DS6.dvi (DS6.ps) - classe de pcsi

P.C.S.I. 2
D.S. No6 DE PHYSIQUE
Les probl`emes sont ind´ependants, traitez les dans l’ordre de votre choix.
I. De la Terre `a la lune : programme Apollo
Ce probl`eme aborde quelques aspects du Programme Apollo, qui permit `a l’Homme de faire son premier pas
sur la Lune le 21 juillet 1969. La premi`ere partie ´etudie le d´epart de la Terre, la seconde l’arriv´ee sur la
Lune.
La fus´ee lanc´ee de Cap Canaveral en Floride, se met tout d’abord en orbite circulaire basse autour de la
Terre. Elle est ensuite plac´ee sur une orbite elliptique de transfert pour rejoindre finalement une orbite
circulaire autour de la Lune. La dur´ee d’une mission est typiquement d’une semaine.
1. Le d´ecollage
L’´etude se fait dans le r´ef´erentiel g´eocentrique not´e RGet suppos´e galil´een. Ce r´ef´erentiel a pour origine
le centre de la Terre et ses axes dirig´ees selon trois ´etoiles fixes lointaines. Dans ce r´ef´erentiel, la Terre,
assimil´ee `a une sph`ere de rayon RT= 6380 km, est anim´ee d’un mouvement de rotation uniforme autour de
l’axe Sud-Nord T z, `a la vitesse angulaire Ω = 7,29.10−5rad.s−1. On donne GMT= 4,0.1014 m3.s−2.
Tz
Tx
B
T
λ
Ω
1.a. D´ecrire soigneusement la trajectoire d’un point B`a la surface de la Terre, situ´e `a la latitude
λdans le r´ef´erentiel g´eocentrique. En d´eduire que sa vitesse est VB=RTcos λΩ.
Application num´erique : Calculer VB1pour la base de lancement de Cap Canaveral aux ´ Etats-unis (λ1=
28,50) et VB2pour la base de Kourou en Guyane (λ1= 5,20).
Une fus´ee de masse mFd´ecolle du point B, sans vitesse initiale par rapport `a la Terre, pour atteindre une
orbite circulaire autour de la Terre avec la vitesse finale V0par rapport `a RG.
1.b. D´eterminer l’expression de la variation d’´energie cin´etique ∆Ecde la fus´ee, en fonction de VB,
V0et mF.
Calculer num´eriquement l’´economie relative r´ealis´ee, d´efinie par ∆Ec1−∆Ec2
∆Ec1
, en choisissant la base de
Kourou plutˆot que celle de Cap Canaveral, avec V0= 8 km/s. Commenter.
1.c. Quel(s) autre(s) avantage(s) pr´esente la base de Kourou ?
2. Mouvement d’un satellite
Un satellite de masse mFest en orbite autour de la Terre `a la distance rde son centre.
2.a. Donner en la d´emontrant, l’expression de l’´energie potentielle Ep0associ´ee, en la choisissant
nulle pour r−>∞.
2.b. Montrer que la trajectoire est plane. Quelle est sa nature ?
La trajectoire est maintenant consid´er´ee circulaire.
2.c. D´eterminer la vitesse V0de la fus´ee, ainsi que son ´energie cin´etique Ec0, en fonction de G,MT,
mFet r.
2.d. D´eterminer le rapport T2
0
R3o`u T0repr´esente la p´eriode de r´evolution du satellite, en fonction
de Get MT. Quel est le nom de cette loi ?
1

