Université Paris XII Val de Marne Licence 2 Topologie, Fonctions de

Universit´e Paris XII Val de Marne Licence 2
Topologie, Fonctions de Plusieurs Variables Ann´ee 2006-2007
R. Hadiji, S. Seuret
TD 1: Normes dans les espaces vectoriels norm´es.
Exercice 1
Montrer que chacune des applications suivantes est une norme sur l’espace vectoriel E
associ´e :
1. E=R2et N: (x1, x2)7→ sup(|x1|,|x2|)
2. E=R2et N: (x1, x2)7→ (x2
1+x2 2)1
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3. E=R2a > 0, b > 0etNa,b : (x1, x2)7→ (a2x2
1+b2x2 2)1
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4. E=Mn(R) et N: (mi,j)(1≤i≤n,1≤j≤n)7→ sup
1≤i≤n P
1≤j≤n|mi,j |!
5. E=C([0,1],R) et N:f7→
1
R
0|f(t)|dt
6. E=C([0,1],R) et N:f7→ sup
t∈[0,1] |f(t)|
7. E=C([0,1],R) et N:f7→ 1
R
0|f(t)|2dt1
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Exercice 2
On s’int´eresse `a l’espace Rn, pour n≥1.
1. Montrer que k.k1: (x1, x2, .., xn)7→ i=n
P
i=1 |xi|,k.k2: (x1, x2, .., xn)7→ i=n
P
i=1
x2
i1
2
,
k.k∞: (x1, x2, .., xn)7→ sup
1≤i≤n|xi|,
sont des normes sur Rn.
2. Cas n= 2:
Repr´esenter graphiquement dans le plan euclidien muni d’un rep`ere (O, i, j) les
boules ferm´ees de centre Oet de rayon 1 pour les normes k.k1,k.k2,k.k∞.
3. Cas nquelconque:
Montrer que les normes k.k1,k.k2,k.k∞sont ´equivalentes deux `a deux.
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Exercice 3
Soit l’espace vectoriel E=R[X] et P=a0+a1X+a2X2+... +apXpun ´el´ement de E.
On consid`ere kPk∞= sup
0≤k≤p|ak|
kPk1=
k=p
P
k=0 |ak|
kPk2=sk=p
P
k=0 |ak|2
1. Montrer que k.k∞,k.k1,k.k2sont des normes sur E.
2. ´ Etablir des in´egalit´es de comparaison entre k.k∞,k.k1,k.k2.
3. On consid`ere la suite de polynˆomes dans R[X],donn´ee par:
pn= 1 + X+1
nX2+... +1 nXn+2
´
Etudier la limite de kpn−(1 + X)k1et kpn−(1 + X)k∞. Montrer que pntend
vers 1 + Xau sens de la norme ∞mais pas au sens de la norme 1.
4. Montrer que les normes k.k∞,k.k1,k.k2ne sont pas ´equivalentes deux `a deux.
Exercice 4
E=R2. On consid`ere les applications N2(x, y) = sup
t∈[−π
2,π 2]|x·cos(t) + y·sin(t)|
et N∞(x, y) = sup
t∈[0,1] |xt + (1 −t)y|
1. Montrer que N2et N∞sont deux normes.
2. Identifier N2et N∞comme deux normes usuelles sur R2.
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Topologie, Fonctions de Plusieurs Variables Ann´ee 2006-2007
R. Hadiji, S. Seuret
TD 2: Topologie dans Rn: Ouverts, Ferm´es
Exercice 1
Soit (E, d) un espace m´etrique. Montrer que pour toute partie A, B de Eon a:
1. A=A⇔Aferm´e.
2. A=A
3. A⊂B⇒A⊂B
4. A∪B=A∪B
5. A∩B⊂A∩B. Trouver un cas o`u l’inclusion est stricte.
Exercice 2
Trouver un sous-ensemble Ade R2tel que A,A,◦ A,◦ A,◦ Asoient tous distincts.
