Université Paris XII Val de Marne Licence 2 Topologie, Fonctions de

Université Paris XII Val de Marne
Topologie, Fonctions de Plusieurs Variables
Licence 2
Année 2006-2007
R. Hadiji, S. Seuret
TD 1: Normes dans les espaces vectoriels normés.
Exercice 1
Montrer que chacune des applications suivantes est une norme sur l’espace vectoriel E
associé :
1. E = R2 et N : (x1 , x2 ) 7→ sup(| x1 |, | x2 |)
1
2. E = R2 et N : (x1 , x2 ) 7→ (x21 + x22 ) 2
1
3. E = R2 a > 0, b > 0 et Na,b : (x1 , x2 ) 7→ (a2 x21 + b2 x22 ) 2
!
4. E = Mn (R) et N : (mi,j )(1≤i≤n,1≤j≤n) 7→ sup
1≤i≤n
5. E = C ([0, 1], R) et N : f 7→
R1
P
| mi,j |
1≤j≤n
| f (t) | dt
0
6. E = C ([0, 1], R) et N : f 7→ sup | f (t) |
t∈[0,1]
7. E = C ([0, 1], R) et N : f 7→
1
R
21
| f (t) |2 dt
0
Exercice 2
On s’intéresse à l’espace Rn , pour n ≥ 1.
1. Montrer que k . k1 : (x1 , x2 , .., xn ) 7→
i=n
P
i=1
| xi |, k . k2 : (x1 , x2 , .., xn ) 7→
i=n
P
i=1
x2i
21
,
k . k∞ : (x1 , x2 , .., xn ) 7→ sup | xi |,
sont des normes sur Rn .
1≤i≤n
2. Cas n = 2:
Représenter graphiquement dans le plan euclidien muni d’un repère (O, i, j) les
boules fermées de centre O et de rayon 1 pour les normes k . k1 , k . k2 , k . k∞ .
3. Cas n quelconque:
Montrer que les normes k . k1 , k . k2 , k . k∞ sont équivalentes deux à deux.
1
Exercice 3
Soit l’espace vectoriel E = R[X] et P = a0 + a1 X + a2 X 2 + ... + ap X p un élément de E.
On considère
k P k∞ =
sup | ak |
k P k1
k P k2
0≤k≤p
k=p
P
| ak |
sk=0
k=p
P
=
| ak |2
=
k=0
1. Montrer que k . k∞ , k . k1 , k . k2 sont des normes sur E.
2. Établir des inégalités de comparaison entre k . k∞ , k . k1 , k . k2 .
3. On considère la suite de polynômes dans R[X],donnée par:
pn = 1 + X +
1 2
1
X + ... + X n+2
n
n
Étudier la limite de k pn − (1 + X) k1 et k pn − (1 + X) k∞ . Montrer que pn tend
vers 1 + X au sens de la norme ∞ mais pas au sens de la norme 1.
4. Montrer que les normes k . k∞ , k . k1 , k . k2 ne sont pas équivalentes deux à deux.
Exercice 4
E = R2 . On considère les applications N2 (x, y) =
sup
| x · cos(t) + y · sin(t) |
t∈[− π2 , π2 ]
et N∞ (x, y) = sup | xt + (1 − t)y |
t∈[0,1]
1. Montrer que N2 et N∞ sont deux normes.
2. Identifier N2 et N∞ comme deux normes usuelles sur R2 .
2
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R. Hadiji, S. Seuret
TD 2: Topologie dans Rn : Ouverts, Fermés
Exercice 1
Soit (E, d) un espace métrique. Montrer que pour toute partie A, B de E on a:
1. A = A ⇔ A fermé.
2. A = A
3. A ⊂ B ⇒ A ⊂ B
4. A ∪ B = A ∪ B
5. A ∩ B ⊂ A ∩ B. Trouver un cas où l’inclusion est stricte.
Exercice 2
◦
◦
◦
Trouver un sous-ensemble A de R2 tel que A, A, A, A, A soient tous distincts.
Exercice 3
Indiquer si les ensembles suivants D sont, pour les normes usuelles, ouverts, fermés, ni
ouverts ni fermés:
1. Dans R2 avec D1 et D2 deux ouverts de R donnés: D = {(x, y) ∈ D1 × D2 }
2. Dans R3 : D = {(x, y, z)/x2 + y 2 < z}
3. Dans R avec (un )n∈N suite convergente vers l: D = {l} ∪ {un , n ∈ N∗ }
T
T
4. Dans R2 : D = {(x, y) ∈ R2 , x ∈ Q [0, 1], y ∈ Q [0, 1]}.