AN : calculer V0et T0pour rvoisin de RT(orbite basse).
2.e. D´eterminer l’expression de l’´energie m´ecanique de la fus´ee sous la forme Em0=−K
2r, en
pr´ecisant la valeur de K.
2.f. Pr´eciser, sans d´emonstration, comment les expressions de T2et de Emtrouv´ees pr´ec´edemment
se g´en´eralisent-elles pour une orbite elliptique?
3. Orbite de transfert
La fus´ee Saturn V est d’abord plac´ee en orbite circulaire autour de la Terre, dans un plan contenant l’axe
Terre-Lune. Les moteurs du troisi`eme ´etage sont alors allum´es pendant une dur´ee tr`es courte: la vitesse de
la fus´ee passe quasi instantan´ement de la vitesse V0`a la vitesse V1, de telle sorte que la nouvelle trajectoire
soit elliptique de grand axe 2a=dT L, o`u dT L repr´esente la distance Terre-Lune.
T L
orbite de
transfert
3.a. Exprimer l’´energie m´ecanique Em1de la fus´ee lorsqu’elle suit cette nouvelle trajectoire. En
d´eduire l’expression de la vitesse V1. Application num´erique.
3.b. O`u est plac´ee la Terre par rapport `a cette ellipse ? A quel instant doit-on allumer les moteurs?
3.c. ´ Evaluer num´eriquement la dur´ee t1du transfert Terre-Lune en secondes puis en jours. On
donne dT L = 3,8.108m.
4. Orbite lunaire
Au voisinage de la Lune, de rayon RLet de masse mL, l’attraction de la Lune devient pr´epond´erante
et l’attraction de la Terre devient n´egligeable. L’´etude se fait d´esormais dans le r´ef´erentiel lunocentrique,
suppos´e galil´een. Les param`etres du vol sont calcul´es pour qu’en cas de panne des moteurs, la fus´ee contourne
la Lune pour revenir sur la Terre. (Ce fut le cas lors de la mission Apollo XIII). A l’approche de la Lune,
les moteurs de la fus´ee sont rallum´es, de fa¸con `a placer la fus´ee sur une orbite circulaire basse (rvoisin de
RL) autour de la Lune.
4.a. Faut-il freiner ou acc´el´erer ? Justifier qualitativement.
4.b. D´eterminer num´eriquement V2, vitesse associ´ee `a une orbite circulaire basse autour de la Lune,
avec GmL= 4,9.1012 m3.s−2et RL= 1,74.103km.
II. Autour de la Terre
Les questions 1 et 2 de ce probl`eme sont ind´ependantes.
La Terre est assimil´ee `a une sph`ere homog`ene de rayon RT= 6,4.106m, de centre Oet de masse MT. Soit
un satellite de masse massimil´e `a un point mat´eriel Met soumis uniquement `a l’attraction terrestre. On
note Gla constante de gravitation universelle, rla distance OM et −→ Urle vecteur unitaire dirig´e selon OM.
On donne GMT= 4,0.1014 m3.s−2.
Oy
Ox
O
M
Ur
r
θ
(Terre)
(satellite)
On travaille dans le r´ef´erentiel g´eocentrique suppos´e galil´een not´e RG.
2

1. Nature de la trajectoire d’un satellite autour de la Terre
1.a. Rappeler l’expression de la force de gravitation −→ Fexerc´ee par la Terre sur le satellite. En
d´eduire l’expression de d−→
V(M)
dt RG
en fonction de G,MT,ret −→ Ur.
1.b. Montrer que le moment cin´etique de Mpar rapport `a Onot´e −→ L0(M)RG, est constant. La
trajectoire de Mest donc plane.
1.c. En rep´erant la position du satellite par ses coordonn´ees polaires, montrer que −→ L0(M)RG=
mr2˙ θ−→ k. Qu’appelle-t-on C, la constante des aires?
On d´efinit le vecteur −→ R=−→ V(M)Λ−→ LO(M)− GmMT
−→
Urappel´ee vecteur de Runge-Lenz o`u −→ V(M) d´esigne la
vitesse de Met −→ L0(M) son moment cin´etique par rapport `a Odans RG.
1.d. Montrer que d−→
R
dt =−→
0 dans RG(rappel : d−→
Ur
dt =˙
θ−→ Uθ). Conclure.
1.e. Montrer que le vecteur de Runge Lenz est contenu dans le plan de l’orbite.
1.f. On note Rla norme de −→ Ret βl’angle entre −→ Ret −→ Ur. En d´eduire l’expression de −→ R.−→ Uren
fonction de Ret β.
1.g. Montrer que −→ R.−→ Ur=mC2
r− GMTm.
1.h. D´eduire des deux questions pr´ec´edentes que la trajectoire du satellite peut se mettre sous la
forme r=p
1 + ecos β. Comment nomme-t-on pet e? Exprimer pet een fonction de R,G,MTet C.
1.i. Rappeler les diff´erentes trajectoires possibles suivant les valeurs de e.
2. Collision d’un ast´eroide avec la Terre
On travaille dans le r´ef´erentiel g´eocentrique suppos´e galil´een. Le bolide (soit l’ast´eroide), assimil´e `a un point
mat´eriel poss`ede une masse mbtr`es n´egligeable devant celle de la Terre. Le bolide, depuis une r´egion tr`es
´eloign´ee de la Terre, arrive avec une vitesse −→ V0=V0
−→
iet sa trajectoire est port´ee par une droite situ´ee `a
une distance bdu centre de la Terre. Le syst`eme Terre + bolide est consid´er´e comme isol´e.
Oy
Ox
Oi
j
V0
M0
A
H
b
2.a. Montrer que l’´energie m´ecanique du bolide est constante.
Rappeler l’expression de l’´energie m´ecanique Emdu bolide en un point quelconque de sa trajectoire en
fonction de sa vitesse V, de sa distance rau centre de la Terre, de sa masse mb, de la masse de la Terre MT
et de la constante gravitationnelle G. Exprimer l’´energie m´ecanique en M0et d´eduire de son signe la nature
de la trajectoire du bolide dans le champ gravitationnel de la Terre.
On note A le point de la trajectoire le plus proche de la Terre. dmin =OA repr´esente donc la distance
minimale entre le centre de la Terre et le bolide.
2.b. Exprimer ce moment cin´etique en Aet en M0(pour M0penser `a utiliser −−−→ OM0=−−→ OH +−−−→ HM0).
D´eduire de la conservation du moment cin´etique que VA=V0b
dmin
.
2.c. Exprimer l’´energie m´ecanique du bolide en Aet en M0. En d´eduire que dmin v´erifie l’´equation
d2
min +2GMT
V2
0
dmin −b2= 0. Exprimer dmin en fonction de G,MT,betV0.
2.d. Pour que le bolide entre en collision avec la Terre, montrer que le param`etre d’impact bdoit
ˆetre inf´erieur `a une valeur maximale, not´ee bmax, que l’on exprimera en fonction de G,MT,RTet V0.
2.e. En cas de collision, on note Ile point d’impact. Exprimer l’´energie m´ecanique en Iet l’´energie
3

