DS6.dvi (DS6.ps) - classe de pcsi

P.C.S.I. 2
D.S. N o6 DE PHYSIQUE
Les problèmes sont indépendants, traitez les dans l’ordre de votre choix.
I. De la Terre à la lune : programme Apollo
Ce problème aborde quelques aspects du Programme Apollo, qui permit à l’Homme de faire son premier pas
sur la Lune le 21 juillet 1969. La première partie étudie le départ de la Terre, la seconde l’arrivée sur la
Lune.
La fusée lancée de Cap Canaveral en Floride, se met tout d’abord en orbite circulaire basse autour de la
Terre. Elle est ensuite placée sur une orbite elliptique de transfert pour rejoindre finalement une orbite
circulaire autour de la Lune. La durée d’une mission est typiquement d’une semaine.
1. Le décollage
L’étude se fait dans le référentiel géocentrique noté RG et supposé galiléen. Ce référentiel a pour origine
le centre de la Terre et ses axes dirigées selon trois étoiles fixes lointaines. Dans ce référentiel, la Terre,
assimilée à une sphère de rayon RT = 6380 km, est animée d’un mouvement de rotation uniforme autour de
l’axe Sud-Nord T z, à la vitesse angulaire Ω = 7, 29.10−5 rad.s−1 . On donne GMT = 4, 0.1014 m3 .s−2 .
Tz
B
Ω
λ
T
Tx
1.a. Décrire soigneusement la trajectoire d’un point B à la surface de la Terre, situé à la latitude
λ dans le référentiel géocentrique. En déduire que sa vitesse est VB = RT cos λΩ.
Application numérique : Calculer VB1 pour la base de lancement de Cap Canaveral aux États-unis (λ1 =
28, 50 ) et VB2 pour la base de Kourou en Guyane (λ1 = 5, 20 ).
Une fusée de masse mF décolle du point B, sans vitesse initiale par rapport à la Terre, pour atteindre une
orbite circulaire autour de la Terre avec la vitesse finale V0 par rapport à RG .
1.b.
V0 et mF .
Déterminer l’expression de la variation d’énergie cinétique ∆Ec de la fusée, en fonction de VB ,
∆Ec1 − ∆Ec2
, en choisissant la base de
∆Ec1
Kourou plutôt que celle de Cap Canaveral, avec V0 = 8 km/s. Commenter.
Calculer numériquement l’économie relative réalisée, définie par
1.c.
Quel(s) autre(s) avantage(s) présente la base de Kourou ?
2. Mouvement d’un satellite
Un satellite de masse mF est en orbite autour de la Terre à la distance r de son centre.
2.a. Donner en la démontrant, l’expression de l’énergie potentielle Ep0 associée, en la choisissant
nulle pour r− > ∞.
2.b.
Montrer que la trajectoire est plane. Quelle est sa nature ?
La trajectoire est maintenant considérée circulaire.
2.c.
mF et r.
Déterminer la vitesse V0 de la fusée, ainsi que son énergie cinétique Ec0 , en fonction de G, MT ,
T2
2.d. Déterminer le rapport 03 où T0 représente la période de révolution du satellite, en fonction
R
de G et MT . Quel est le nom de cette loi ?
1
AN : calculer V0 et T0 pour r voisin de RT (orbite basse).
−K
2.e.
Déterminer l’expression de l’énergie mécanique de la fusée sous la forme Em0 =
, en
2r
précisant la valeur de K.
2.f. Préciser, sans démonstration, comment les expressions de T 2 et de Em trouvées précédemment
se généralisent-elles pour une orbite elliptique?
3. Orbite de transfert
La fusée Saturn V est d’abord placée en orbite circulaire autour de la Terre, dans un plan contenant l’axe
Terre-Lune. Les moteurs du troisième étage sont alors allumés pendant une durée très courte: la vitesse de
la fusée passe quasi instantanément de la vitesse V0 à la vitesse V1 , de telle sorte que la nouvelle trajectoire
soit elliptique de grand axe 2a = dT L , où dT L représente la distance Terre-Lune.
T
L
orbite de
transfert
3.a. Exprimer l’énergie mécanique Em1 de la fusée lorsqu’elle suit cette nouvelle trajectoire. En
déduire l’expression de la vitesse V1 . Application numérique.
3.b.
Où est placée la Terre par rapport à cette ellipse ? A quel instant doit-on allumer les moteurs?
3.c.
Évaluer numériquement la durée t1 du transfert Terre-Lune en secondes puis en jours. On
donne dT L = 3, 8.108 m.