Exercice 3
Indiquer si les ensembles suivants Dsont, pour les normes usuelles, ouverts, ferm´es, ni
ouverts ni ferm´es:
1. Dans R2avec D1et D2deux ouverts de Rdonn´es: D={(x, y)∈D1×D2}
2. Dans R3:D={(x, y, z)/x2+y2< z}
3. Dans Ravec (un)n∈Nsuite convergente vers l:D={l}∪{un, n ∈N∗}
4. Dans R2:D={(x, y)∈R2, x ∈QT[0,1], y ∈QT[0,1]}.
Exercice 4
1. On consid`ere, pour nun entier non nul, An= [ 1
n,1], Bn= [ 1 n+1 ,1 n], Cn= [ 1 n+1 ,1 n[,
Dn=] 1
n,1 n+1 10n[.
Que dire des ensembles ∞
S
n=1
An,∞
S
n=1
Bn,∞
S
n=2
Cnet ∞
S
n=2
Dn?
2. Soit Bnla boule ferm´ee de R2de centre ( 1
n,1 n) et de rayon Rn=r n. On note
A=∞
S
n=1
Bn. Quel sont les valeurs de rpour lesquelles Aest ferm´e?
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Exercice 5
1. Indiquer si A={(x, y)∈R2:x≥0, y ≥0, xy ≤1},B={(x, y)∈R2:xy = 1}
et C={(x, y)∈R2: 0 < x < 1, xy = 1}et sont ouverts, ferm´es, ni ouverts ni
ferm´es.
2. Supposons que Aet Bsont deux ouverts d’un espace vectoriel norm´e E. Qu’en
est-il de C={c∈E:∃(a, b)∈A×B:c=a+b}?
Exercice 6
Montrer qu’un espace vectoriel norm´e n’admet qu’un seul sous-espace vectoriel ouvert.
Exercice 7
Reprendre les ensembles de l’exercice 1 et d´eterminer leur int´erieur, leur adh´erence,leur
fronti`ere.
Exercice 8
Soit (E, d) un espace m´etrique complet. Une application f:E→Eest dite contrac-
tante s’il existe une constante k∈(0,1) v´erifiant
∀(x, y)∈E2, d(f(x), f(y)) ≤kd(x, y).
1. Montrer que fposs`ede un unique point fixe not´e y.
2. Soit aun point de E, on construit la suite (xn) par r´ecurrence de la facon suivante:
x0=aet xn+1 =f(xn). Montrer que si fest contractante, la suite (xn) converge
et que sa limite est y.
3. Dans le cas o`u fest une fonction d´erivable sur un intervalle Ide Ravec |f0(x)| ≤
K < 1, montrer qu’elle est contractante sur I.
Etudier par exemple un+1 =π
3√3cos(un).
Exercice 9 (plus dur)
On consid`ere f:R→Rune application injective et on d´efinit l’application d:R2→R+
par d(x, y) = |f(x)−f(y)|.
1. Montrer que dd´efinit une distance sur R.
2. Dans le cas o`u f(x) = arctan(x), montrer qu’il existe une suite de Cauchy dans
(R, d) qui est divergente dans Rmuni de la distance usuelle.
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Exercice 10 (plus dur) (Th´eor`eme des segments emboit´es)
Soit (Sn)n∈Nune suite de segments emboit´es non vides de [0,1], c’est-`a-dire que ∀n≥0,
Sn+1 ⊂Snet Sn6=∅.
Montrer que Tn∈NSnest non-vide.
Exercice 11
Montrer que le graphe Γ = {(x, y)∈R×R:y=f(x)}d’une fonction continue f:R→R
est ferm´e.
Exercice 12 (plus dur) (Th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass)
Montrer que toute partie infinie born´ee de Radmet un point d’accumulation.
(rappeler la d´efinition d’un point d’accumulation)
Exercice 13 (Th´eor`eme de Baire)
L’intersection d’une suite d’ouverts denses de [0,1] est encore dense dans [0,1].
Exercice 14
Dans R, la r´eunion d’une suite de ferm´es d’int´erieur vide est d’int´erieur vide.
Exercice 15 (plus dur)
Pour tout ensemble A⊂R, on note A0l’ensemble de ses points d’accumulation.
1. Montrer que A0est un ferm´e.
2. Trouver un ensemble Atel que A0={0}.
3. Trouver un ensemble Atel que A0(n)={0}.
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