Exercice 4
1
1
1. On considère, pour n un entier non nul, An = [ n1 , 1], Bn = [ n+1
, n1 ], Cn = [ n+1
, n1 [,
1
Dn =] n1 , n1 + 10n
[.
∞
∞
∞
∞
S
S
S
S
Que dire des ensembles
An ,
Bn ,
Cn et
Dn ?
n=1
n=1
n=2
n=2
2. Soit Bn la boule fermée de R2 de centre ( n1 , n1 ) et de rayon Rn =
∞
S
A=
Bn . Quel sont les valeurs de r pour lesquelles A est fermé?
n=1
3
r
n.
On note
Exercice 5
1. Indiquer si A = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0, xy ≤ 1}, B = {(x, y) ∈ R2 : xy = 1}
et C = {(x, y) ∈ R2 : 0 < x < 1, xy = 1} et sont ouverts, fermés, ni ouverts ni
fermés.
2. Supposons que A et B sont deux ouverts d’un espace vectoriel normé E. Qu’en
est-il de C = {c ∈ E : ∃(a, b) ∈ A × B : c = a + b} ?
Exercice 6
Montrer qu’un espace vectoriel normé n’admet qu’un seul sous-espace vectoriel ouvert.
Exercice 7
Reprendre les ensembles de l’exercice 1 et déterminer leur intérieur, leur adhérence,leur
frontière.
Exercice 8
Soit (E, d) un espace métrique complet. Une application f : E → E est dite contractante s’il existe une constante k ∈ (0, 1) vérifiant
∀(x, y) ∈ E 2 ,
d(f (x), f (y)) ≤ kd(x, y).
1. Montrer que f possède un unique point fixe noté y.
2. Soit a un point de E, on construit la suite (xn ) par récurrence de la facon suivante:
x0 = a et xn+1 = f (xn ). Montrer que si f est contractante, la suite (xn ) converge
et que sa limite est y.
3. Dans le cas où f est une fonction dérivable sur un intervalle I de R avec |f 0 (x)| ≤
K < 1, montrer qu’elle est contractante sur I.
Etudier par exemple un+1 =
π
√
3 3
cos(un ).
Exercice 9 (plus dur)
On considère f : R → R une application injective et on définit l’application d : R2 → R+
par d(x, y) = |f (x) − f (y)|.
1. Montrer que d définit une distance sur R.
2. Dans le cas où f (x) = arctan(x), montrer qu’il existe une suite de Cauchy dans
(R, d) qui est divergente dans R muni de la distance usuelle.
4
Exercice 10 (plus dur) (Théorème des segments emboités)
Soit (Sn )n∈N une suite de segments emboités non vides de [0, 1], c’est-à-dire que ∀n ≥ 0,
Sn+1 ⊂ Sn et Sn T
6= ∅.
Montrer que n∈N Sn est non-vide.
Exercice 11
Montrer que le graphe Γ = {(x, y) ∈ R×R : y = f (x)} d’une fonction continue f : R → R
est fermé.
Exercice 12 (plus dur) (Théorème de Bolzano-Weierstrass)
Montrer que toute partie infinie bornée de R admet un point d’accumulation.
(rappeler la définition d’un point d’accumulation)
Exercice 13 (Théorème de Baire)
L’intersection d’une suite d’ouverts denses de [0, 1] est encore dense dans [0, 1].
Exercice 14
Dans R, la réunion d’une suite de fermés d’intérieur vide est d’intérieur vide.
Exercice 15 (plus dur)
Pour tout ensemble A ⊂ R, on note A0 l’ensemble de ses points d’accumulation.
1. Montrer que A0 est un fermé.
2. Trouver un ensemble A tel que A0 = {0}.
0
3. Trouver un ensemble A tel que A (n) = {0}.
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R. Hadiji, S. Seuret
TD 3: Compacité, Connexité et Continuité.
Exercice 1
Indiquer si les ensembles qui suivent sont compacts ou non:
