Exercice 2 : Orbite géostationnaire

Universit´e Cadi Ayyad Ann´ee Universitaire 2014/2015
Facult´e des Sciences
Semlalia-Marrakech
D´epartement de Physique
Module de M´ecanique du Point Mat´eriel
S´erie N◦4
Fili`eres SMP/SMC/SMA
Exercice 1 : Th´eor`eme de l’´energie m´ecanique
Soit Mun v´ehicule que l’on consid`ere, comme un point mat´eriel, situ´e `a l’int´erieur de la Terre `a une distance
rde son centre. Msubit l’attraction gravitationnelle de la masse de la sph`ere de rayon rconcentr´ee en O.
On consid`ere que la forme de la Terre est sph´erique et que sa masse volumique est constante. On note le
rayon de la Terre par RT.g0est l’acc´el´eration de la p´esanteur `a la surface de la Terre.
1. Montrer que l’attraction gravitationnelle peut se mettre sous la
forme
~
F=−mg0
r
RT
~er.
o`u ~erest le vecteur radial de la base sph´erique. En d´eduire l’´ener-
gie potentielle Epdont d´erive ~ F. On prend Ep(r= 0) = 0.
Soit un tunnel rectiligne AB ne traversant pas Oet muni de
l’axe HX, voir figure ci-contre. On note OH =d. Un v´ehicule
assimil´e `a un point mat´eriel de masse mglisse sans frottement
dans le tunnel. Il part du point Ade la surface terrestre sans vi-
tesse intiale. On rep`ere la position du v´ehicule dans le tunnel par
−−→
OM =−−→ OH +−−→ HM =d~ k0+~x.
X
A B
O
HM
d
r
R
2. Calculer la vitesse du v´ehicule. En d´eduire son ´energie cin´etique.
3. Calculer l’´energie m´ecanique Emet montrer qu’elle est constante. Quelle est sa valeur ?
4. Calculer la vitesse maximale du v´ehicule ?
5. En utilisant le th´eor`eme de l’´energie m´ecanique, ´etablir l’´equation diff´erentielle. R´esoudre l’´equation
et montrer que l’´equation horaire est donn´ee par
x(t) = qR2
T−d2cossω2+g0
RTt.
Mouvement dans un champ de force centrale
Exercice 2 : Orbite g´eostationnaire
On rappelle qu’une orbite g´eostationnaire est celle d’un satellite restant toujours `a la verticale d’un
mˆeme point du globe terrestre.
On note par Sle satellite que l’on consid`ere comme un point mat´eriel. La p´eriode de rotation de la Terre
est T= 86164s, son rayon RT≃6.4×103km et sa masse MT≃6×1024 kg. La constante gravitationnelle
est G≃6.7×10−11S.I..
1. Calculer la vitesse angulaire Ωgd’un satellite sur l’orbite g´eostationnaire. Quel est le r´ef´erentiel
d’´etude Rg? Est-il galil´een ?

2. On se propose d’´etablir les expressions du rayon de l’orbite g´eostationnaire Rgainsi que son altitude
hg.
a) Montrer que le mouvement du satellite est plan. Etablir l’expression de l’acc´el´eration du satellite
~γ(S/Rg). En utilisant le PFD, d´eduire l’expression de Rgainsi que celle de hg. Faire leurs appli-
cations num´eriques.
b) En d´eduire la valeur de la vitesse vg=k~vg(S/R)kdu satellite sur l’orbite g´eostationnaire. Faire
son application num´erique.
c) Montrer que cette orbite est forc´ement dans le plan de l’´equateur.
Exercice 3 : orbite elliptique
Avant de placer un satellite sur une orbite g´eostationnaire, le lanceur des satellites, comme Ariane pour
l’exemple, l’injecte `a la p´erig´ee d’une orbite elliptique, dite orbite de transfert, `a une altitude h0= 200km
de la base de lancement et avec une vitesse, que l’on note v0, telle que l’apog´ee Ade l’orbite de transfert soit
sur l’orbite g´eostationnaire. Au moment o`u le satellite se trouve en A, on actionne des moteurs qui r´eajuste
sa vitesse et le transf`erent sur l’orbite g´eostationnaire.
Les notations et les r´esultats de l’exercice pr´ec´edents concernant une orbite g´eostationnaire sont utilis´es
sans d´emonstration.
1. D´eterminer les param`etres de l’ellipse : le demi grand-axe a, l’excentricit´e eet le param`etre pen
fonction de RT,h0et hg. Faire leurs applications num´eriques.
2. En utilisant la formule de Binet de l’acc´el´eration, d’une part, et du PFD, d’autre part, ´etablir la
relation entre la constante des aires Cen fonction de MT,Get p.
3. En d´eduire la vitesse v0`a donner au satellite lors de son lancement et la vitesse v1qu’il atteint `a
l’apog´ee A. Faire leurs applications num´eriques.
4. Quelle est la diff´erence des vitesses en Aque doivent fournir les moteurs pour que le satellite soit
plac´e sur son orbite g´eostationnaire ?
5. En utilisant la troisi`eme loi de Kepler, calculer le temps que passe le satellite sur l’orbite de transfert.
Exercice 4 : Orbite hyperbolique
Une m´et´eorite Ma, tr`es loin de la Terre, une vitesse
~v0=v0~u∆port´ee par une droite situ´ee `a la distance
bde l’axe (∆) du centre de la Terre O, voir figure ci-contre.
On note par mla masse du m´et´eorite, MTla masse de la
Terre, RTson rayon et Gla constante de gravitation univer-
selle. On travaille dans le r´ef´erentiel g´eocentrique, suppos´e
galil´een. La position de Mest rep´er´ee par les coordonn´ees
polaires (r, θ), −−→ OM =r~ur. La trajectoire du m´et´eorite est
une branche d’hyperbole de foyer O, le centre de la Terre.
Noter bien que l’on utilise les notations (~ur, ~uθ)pour la base
polaire et (r, θ)les coordonn´ees correspondantes.
1. Montrer que le moment cin´etique de la m´et´eorite par rapport `a Oet son ´energie m´ecanique sont
conserv´es.
2. En d´eduire l’expression de rmin, lorsque la m´et´eorite se trouve au sommet Sde l’hyperbole, en
fonction de v0,G,MTet b.
3. D´eterminer la valeur minimale bmin de bpour que la m´et´eorite ne rencontre pas la Terre.
4. Dans le cas o`u b > bmin, d´eterminer l’angle de d´eviation ϕde la m´et´eorite.