Forces centrales

TD Physique - Forces centrales - MPSI 1 Lycée Chaptal - 2012
Forces centrales
I - Satellite en orbite elliptique ⋆⋆
Le mouvement d’un satellite artificiel de la Terre est étudié dans le référentiel géocentrique RGsupposé galiléen.
Ce référentiel a pour origine ce centre Ode la Terre et ses axes sont orientés dans la direction de trois étoiles très
éloignées et fixes. L’équation de la trajectoire elliptique du satellite soumis à la seule force de gravitation exercée
par la Terre est donnée dans le cas général :
r=p
1 + ecos θ
L’origine des coordonnées polaires adoptées pour décrire le mouvement est en O;pet esont des constantes. On
donne MT= 5,98.1024 kg,RT= 6370 km et G= 6,67.10−11 N.m2.kg−2.
1Comment appelle-t-on pet e? Que peut-on dire de la valeur de e?
2Représenter l’allure de la trajectoire du satellite en faisant figurer r,θ, le centre Oet la force exercée par la
Terre sur le satellite. Placer les points Pet Acorrespondant respectivement à l’apogée et au périgée ; on rappelera
la définition de ces deux expressions. Préciser, sur le schéma, le demi-grand axe de l’ellipse noté a, les vecteurs
vitesses −→ vAet −→ vPdu satellite respectivement en Aet Painsi que ses positions respectives rAet rPpar rapport
àO. Établir une relation entre valeurs vA,vP,rAet rP.
3Déterminer rAet rPen fonction de pet e. En déduire une expression de rPen fonction de aet de e.
4Rappeler l’expression générale de l’énergie mécanique Emdu satellite de masse men orbite elliptique en fonction
de G,m,MT,ret de sa vitesse v. En considérant l’expression de l’énergie mécanique en Aet P, montrer que
Em=−GMTm
2a
5Le satellite a son périgée à une altitude hP= 600 km par rapport au sol terrestre et une période de révolution
T= 6700 s. Calculer le demi-grand axe ade sa trajectoire, son excentricité eet l’altitude hAde l’apogée par
rapport au sol.
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TD Physique - Forces centrales
II - Changement d’orbite d’un satellite : demi-ellipse de transfert ⋆⋆
Le mouvement d’un satellite artificiel de la Terre est étudié dans le référentiel géocentrique RGsupposé galiléen.
Ce référentiel a pour origine ce centre Ode la Terre et ses axes sont orientés dans la direction de trois étoiles très
éloignées et fixes. La Terre tourne, dans ce référentiel, autour de son axe avec une période de révolution T= 86164 s
et une vitesse angulaire Ω. Le satellite subit la seule force de gravitation de la Terre considérée à symétrie sphérique,
sa masse mest négligeable devant celle de la Terre. On désignera par MTet RT= 6370 km respectivement la
masse et le rayon de la Terre. Gest la constante de gravitation universelle et g0= 9,8 m.s−1l’intensité du champ
de pesanteur terrestre au niveau du sol.
Le satellite Mest en orbite circulaire (B)rasante de rayon RT
autour de la Terre, on veut le transférer sur l’orbite géostationnaire
(G)de rayon RG. Pour effectuer le transfert, une variation brusque
de vitesse est communiquée au satellite en Ppar éjection d’un gaz
pendant une durée très brève et dans le sens opposé de la vitesse
du satellite. Á son arrivée en A, on communique au satellite le
supplément de vitesse qui lui permet de se stabiliser sur l’orbite
géostationnaire.
(B)
P
(G)
A
O
1Dans quel plan particulier se situent les trois orbites ?
2Calculer la vitesse vBdu satellite sur son orbite basse.
3Calculer le rayon RGde la trajectoire du satellite en orbite géostationnaire et sa vitesse vG.
4Exprimer l’énergie Emdu satellite sur l’ellipse de transfert. Calculer sa valeur pour un satellite de masse
m= 1000 kg. En déduire le supplément de vitesse ∆vPqu’il faut fournir au satellite pour qu’il passe en P
sur l’ellipse de transfert et le supplément de vitesse ∆vAqu’il faut lui fournir en Apour qu’il se cale en orbite
géostationnaire. Quelle énergie faut-il fournir en Pet Apour réaliser le transfert du satellite ?
5Quelle est la durée de ce transfert ?