1. Dans R: X1 = {n : n ≥ 1}.
2. Dans R: X2 = {(−1)n : n ≥ 1}, X3 =
3. Dans Rd : X4 =
T
n≥1
n
(−1)n
n ,n
o
≥1 .
B(0, 1 + n1 )
4. Dans R2 : X5 =]0, 1[×[3, 4]
5. Dans R2 : X6 = ([0, 1] × [0, 1])
S
B((2, 2), 12 )
6. Dans R2 : X7 = {(x, y) ∈ R2 : 2x2 + 6y 2 < 6}
7. Dans R2 : X8 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 3} (examen septembre 2000)
Exercice 2
Soient A et B deux sous-ensembles d’un espace vectoriel normé E.
1. On suppose que A et B sont compacts.
Montrer que A + B = {c ∈ E : ∃(a, b) ∈ A × B : c = a + b} est un ensemble
compact.
2. On suppose que A est fermé et B est compact.
Montrer que A + B est fermé.
Exercice 3
Soit f une application d’un e.v.n E dans un e.v.n F .
1. Montrer que f est continue ssi ∀A ⊂ E : f (A) ⊂ f (A).
2. Montrer que si f est continue et si D est une partie dense de E, alors f (D) est
dense dans f (E).
Exercice 4 Vrai ou faux :
f : (x, y) 7→ f (x, y). Pour étudier la limite de f (x, y) quand (x, y) tend vers (a, b), je fixe
x et je fais tendre y vers b puis j’étudie la limite quand x tend vers a avec y fixé.
Exercice 5
Trouver une fonction f : R2 → R2 telle que
- f (0, 0) = 0,
- quelle que soit la droite D passant par (0, 0), f|D est continue en 0,
- f n’est pas continue en (0, 0).
6
Exercice 6 Vrai ou faux :
1. Soit f : Rn → R.
La continuité de f en x0 ∈ Rn dépend de la norme choisie pour la démontrer.
2. Même question pour f : E → R en x0 ∈ E où E un espace vectoriel de dimension
infinie.
Exercice 7 (plus dur)
Soit F une partie compacte d’un espace vectoriel E muni d’une norme N . On considère
f : F → F telle que:
∀(x, y) ∈ F 2 avec x 6= y : N (f (x) − f (y)) < N (x − y)
Montrer qu’il existe x0 ∈ F tel que f (x0 ) = x0 .
(Indication: on pourra étudier l’application g : x 7→ N (f (x)−x) et considérer inf x∈F (g(x)).)
Exercice 8
Soit E = C([0; 2π], C) espace vectoriel des fonctions continues de [0, 2π] dans C muni de
la norme k f k= sup |f (t)|.
t∈[0,2π]
Montrer, en utilisant la suite fn (x) = exp(inx), que la boule fermée de rayon 1 de E
n’est pas compacte. Que peut-on en conclure ?
Exercice 9
Soit E un ensemble de Rn , pour n ≥ 1.
Montrer que (E est connexe) ssi (∀f : E → {0, 1} continue, f est constante).
Exercice 10
Soit f : R → R une application dérivable. Notons A = {(x, y) ∈ R2 /x < y}.
1. Montrer que A est une partie connexe de R2 .
2. Pour (x, y) ∈ A, posons g(x, y) =
f (y)−f (x)
.
y−x
3. Montrer que f 0 (R) est un intervalle.
7
Montrer que g(A) ⊂ f 0 (R) ⊂ g(A).
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R. Hadiji, S. Seuret
TD 4: Continuité dans Rn .
Exercice 1
Soit f : R → R et g : R → R des applications et h : R2 → R l’application définie par
h(x, y) = f (x) + g(y). Soit (a, b) ∈ R2 .
1. Montrer que si f est continue en a et si g est continue en b, alors h est continue en
(a, b).
2. On suppose que h est continue en (a, b). L’application f est-elle continue en a ?
L’application g est-elle continue en b ?
Exercice 2
Soit f : R2 → R telle que:


f (x, y) =

f (x, y) =
x4 y
x4 + y 6
0
si
(x, y) 6= (0, 0)
si
(x, y) = (0, 0)
Étudier la continuité de f sur R2 .
Exercice 3
Soit f l’application de R2 dans R définie par

p

|y|
|y|
f (x, y) =
exp(− 2 )
2
x
x

f (x, y) =
0
si
(x, y) 6= (0, 0)
si
(x, y) = (0, 0)
1. Soit t un réel, et gt la restriction de f à l’ensemble des couples (x, y) tel que y = tx.
Calculer la limite de gt au point (0, 0).
2. Soit t un réel, et h la restriction de f à l’ensemble des couples (x, y) tel que y = x2 .
Calculer la limite de h au point (0, 0).
3. Conclure.
Exercice 4
Étudier la continuité des applications suivantes:
1. Soit p un entier, f : R2 → R avec:



f (x, y) = (x + y) sin


f (x, y) =
1
p
p
x2 + y 2
0
8
!
si
(x, y) 6= (0, 0)
si
(x, y) = (0, 0)
2. f : R2 → R avec:


f (x, y) =

f (x, y) =
x3 + y 3
x2 + y 4
0
si
(x, y) 6= (0, 0)
si
(x, y) = (0, 0)
Exercice 5
1. Peut-on prolonger par continuité l’applications f définie sur l’ensemble des couples
(x, y) ∈ R2 tel que xy > 0 par
1
(1 − cos(xy)) 2
f (x, y) =
.
y
2. (plus dur) Peut-on prolonger par continuité au point ( π2 , 0) l’application f définie
par
cos3 (x)
f (x, y) =
.
cos2 (x) + y 2 sin2 (x)
Exercice 6
Soit f : R2 → R avec:


f (x, y)
=
(x2 + y 2 ) exp(−
 f (x, y) = 0
y2
)
x2
si
x 6= 0
si
x=0
1. Etudier la continuité de f sur R2 .
2. On pose A = {(x, y) ∈ R2 , f (x, y) ≤ 1}. Montrer que A est fermé.
3. (A faire plus tard) Montrer que A n’est pas compact.
4. Que peut-on dire de f sur l’ensemble D = {(x, y) ∈ R2 , x2 + y 2 ≤ 1}.
Admet-elle un maximum? un minimum? (On ne calculera pas les dérivées partielles
de f .
Exercice 7 (plus dur)
Déterminer l’ensemble de continuité de l’application f : R2 → R telle que:
f (x, y) = x4 si y > x2
f (x, y) = y 2 si y ≤ x2
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R. Hadiji, S. Seuret
TD 5: Fonctions de classe C 1 et dérivées partielles.
Exercice 1
Pour chaque fonction qui va suivre, calculer aux points où elles existent les dérivées
partielles et indiquer le domaine où la fonction est continue, de classe C 1 .
1. f1 : R2 → R avec:


f1 (x, y) =

f1 (x, y) =
x2 y
x2 + y 4
0
si
(x, y) 6= (0, 0)
si
(x, y) = (0, 0)
2. (plus dur) f2 : R2 → R avec:
∀(x, y) ∈ R2 f2 (x, y) = x2 | y |
3. f3 : R2 → R avec:
∀(x, y) ∈ R2 f3 (x, y) =| x − y |
4. f4 : R2 → R2 avec:

!

1
sin(x3 + y 3 )

2
2
f4 (x, y) =
(x + y ) sin
1 ,
2
2
(x2 + y 2 ) 2 (x + y )


