.33 14.06 10.92 Admis 25.64 30.47 27.82 Ajourné 66.03 55.47 61.27 100 100 100 Tableau 7 boursier non boursier ABI 41.94 58.06 100 Admis 50.63 49.37 100 Ajourné 59.20 40.80 100 54.93 45.07 100 Par la suite : (1) Le taux de réussite des boursiers est de : 25:64% (2) Les boursiers représentent : 54:93% des étudiants. (3) Les étudiants boursiers ayant réussi leur examen représentent : 25:64 100 54:93 = 14:08% 100 de la population totale. Véri…cation : f12 = 40 284 100 = 14: 085% 14 3 3.1 Indépendance et liaison fonctionnelle Indépendance Dé…nition Le caractère x est indépendant du caractère y si les fréquences conditionnelles : nij fij = n:j ne dépendent pas de j, cela 8i variant de 1 à k. Application Si la réussite est indépendante de la bourse, alors : la proportion d’individus qui ne vient pas doit être la même chez les boursiers et les non boursiers, – ie le fait d’avoir une bourse ne modi…e pas la propension à se présenter aux examens (taux de présence) ; et : la proportion d’individus qui vient mais qui échoue doit être la même chez les boursiers et les non boursiers, – ie le fait d’avoir une bourse ne modi…e pas le taux d’échec (apparent) et : la proportion d’individus qui vient et qui réussit doit être la même chez les boursiers et les non boursiers, – ie le fait d’avoir une bourse ne modi…e pas le taux de réussite (apparent). En d’autres termes, si la réussite est indépendante de la bourse : le taux de présence, le taux d’échec (apparent), le taux de réussite (apparent), doivent être les mêmes chez les boursiers et les non boursiers. 15 Propriété Si le caractère x est indépendant du caractère y, les p distributions conditionnelles : n o fxj = f1j ; f2j ; : : : ; fkj pour j variant de 1 à p, parce qu’elles sont toutes égales entre elles, sont égales à la distribution marginale : fx = ff1: ; f2: ; : : : ; fk: g Preuve Par dé…nition, l’indépendance du caractère x par rapport au caractère y implique : 8 > f 1 = f12 = : : : = f1j = : : : = f1p > > 1 > > > > > > f21 = f22 = : : : = f2j = : : : = f2p > > > > > > < . .. > > f1 = f2 = : : : = fj = : : : = fp > > i i i i > > . > > . > . > > > > > > : 1 fk = fk2 = : : : = fkj = : : : = fkp On a ainsi : ni1 ni2 nij nip = = ::: = = ::: = n:1 n:2 n:j n:p 8 i = 1; : : : ; k. Par la suite . . . 16 Lemme Si : c a = b d alors : a c a+c = = b d b+d Preuve On a : a b = a+c b+d , a (b + d) = b (a + c) , ab + ad = ba + bc , ad = bc , a c = b d 17 Application du lemme : a c a c a+c = ) = = b d b d b+d Comme : ni2 nij nip ni1 = = ::: = = ::: = n:1 n:2 n:j n:p (par hypothèse), on a : ni1 n:1 = ni2 nij nip = ::: = = ::: = n:2 n:j n:p = ni1 + ni2 + : : : + nij + : : : + nip n:1 + n:2 + : : : + n:j + : : : + n:p = ni: n = fi: En conclusion : fi1 = fi2 = : : : = fij = : : : = fip = fi: 8i = 1; : : : ; k ou de façon compacte : fij = fi: 8j = 1; : : : ; p, 8i = 1; : : : ; k. 18 En résumé : Lorsque le caractère x est indépendant du caractère y, les p distributions conditionnelles : n o n ok fxj = f1j ; f2j ; : : : ; fkj = fij i=1 sont toutes égales à la distribution marginale : k fx = ff1: ; f2: ; : : : ; fk: g = ffi: gi=1 Exemple Voir les tableaux 8 et 9 pour lesquels on conclut très naturellement : “Le caractère x est indépendant du caractère y” car : Le fait de présenter la modalité y = yj ne modi…e pas la distribution du caractère x et cela est vrai pour toutes les valeurs possibles de y. 19 Question : L’indépendance de x à y entraîne-t-elle l’indépendance de y à x ? En d’autres termes : Si x est indépendant de y, y est-il indépendant de x ? La réponse (en statistique) est alors : Oui ! 