4. Orbite lunaire
Au voisinage de la Lune, de rayon RL et de masse mL , l’attraction de la Lune devient prépondérante
et l’attraction de la Terre devient négligeable. L’étude se fait désormais dans le référentiel lunocentrique,
supposé galiléen. Les paramètres du vol sont calculés pour qu’en cas de panne des moteurs, la fusée contourne
la Lune pour revenir sur la Terre. (Ce fut le cas lors de la mission Apollo XIII). A l’approche de la Lune,
les moteurs de la fusée sont rallumés, de façon à placer la fusée sur une orbite circulaire basse (r voisin de
RL ) autour de la Lune.
4.a.
Faut-il freiner ou accélérer ? Justifier qualitativement.
4.b. Déterminer numériquement V2 , vitesse associée à une orbite circulaire basse autour de la Lune,
avec GmL = 4, 9.1012 m3 .s−2 et RL = 1, 74.103 km.
II. Autour de la Terre
Les questions 1 et 2 de ce problème sont indépendantes.
La Terre est assimilée à une sphère homogène de rayon RT = 6, 4.106 m, de centre O et de masse MT . Soit
un satellite de masse m assimilé à un point matériel M et soumis uniquement à l’attraction terrestre. On
→
−
note G la constante de gravitation universelle, r la distance OM et U r le vecteur unitaire dirigé selon OM .
On donne GMT = 4, 0.1014 m3 .s−2 .
Oy
Ur
M
(satellite)
r
θ
O
(Terre)
Ox
On travaille dans le référentiel géocentrique supposé galiléen noté RG .
2
1. Nature de la trajectoire d’un satellite autour de la Terre
→
−
Rappeler l’expression de la force de gravitation F exercée par la Terre sur le satellite. En
→
−
d V (M )
−
→
déduire l’expression de
en fonction de G, MT , r et Ur .
dt RG
→
−
1.b. Montrer que le moment cinétique de M par rapport à O noté L 0 (M )RG , est constant. La
trajectoire de M est donc plane.
→
−
1.c.
En repérant la position du satellite par ses coordonnées polaires, montrer que L 0 (M )RG =
→
−
mr2 θ̇ k . Qu’appelle-t-on C, la constante des aires?
→ −
−
→
−→
−
→
→
−
On définit le vecteur R = V (M )ΛLO (M ) − GmMT Ur appelée vecteur de Runge-Lenz où V (M ) désigne la
→
−
vitesse de M et L 0 (M ) son moment cinétique par rapport à O dans RG .
→
−
−
→
dR
dUr
−
→
→
−
1.d. Montrer que
= 0 dans RG (rappel :
= θ̇Uθ ). Conclure.
dt
dt
1.e. Montrer que le vecteur de Runge Lenz est contenu dans le plan de l’orbite.
→
−
→
−
−
→
→
− −
→
1.f. On note R la norme de R et β l’angle entre R et U r. En déduire l’expression de R .Ur en
fonction de R et β.
1.a.
→−
−
→ mC 2
− GMT m.
Montrer que R .Ur =
r
1.h. Déduire des deux questions précédentes que la trajectoire du satellite peut se mettre sous la
p
forme r =
. Comment nomme-t-on p et e? Exprimer p et e en fonction de R, G, MT et C.
1 + e cos β
1.i. Rappeler les différentes trajectoires possibles suivant les valeurs de e.
1.g.
2. Collision d’un astéroide avec la Terre
On travaille dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. Le bolide (soit l’astéroide), assimilé à un point
matériel possède une masse mb très négligeable devant celle de la Terre. Le bolide, depuis une région très
−
→
→
−
éloignée de la Terre, arrive avec une vitesse V0 = V0 i et sa trajectoire est portée par une droite située à
une distance b du centre de la Terre. Le système Terre + bolide est considéré comme isolé.
Oy
V0
H
M0
A
b
j
O
2.a.
i
Ox
Montrer que l’énergie mécanique du bolide est constante.
Rappeler l’expression de l’énergie mécanique Em du bolide en un point quelconque de sa trajectoire en
fonction de sa vitesse V , de sa distance r au centre de la Terre, de sa masse mb , de la masse de la Terre MT
et de la constante gravitationnelle G. Exprimer l’énergie mécanique en M0 et déduire de son signe la nature
de la trajectoire du bolide dans le champ gravitationnel de la Terre.
On note A le point de la trajectoire le plus proche de la Terre. dmin = OA représente donc la distance
minimale entre le centre de la Terre et le bolide.