f4 (x, y) =
(0, 0)
si
(x, y) 6= (0, 0)
si
(x, y) = (0, 0)
Exercice 2
Soit f : R2 → R de classe C 1 et soit g : R3 → R définie par:
∀(x, y, t) ∈ R3 , g(t, x, y) = f (tx, ty)
Montrer que g est de classe C 1 sur R3 et calculer
∂g
∂g
∂g
(t, x, y),
(7, 2, 3),
(0, 4, 1).
∂t
∂t
∂t
Exercice 3
1
Soit r : R3 → R définie par r(x, y, z) = (x2 + y 2 + z 2 ) 2 .
Calculer pour tout (x, y, z) 6= (0, 0, 0),
∂2r
∂2r
∂2r
+
+
.
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
Exercice 4
Posons f (x, y) = 0 si (x, y) = (0, 0) et f (x, y) =
∂2f
∂2f
Calculer
(0, 0) et
(0, 0).
∂x∂y
∂y∂x
10
xy 3
(x2 +y 2 )
si (x, y) 6= (0, 0).
Exercice 5
Soit C ⊂ R2 . On dit que C est un cône positif si
∀(x, y) ∈ C, ∀λ ∈ R?+ : λ.(x, y) = (λx, λy) ∈ C.
Soit α ∈ R et C un cône positif ouvert.
On dit qu’une fonction f : C → R est homogène de degré α si
∀λ > 0, ∀(x, y) ∈ C : f (λx, λy) = λα f (x, y)
1. Soit C un cône positif ouvert et f : C → R de classe C 1 .
Montrer que f est homogène de degré α si et seulement si
∀(x, y) : x
∂f
∂f
(x, y) + y (x, y) = αf (x, y).
∂x
∂y
∂
∂
(x2 + y 2 )α .
2. Calculer x
+y
∂x
∂y
Exercice 6
1. Soit F (x, y) = f (x + ay) + g(x − ay) avec a ∈ R et f, g de classe C 2 sur R.
Déterminer a2
2. Soit F (x, t) =
∂2F
∂2F
−
.
∂x2
∂y 2
e−
λ(x−a)2
t
√
t
. Comparer
∂F
∂2F
et
.
∂t
∂x2
Exercice 7 (plus dur)
On se propose de résoudre mathématiquement l’équation aux dérivées partielles sur R2 :
∂f
∂x = 0 (E1 )
1. Donner des exemples de fonctions qui sont solutions de classe C 1 de E1 .
2. On considère maintenant une solution f de classe C 1 de E1 et on fixe y ∈ R. On
définit la fonction g : R → R par g : x 7→ g(x) = f (x, y).
Montrer que g est dérivable et calculer sa dérivée.
3. A l’aide de la fonction g et de sa dérivée démontrer que f (x, y) = f (0, y) ∀x ∈ R.
En déduire que toute solution de E1 est de la forme f (x, y) = h(y) où h est une
fonction de classe C 1 .
4. Résoudre de même les équations
∂2f
∂2f
=
0
et
=0
∂x2
∂x∂y
Exercice 8
La fonction f défine sur R4 par f (x, y, z, t) =
11
x3 +y 3 −z 3 −t3
x2 +y 2 −z 2 −t2
a-elle une limite en (0, 0, 0, 0)?
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R. Hadiji, S. Seuret
TD 6: Différentiabilité
Exercice 1
x−a
Soit a ∈ R3 , on définit pour x ∈ R3 , x 6= 0, f (x) = ||x−a||
. Montrer que f est de classe
1
C et calculer sa différentielle Df . Même question pour g(x) = ln || x − a ||.
Exercice 2
Soit p un entier. On considère