m´ecanique en M0. En d´eduire que la vitesse Viau point d’impact est de la forme Vi=qV2
0+V2
l. Exprimer
Vlen fonction de G,MTet RT. Faire l’application num´erique de Vl.
2.f. Soit une fus´ee qui d´ecolle depuis la Terre. Quelle ´energie m´ecanique minimale faut-il lui com-
muniquer pour qu’elle ´echappe `a l’attraction terrestre? en d´eduire la vitesse minimale Vde lancement pour
r´ealiser cette op´eration. Comparer Vet Vl.
III. Mol´ecules diatomiques
Une mol´ecule diatomique peut ˆetre assimil´ee `a un syst`eme m´ecanique constitu´e de deux points mat´eriels M1
et M2de masses respectives m1et m2situ´es dans un r´ef´erentiel Rgalil´een. Ces deux points mat´eriels sont
soumis `a des forces d’interaction d´erivant d’une ´energie potentielle Ep(r), o`u rest la norme de −−−−→ M1M2.
La force −→ F1cr´e´ee par M2et s’exer¸cant sur M1s’´ecrit donc −→ F1= + dEp
dr
−→
Uro`u −→ Urest le vecteur unitaire dirig´e
de M1vers M2(on a donc −−−−→ M1M2=r−→ Ur).
On consid`ere le syst`eme (M1,M2) isol´e. On note Gson barycentre.
r Ur
M2
M1
Oz
OyO
Ox
1. Appliquer le th´eor`eme du centre de masse au syst`eme (M1,M2). En d´eduire la nature du mouvement
de Gdans R. Expliquer la m´ethode pour d´eterminer la vitesse de Gdans R.
2. Donner l’expression de la force −→ F2cr´e´ee par M1et s’exer¸cant sur M2.
3. Appliquer la relation fondamentale de la dynamique aux points mat´eriels M1et M2dans R. En combi-
nant ces deux relations, montrer que rv´erifie l’´equation diff´erentielle suivante : µ¨r=−dEp
dr , exprimer µen
fonction de m1et m2.
4. Exemple : La mol´ecule CO o`u M1et M2d´esignent respectivement Cet O.
L’´energie potentielle d’interaction de la mol´ecule CO est repr´esent´ee ci-dessous. On ´etudie uniquement les
mouvements du syst`eme lorsque rreste proche de re, valeur pour laquelle Ep(r) est minimale et est ´egale `a
−Ep0.
Ep
r
re
-Ep0
A partir d’un d´eveloppement limit´e au deuxi`eme ordre de Ep(r) autour du point (re,−Ep0), on montre que:
Ep(r) = Ep(r=re) + (r−re).dEp
dr (r=re) + k 2(r−re)2o`u k=d2Ep dr2(r=re)
Donn´ees : M(C) = 12 g/mol (masse molaire de C), M(O) = 16 g/mol (masse molaire de O), Na=
6.1023 mol−1(constante d’Avogadro) et re= 1,13.10−10 SI.
4

4.a. Calculer m1et m2.
4.b. Simplifier l’expression de l’´energie potentielle et donner les unit´es de ket re. Pr´eciser le signe
de ken justifiant votre r´eponse.
4.c. A partir de l’expression pr´ec´edente de Ep(r), d´eterminer les expressions des forces −→ F1et −→ F2en
fonction de r,k,reet −→ Ur. Repr´esenter le syst`eme et les forces d’interaction dans les deux cas : r < reet
r > re. A quoi vous fait penser un tel syst`eme? En d´eduire ce que repr´esentent ket repour la mol´ecule
diatomique ´etudi´ee.
4.d. Montrer que l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee par rest de la forme ¨r+ω2
0(r−re) = 0. Exprimer
ω0en fonction de k,m1et m2. Quel nom porte ω0?
4.e. La fr´equence propre mesur´ee pour les mol´ecules de CO est f0= 6,42.1013 Hz. En d´eduire la
valeur num´erique de la constante k.
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