20 Illustration Reprenant le tableau 8, on calcule : non pas la distribution du caractère x pour chaque valeur de y mais : la distribution du caractère y pour chaque valeur de x. Voir alors le tableau 10 et conclusion : Le caractère y, parce que sa distribution n’est pas conditionnée par les modalités du caractère x, ne dépend pas de x. 21 Preuve Si x est indépendant de y, on a : fij = fi: ; 8j = 1; : : : ; p Parallèlement : fij = nij nij n:j = = fij n n:j n f:j = nij nij ni: = = fji n ni: n fi: cela 8i = 1; : : : ; k, 8j = 1; : : : ; p. Par la suite : fij f:j = fji fi: soit encore compte tenu de l’indépendance : fi: f:j = fji fi: et après simpli…cation : f:j = fji toujours 8i = 1; : : : ; k, 8j = 1; : : : ; p. Conclusion : Si : fij = fi: ; 8i = 1; : : : ; k; 8j = 1; : : : ; p (ie si x est indépendant de y), alors : fji = f:j ; 8i = 1; : : : ; k; 8j = 1; : : : ; p (ie y est indépendant de x). 22 En résumé : L’indépendance statistique est une notion réciproque de sorte que : Les caractères x et y sont indépendants l’un de l’autre. Interprétation de la propriété d’indépendance Le fait de béné…cier d’une bourse ne modi…e pas la probabilité de réussir qui demeure alors égale à la probabilité moyenne. et de même : Le fait d’avoir réussi ne modi…e pas la probabilité que l’étudiant considéré soit un boursier. 23 Test d’indépendance Comme : fij = fi: ou de façon équivalente : fji = f:j en cas d’indépendance, on peut tester l’existence de l’indépendance en regardant si : fij = fi: f:j soit encore si : ni: nij = n n n:j n cela en toute cellule (i; j), i = 1; : : : ; k; j = 1; : : : ; p. 24 Exemple Reprenant le tableau 8 : y1 3 6 12 21 x1 x2 x3 y2 5 10 20 35 y3 2 4 8 14 y4 4 8 16 28 14 28 56 98 on a : fx = 14 28 56 ; ; 98 98 98 fy = 21 35 14 28 ; ; 98 98 98 98 1 7 = = 2 7 4 7 3 14 5 14 1 7 2 7 Le produit des fréquences marginales f1: , f2: et f3: par les fréquences marginales f:1 , f:2 ,f:3 et f:4 donne alors : 0 - B B B B B B B B B B B @ 3 14 - - - - - - 5 14 1 7 2 7 1 1 0 7 C B C B C B 2 C C B B 7 C C=B C B B 4 C C B C B 7 A @ 3 98 5 98 1 49 2 49 3 49 5 49 2 49 4 49 6 49 10 49 4 49 8 49 avec un tableau des fréquences fij qui véri…e quant-à-lui : 0 3 B 98 B B B 6 B B 98 B B @ 12 98 5 98 2 98 10 98 4 98 20 98 8 98 25 1 4 98 C C C 8 C C 98 C C C 16 A 98 1 C C C C C C C C C C A 3.2 Liaison fonctionnelle Dé…nition Le caractère x est lié fonctionnellement au caractère y s’il est observé, pour chaque modalité yj du caractère y, une et une seule modalité du caractère x. Formellement : Il existe dans chaque colonne une et une seule cellule en laquelle l’e¤ ectif nij est di¤ érent de 0. Exemple Voir tableau 11 ) “si l’on connaît y, on connaît x”. 26 Propriété Contrairement à l’indépendance, le fait que x soit lié fonctionnellement à y n’implique pas “y est lié fonctionnellement à x”. Exemple Cf tableau 11 : il y a 2 valeurs observées pour y, y1 et y3 , lorsque x = x1 , ie “si l’on connaît x, on ne connaît pas nécessairement y”. De plus : Propriété Si x est lié fonctionnellement à y, les p distributions conditionnelles du caractère x : fx1 = f11 ; : : : ; fi1 ; : : : ; fk1 = fi1 k i=1 fx2 = f12 ; : : : ; fi2 ; : : : ; fk2 = fi2 k i=1 fxp .. . k = ffip ; : : : ; fip ; : : : ; fkp g = ffip gi=1 sont dégénérées, ie elles prennent la valeur 1 (ou 100 si %) en un point et 0 sinon. Exemple Voir les tableaux 11 et 12. Remarque Attention ! Le fait que les p distributions conditionnelles : n o n ok fxj = f1j ; : : : ; fij ; : : : ; fkj = fij i=1 soient dégénérées n’implique pas que la distribution marginale : k fx = ff1: ; : : : ; fi: ; : : : ; fk: g = ffi: gi=1 soit dégénérée. 27 Remarque Le fait que x soit lié fonctionnellement à y n’implique pas “ y est lié fonctionnellement à x” . . . mais il ne l’interdit pas non plus. En d’autres termes, on peut avoir : x est lié fonctionnellement à y et : y est lié fonctionnellement à x. On parle alors de relation fonctionnelle réciproque. Dans un tel cas de …gure : (1) il correspond à chaque valeur de y une et une seule valeur de x en laquelle nij 6= 0 et : (2) il correspond à chaque valeur de x une et une seule valeur de y en laquelle nij 6= 0. de sorte que : (3) il …gure dans chaque ligne et dans chaque colonne un et un seul terme non nul. Exemple : voir tableau 13. Remarque Pour qu’une liaison fonctionnelle puisse être réciproque, il faut que le tableau statistique soit carré, c’est-à-dire qu’il contienne autant de lignes que de colonnes. 