 f (x, y) =

f (x, y) =
[sin(x + y)]p
p
x2 + y 2
0
si
(x, y) 6= (0, 0)
si
(x, y) = (0, 0)
a) Discuter selon les valeurs de p la continuité et différentiabilité de f .
b) Pour quelles valeurs de p la fonction f est elle de classe C 1 .
Exercice 3
Soit Ω un ouvert convexe de Rn (c’est à dire tel que ∀(x, y) ∈ Ω2 , ∀t ∈ [0, 1], tx+(1−t)y ∈
Ω). Soit f : Ω → R telle que
∀(a, b) ∈ Ω2 , |f (b) − f (a)| ≤k a − b k2 .
Montrer que f est différentiable sur Ω et calculer sa différentielle Df . En déduire que f
est constante sur Ω.
Exercice 4
1. Soit f : Rn → R une application différentiable en 0 telle que:
∀x ∈ Rn , (x 6= 0), ∀t ∈ R∗+ : f (tx) = tf (x)
Montrer que f est linéaire.
2. Soient (E, k . kE ), (F, k . kF ), (G, k . kG ) des e.v.n et φ : E × F → G une application
bilinéaire.
On suppose que φ est continue, c’est à dire il existe C > 0 telle que: k φ(x, y) kG ≤
C k x kE . k y kF pour (x, y) ∈ E × F .
Montrer que φ est différentiable sur E×F et calculer sa différentielle Dφ (on prendra
par exemple sur E × F comme norme k . k∞ : (x, y) 7→ sup(k x kE , k y kF ).
3. Application: Soit E un espace euclidien. Montrer la différentiabilité et calculer la
différentielle DΦ de l’application produit scalaire: Φ : E 2 → R telle que (x, y) 7→ x.y
4. Calculer la différentielle de la norme euclidienne issue de Φ.
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R. Hadiji, S. Seuret
TD 7: Points critiques et extrémas.
Exercice 1
1. Déterminer les extrema locaux de la fonction f1 définie sur R2 par
f1 (x, y) = (x + y)3 − y 2 − 3(x + y).
2. Déterminer les extrema locaux de la fonction f2 définie sur R2 par
f2 (x, y) = xy 2 (1 − x − 2y).
Exercice 2
Soit D = [−1, 1] × [−3, 1] ⊂ R2 et f : D 7→ R la fonction définie par
∀ (x, y) ∈ D, f (x, y) = (x2 + y 2 )2 − 2(x2 + y 2 ) + 3.
Déterminer les extrema locaux et globaux de f dans ce domaine D.
Exercice 3
Étudier les extrémas de f sur son ensemble de définition D et expliciter leurs types.
1. (x, y) → f1 (x, y) = 4xy − x4 − y 4 , avec D1 = R2 ,
2. (plus dur) (x, y) → f2 (x, y) = kxα .y β + x1 + y1 , où (α, β) ∈ R2 , k > 0 et D2 = (R∗+ )2 .
Exercice 4
Soit f : R2 → R une fonction continue telle que:
lim
k(x,y)k→∞
f (x, y) = 0 et que f (x0 , y0 ) > 0
en un point (x0 , y0 ) de R2 .
1. Soit K = {(x, y) : f (x, y) ≥ f (x0 , y0 )}. Montrer que K est compact. En déduire
que la fonction f atteint son supremum sur R2 .
2. Soit f (x, y) = (x2 −y 2 ) exp(−(x2 +y 2 )). Déterminer les points où Df = 0. Chercher
les extrémas. Sont-ils globaux ?
Exercice 5 (plus dur)
Soit f une application définie sur [0, 1]2 par f (x, y) = xy(1−x)(1−y)
si (x, y) 6= (1, 1) et
1−xy
f (1, 1) = 0. Montrer que f est continue sur [0, 1]2 et déterminer sup(x,y)∈[0,1]2 f (x, y).
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Université Paris XII Val de Marne
Topologie, Fonctions de Plusieurs Variables
Licence 2
Année 2006-2007
R. Hadiji, S. Seuret
TD 8: Intégrales de Riemann dépendant d’un paramètre
Exercice 0
1. Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses:
Z b
Z b
Z +∞
Z +∞
1)
f (t)dt < +∞ ⇒
|f (t)|dt < +∞
2)
f (t)dt < +∞ ⇒