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III - Freinage d’un satellite en trajectoire circulaire ⋆ ⋆ ⋆
D’après MP Mines 2008
Le mouvement d’un satellite artificiel de la Terre est étudié dans le référentiel géocentrique RGsupposé galiléen.
Ce référentiel a pour origine ce centre Ode la Terre et ses axes sont orientés dans la direction de trois étoiles très
éloignées et fixes. Le satellite subit la seule force de gravitation de la Terre considérée à symétrie sphérique, sa
masse mest négligeable devant celle de la Terre. Gest la constante de gravitation universelle. Le satellite M, en
orbite circulaire de rayon rautour de la Terre, subit des hautes couches d’air atmosphérique raréfié une force de
frottement de la forme −→ f=−αmv−→ v, où le coefficient αest positif et vest le module de la vitesse −→ vdu satellite
dans RG. La force de freinage étant très faible, la trajectoire du satellite reste quasi circulaire et, pendant une
révolution, la variation de la distance au centre ∆rreste très inférieure à r. La durée d’une révolution est notée
TS.
1Dans le cas d’une trajectoire circulaire du satellite, alors que les frottements sont négligés, montrer que les
énergies mécanique, cinétique et potentielle du satellite vérifient Em=−EC=Egrav
P/2. On suppose que ces
relations restent valables dans le cas de la trajectoire quasi circulaire.
2Déterminer, pour une révolution, la variation ∆Egrav
Pde l’énergie potentielle de gravitation en fonction de G,
m,MT,ret ∆r. En déduire la perte d’énergie mécanique ∆Emsur une révolution.
3Calculer, sur la même période, le travail Wfde la force de frottement en fonction de α,m,vet r. En déduire
que ∆r=−4παr2. Quel est l’effet des forces de frottement de l’atmosphère sur le rayon de la trajectoire et sur la
vitesse du satellite ?
4En supposant que dr/dt≃∆r/T , montrer que rsuit une loi de la forme √r(t) = √r0+Kt, où Kest une
constante à déterminer en fonction de α,Get MT.
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IV - Invariant de Runge-Lenz ⋆⋆
On veut étudier le mouvement d’une particule Mde masse men mouvement dans un référentiel galiléen, dû à
une force centrale newtonienne
−→
F=−K
r2−→
eravec −→ er=−−→
OM
OM
On introduit à cette fin le vecteur de Runge-Lenz −→ A, utilisant le moment cinétique −→ L0de la particule en Oet
constant, et −→ pson vecteur quantité de mouvement :
−→
A=−→
p∧−→ L0
m−K−→
er
1Soit Eml’énergie mécanique de la particule. Montrer que ce vecteur est une constante, puis que
A2=K2(1+2 Em
mK2L0
2)
2Calculer −→ A·−−→ OM et en déduire l’équation polaire de la trajectoire en définissant θcomme l’angle entre ces deux
vecteurs
r(θ) = p
K/|K|+ecos θ
Exprimer pet een fonction de m,K,L0et EM. En déduire une borne inférieure de Emet la classification des
coniques en fonction du signe de l’énergie.
Application : On s’intéresse désormais à l’expérience dite de Rutherford. Une particule incidente α, de masse m
et de charge q= 2eest émise à l’infini avec une vitesse initiale −→ v0=v0−→ exet se dirige vers un noyau cible placé en
O, fixe dans le référentiel et de charge Q=Ze. Sous l’effet de la force coulombienne répulsive, la particule subit
une déviation d’angle D. La distance entre le support initial de −→ v0et la droite passant par Oparallèle à cette
même vitesse −→ v0est appelé paramètre d’impact b.
b
−→
v0
M(α)
−→
ey
−→
ez
y
O
r
u
H
x
θ
D
−→
ex
3En écrivant la conservation du vecteur de Runge-Lenz, loin avant et après la zone d’interaction, établir la
relation
tan D
2=Ze2 2πε0mbv02
Cette expérience, réalisée la première fois en 1911, a révélé la structure lacunaire de la matière. Ruther-
ford interposa une feuille d’or entre une source radiocative émettant des particules αet un détecteur de
particules. Seules quelques particules furent déviées, et un certain nombre avaient traversées la feuille sans
déviation : ces particules étaient passsés dans les « trous » laissés par la matière.
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