−−−→ −−→ −−−→
2.b. Exprimer ce moment cinétique en A et en M0 (pour M0 penser à utiliser OM0 = OH + HM0 ).
V0 b
Déduire de la conservation du moment cinétique que VA =
.
dmin
2.c. Exprimer l’énergie mécanique du bolide en A et en M0 . En déduire que dmin vérifie l’équation
2GMT
2
dmin +
dmin − b2 = 0. Exprimer dmin en fonction de G, MT , b etV0 .
V02
2.d. Pour que le bolide entre en collision avec la Terre, montrer que le paramètre d’impact b doit
être inférieur à une valeur maximale, notée bmax , que l’on exprimera en fonction de G, MT , RT et V0 .
2.e.
En cas de collision, on note I le point d’impact. Exprimer l’énergie mécanique en I et l’énergie
3
mécanique en M0 . En déduire que la vitesse Vi au point d’impact est de la forme Vi =
Vl en fonction de G, MT et RT . Faire l’application numérique de Vl .
q
V02 + Vl2 . Exprimer
2.f. Soit une fusée qui décolle depuis la Terre. Quelle énergie mécanique minimale faut-il lui communiquer pour qu’elle échappe à l’attraction terrestre? en déduire la vitesse minimale V de lancement pour
réaliser cette opération. Comparer V et Vl .
III. Molécules diatomiques
Une molécule diatomique peut être assimilée à un système mécanique constitué de deux points matériels M1
et M2 de masses respectives m1 et m2 situés dans un référentiel R galiléen. Ces deux points matériels sont
−−−−→
soumis à des forces d’interaction dérivant d’une énergie potentielle Ep (r), où r est la norme de M1 M2 .
dEp −
→
−
→
−
→
−
→
Ur où Ur est le vecteur unitaire dirigé
La force F1 créée par M2 et s’exerçant sur M1 s’écrit donc F1 = +
dr
−−−−→
−
→
de M1 vers M2 (on a donc M1 M2 = rUr ).
On considère le système (M1 , M2 ) isolé. On note G son barycentre.
Oz
M2
r
Ur
M1
O
Oy
Ox
1. Appliquer le théorème du centre de masse au système (M1 , M2 ). En déduire la nature du mouvement
de G dans R. Expliquer la méthode pour déterminer la vitesse de G dans R.
−
→
2. Donner l’expression de la force F2 créée par M1 et s’exerçant sur M2 .
3. Appliquer la relation fondamentale de la dynamique aux points matériels M1 et M2 dans R. En combidEp
, exprimer µ en
nant ces deux relations, montrer que r vérifie l’équation différentielle suivante : µr̈ = −
dr
fonction de m1 et m2 .
4. Exemple : La molécule CO où M1 et M2 désignent respectivement C et O.
L’énergie potentielle d’interaction de la molécule CO est représentée ci-dessous. On étudie uniquement les
mouvements du système lorsque r reste proche de re , valeur pour laquelle Ep (r) est minimale et est égale à
−Ep0 .
Ep
re
r
-Ep0
A partir d’un développement limité au deuxième ordre de Ep (r) autour du point (re , −Ep0 ), on montre que:
Ep (r) = Ep (r = re ) + (r − re ).
dEp
k
d2 Ep
(r = re ) + (r − re )2 où k =
(r = re )
dr
2
dr2
Données : M (C) = 12 g/mol (masse molaire de C), M (O) = 16 g/mol (masse molaire de O), Na =
6.1023 mol−1 (constante d’Avogadro) et re = 1, 13.10−10 SI.
4
4.a.
Calculer m1 et m2 .
4.b. Simplifier l’expression de l’énergie potentielle et donner les unités de k et re . Préciser le signe
de k en justifiant votre réponse.
−
→ −
→
4.c. A partir de l’expression précédente de Ep (r), déterminer les expressions des forces F1 et F2 en
−
→
fonction de r, k, re et Ur . Représenter le système et les forces d’interaction dans les deux cas : r < re et
r > re . A quoi vous fait penser un tel système? En déduire ce que représentent k et re pour la molécule
diatomique étudiée.
4.d. Montrer que l’équation différentielle vérifiée par r est de la forme r̈ + ω02 (r − re ) = 0. Exprimer
ω0 en fonction de k, m1 et m2 . Quel nom porte ω0 ?
4.e. La fréquence propre mesurée pour les molécules de CO est f0 = 6, 42.1013 Hz. En déduire la
valeur numérique de la constante k.
5