28 3.3 Conclusion En conclusion : On gardera à l’esprit que l’indépendance et la liaison fonctionnelle sont deux cas extrêmes que l’on rencontre rarement dans la pratique. En particulier : L’indépendance rend compte d’une information nulle. Dans ce cas de …gure en e¤et : Savoir que l’individu i0 présente la modalité yj ne fournit aucune information sur la valeur xi qu’il est susceptible de présenter. A l’inverse : La liaison fonctionnelle rend compte d’une information totale. Ainsi : Si x est liée fonctionnellement à y, connaître la modalité yj présentée par l’individu i0 permet de connaître la valeur xi qu’il présente. Par la suite, entre ces deux cas extrêmes : Il y a des situations intermédiaires où la connaissance de la modalité yj apporte une certaine information quant à la valeur xi que l’individu i0 est susceptible de présenter. Dans ce cas, on parle alors d’information partielle. 29 Exemple Voir tableaux 14 et 15. En session I, le taux de réussite (apparent) d’un étudiant en Eco I est de : 79 284 100 = 27:82% C/s : Il y a un peu moins de 30% de chances pour qu’un étudiant tiré au sort soit un étudiant qui passe en seconde année à l’issue de la première session. Après le tirage, on informe que ledit étudiant a eu son bac avec mention AB. C/s : La probabilité pour que cet étudiant soit un étudiant qui passe en seconde année à l’issue de la première session passe à : 18 51 100 = 35: 29% Par la suite : (1) si on assimile fréquences et probabilités et : (2) sous une hypothèse d’homogénéité entre générations (proches), alors : La connaissance de la valeur prise par la variable x, ici x = x2 = AB, permet d’a¢ ner la prévision que l’on peut faire quant-à la probabilité de réussir d’un étudiant. 30 4 4.1 Diagrammes x et y sont qualitatifs Exemple 1 Cf Tableau 16 et …gure 1 (tirés de Calot, pages 195 et 198). Indication de lecture : Sont représentées (1) la distribution marginale et (2) les 10 distributions conditionnelles du caractère “époque de construction ”. Les bases des rectangles sont proportionnelles aux fréquences des différentes CSP : bi = k fi: Comme : Aij = bi = kfi: hij fji on a : Aij = k ni: n = k nij n nij ni: = kfij et les aires des di¤érents rectangles sont bien proportionnels aux fréquences jointes fij . 31 Exemple 2 : représentation par secteurs avec un caractère dichotomique Cf Tableau 17 et …gure 2 (tirés de Calot, pages 197 et 200). Indication de lecture : Les rayons des demi-cercles sont proportionnels à p f1: et p f2: = 1 p f1: . et : Les angles au centre sont donnés par : 1 j = 180 fj1 2 j = 180 fj2 pour j = 1; : : : ; 4. de façon à ce que les aires des secteurs soient bien proportionnels aux fréquences fij . Par exemple : Sj1 = = = = 1 j r12 2 180 180 fj1 180 2 k2 2 = k0 fj1 2 k k 2 f1: = n1j n f1j 32 p f1: k2 2 2 n1j n1: n1: n 4.2 x est qualitatif, y est quantitatif Exemple : Cf Tableau 18 et …gures 3 et 4 (tirés de Calot, pp 201-202). 33 4.3 x et y sont quantitatifs Exemple 1 : x et y sont 2 variables discrètes Cf Tableau 19 et …gure 5 (tirés de Calot, pp 209-210) ; l’aire du cercle (ou dupcarré) est proportionnelle à fij (le rayon ou le côté est proportionnelle à fij ): Exemple 2 : x est une variable continue, y est une variable discrète Cf Tableau 20 et …gure 6 (tirés de Calot, pages 209 et 212) : On reporte en ordonnée la densité : dij = fij aj de façon à ce que : Aij = dij aj = fij L’aire total d’un histogramme Hj vaut : Hj = k X Aij = i=1 k X fij = f:j i=1 Exemple 3 : x et y sont 2 variables continues Cf Tableau 21 et …gure 7 (tirés de Calot, pages 213 et 214) : Le diagramme obtenu s’appelle un stéréogramme. La parallélépipède relatif à la classe (i; j) a pour hauteur : hij = fij ai aj avec ai l’amplitude de la classe i de x et aj l’amplitude de la classe j de y. 34 4.4 Autres représentations En conclusion, cf : (1) les nuages de points (voir chapitre 7), (2) la représentation des séries chronologiques avec : – les représentations simples – les représentations superposées – les représentations polaires (3) les cartogrammes, (4) les graphiques triangulaires. 35