|f (t)|dt < +∞
a
a
0
0
Z b
Z b
Z +∞
Z +∞
3)
|f (t)|dt < +∞ ⇒
f (t)dt < +∞
4)
|f (t)|dt < +∞ ⇒
f (t)dt < +∞
a
a
0
0
Z +∞
5) f ≥ 0 et
f (t)dt < +∞ ⇒ lim f (t) = 0
t→+∞
0
t
2. Considérer la fonction f : t ∈ R → f (t) = teie ∈ C. Montrer que
+∞ et pourtant limt→+∞ |f (t)| = +∞.
Exercice 1
Calculer pour p et q deux entiers positifs les intégrales
Z 1
Z
p
q
Ip,q =
t (1 − t) dt et Jp,q =
0
R +∞
0
f (t)dt <
1
tp (ln t)q dt.
0
Exercice 2
Calculer pour tout n ≥ 0 les intégrales
Z
Un =
π/2
(sin x)n dx et Vn =
0
Z
π/2
(cos x)n dx.
0
Exercice 3 (plus dur)
Soit f : R+ → R une fonction continue, et quatre réels strictement positifs (a, b, α, β).
Z b
Z β
f (βx) − f (αx)
f (bx) − f (ax)
1. Montrer que
dx =
dx.
x
x
a
α
2. En déduire
Z +∞ que si f admet une limite l lorsque x tend vers +∞, alors l’intégrale
f (bx) − f (ax)
I=
dx existe et calculer sa valeur.
x
0
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Exercice 4
Soit f : [a, b] → R une fonction (R peut être remplacé par n’importe quel espace
métrique). Soit F : R+ → R la fonction définie par
b
Z
f (t)eiλt dt.
F (λ) =
a
1. Supposons que f ∈ C 1 ([a, b]). Montrer que limλ→+∞ F (λ) = 0.
2. Supposons que f soit une fonction en escalier sur [a, b]. Montrer que limλ→+∞ F (λ) = 0.
3. En déduire que la limite est encore la même si f est une fonction réglée.(Théorème
de Riemann-Lebesgue).
Exercice 5
Soit f : [a, b] → R une fonction continue. Montrer que
lim un =
n→+∞
1
2
Z
b
b
Z
f (t) sin2 (nt)dt pour n ≥ 0.
f (t)dt, où un =
a
a
Exercice 6 (plus dur)
Soit f : [a, b] → R une fonction continue. Montrer que
lim vn =
n→+∞
2
π
Z
b
Z
a
b
f (t)| sin(nt)|dt pour n ≥ 0.
f (t)dt, où vn =
a
Exercice 7
Z
Calculer pour tout x > a (a > 1) l’intégrale
x
dt
.
α
a t(ln t)
Est-ce que cette intégrale converge quand x tend vers +∞? quand a tend vers 1? vers 0?
Exercice 8 (plus dur)
Z π b + cos x
dx pour 1 < a < b. (I = π ln
Calculer I =
ln
a + cos x
0
!
√
b + b2 − 1
√
).
a + a2 − 1
Exercice 9
Soient f et g deux fonctionsZ définies sur R. On définit le produit de convolution f ∗ g
+∞
entre f et g par f ∗ g(x) =
f (x − t)g(t)dt, pour tout x ∈ R tel que l’intégrale est
−∞
bien définie).
1. Supposons que g ∈ L1 (R). Montrer qu’alors f ∗ g est définie pour tout x ∈ R, et
que kf ∗ gk∞ ≤ kf k∞ kgk1 .
2. Supposons que f et g soient dans L2 (R). Montrer que f ∗ g est définie pour tout x.
3. Supposons f et g continues, et de plus f bornée, g ∈ L1 (R). Montrer que f ∗ g
est
R n une fonction continue sur R. (on pourra d’abord étudier les fonctions ϕn (x) =
−n f (x − t)g(t)dt, pour n ∈ N, et montrer qu’elles sont continues.)
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Université Paris XII Val de Marne
Topologie, Fonctions de Plusieurs Variables
Licence 2
Année 2006-2007
R. Hadiji, S. Seuret
TD 9: Intégrales généralisées
Exercice 0
Z
Rappeler les valeurs de α ∈ R pour lesquelles
0
1
dx
et
xα
+∞
Z
1
dx
sont convergentes.
xα
Exercice 1
Étudier la convergence et éventuellement les valeurs des intégrales suivantes:
Z
+∞
1)
−∞
dx
;
1 + x2
Z
1
2)
0
√
Z
dx
;
1 − x2
π/2
√
3)
0
1
Z
dx
;
cos x
4)
0
dx
.
ln x
Exercice 2
1. Montrer que la fonction x 7→
x 7→
1
2x
√1
x+ 1+x2
(définie sur R+ ) est équivalente à la fonction
quand x → +∞.
2. Pour quelles valeurs de α ∈ R l’intégrale Iα =
R +∞
0
√dx
(x+ 1+x2 )α
converge-t-elle?
3. Calculer, quand c’est possible, la valeur de Iα .
Exercice 3
Étudier les intégrales suivantes:
Z +∞
Z +∞
sin x
sin x
1)
dx;
2)
dx;
2
x
x
1
1
Z
3)
0
+∞
sin x
dx;
x
Z
4)
1
cos(1/x)dx.
0
Exercice 4
Étudier la convergence éventuelle des intégrales suivantes lorsque α ∈ R:
Z +∞ √
Z π
dx
x
1)
dx;
2)
α
α
(1 + x)
0
0 (1 − cos x)
Exercice 5
Étudier la convergence éventuelle des intégrales suivantes:
Z
1)
0
+∞
Z 1
Z π/2 p
dx
x3
√
√
;
2)
dx;
3)
tan(x)dx
x3 + x2
1 − x4
0
0
Z π/2
Z +∞
dx
1 − cos x
√
4)
dx.
;
5)
x2
1 − sin x
0
0
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Exercice 6
+∞
ln x
dx sont convergentes, et
1. Montrer que les intégrales
1 + x2
1
0
Z +∞
ln x
que leur somme
dx est nulle.
1 + x2
0
Z +∞
π
ln x
dx =
ln a.
2. En déduire que pour tout a > 0,
2
2
a +x
2a
0
Z
1
ln x
dx et
1 + x2
Z
Exercice 7 (plus dur)
x3
1+x
.
Soit f (x) = √
ln
1−x
1 − x2
1. Vérifier que f est paire.
2. Donner la limite quand x tend vers 1 de la fonction x 7→ (1 − x)3/4 f (x).
Z 1
f (x)dx est convergente.
3. Montrer que l’intégrale I =
−1
4. Donner une primitive de le fonction x 7→ √
5. Calculer I.
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x3
.
1 − x4
Université Paris XII Val de Marne
Topologie, Fonctions de Plusieurs Variables
Licence 2
Année 2006-2007
R. Hadiji, S. Seuret
TD 10: Intégrales généralisées dépendant d’un paramètre
Exercice 1
Z
Étudier les suites (un )n≥0 et (vn )n≥0 définies par un =
+∞
e−x xn dx et vn =
Z
0
0
Exercice 2 (plus dur)
Z
x
Soit f une fonction continue au voisinage de a ∈ R, et g(x) =
1
xn ln x
dx.
x2 − 1
f (t)
p
(t − a)(x − t)
Étudier l’ensemble de définition de g et sa limite quand x tend vers a.
a
dt.
Exercice 3
Z x
1
2
Soit Φ(x) = √
e−t /2 dt.
2π −∞
Z ∞
1
1
2
−x2 /2
1. Vérifier que, pour tout x > 0, √ e
=√
e−t /2 (1 + 1/t2 )dt..
x 2π
2π x
1
−x2 /2
.
En déduire, pour x > 0, 1 − Φ(x) ≤ √ e
x 2π
Z ∞
1
1
1
1
3
−x2 /2
−t2 /2
2. Prouver que √
−
e
=√
e
1 − 4 dt.
t
2π x x3
2π x
1
1
1
1
2
2
En déduire que, pour x > 0, √
− 3 e−x /2 ≤ 1 − Φ(x) ≤ √ e−x /2 .
2π x x
x 2π
1
2
3. Prouver que 1 − Φ(x) ∼ √ e−x /2 lorsque x tend vers +∞.
x 2π
Z +∞
sin t
Exercice 4 Le but de cet exercice est de calculer I =
dt.
t
0Z
Z +∞
n
sin t
sin t
Posons pour λ ≥ 0 F (λ) =
e−λt
dt, et Fn (λ) =
e−λt
dt pour n ≥ 1.
t
t
0
0
1. Rappeler pourquoi les intégrales I, F (λ) et Fn (λ) existent.
2. Montrer que chaque fonction Fn (n ≥ 1) est continue sur R+ , puis en fait est C 1
sur R+ (y compris en 0).
3. Posons, pour t ≥ 0, g(t) =
−e−λt
(λ sin t
λ2 +1
+ cos t). Calculer la dérivée de g sur R+ .
4. En intégrant par parties, montrer que la suite de fonctions (Fn )n∈N tend uniformément vers F sur R+ .
5. Montrer que F est C 1 sur R+ , mais pas en 0. En déduire qu’il existe une constante
C > 0 telle que pour tout λ ≥ 0, F (λ) = C − arctan(λ).
6. Calculer limλ→+∞ F (λ). En déduire que I = π2 .
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