Forces centrales

TD Physique - Forces centrales - MPSI 1 Lycée Chaptal - 2012
Forces centrales
I - Satellite en orbite elliptique ⋆⋆
Le mouvement d’un satellite artificiel de la Terre est étudié dans le référentiel géocentrique RG supposé galiléen.
Ce référentiel a pour origine ce centre O de la Terre et ses axes sont orientés dans la direction de trois étoiles très
éloignées et fixes. L’équation de la trajectoire elliptique du satellite soumis à la seule force de gravitation exercée
par la Terre est donnée dans le cas général :
p
r=
1 + e cos θ
L’origine des coordonnées polaires adoptées pour décrire le mouvement est en O ; p et e sont des constantes. On
donne MT = 5, 98.1024 kg, RT = 6370 km et G = 6, 67.10−11 N.m2 .kg−2 .
1 Comment appelle-t-on p et e ? Que peut-on dire de la valeur de e ?
2 Représenter l’allure de la trajectoire du satellite en faisant figurer r, θ, le centre O et la force exercée par la
Terre sur le satellite. Placer les points P et A correspondant respectivement à l’apogée et au périgée ; on rappelera
la définition de ces deux expressions. Préciser, sur le schéma, le demi-grand axe de l’ellipse noté a, les vecteurs
→
→
vitesses −
v A et −
v P du satellite respectivement en A et P ainsi que ses positions respectives rA et rP par rapport
à O. Établir une relation entre valeurs vA , vP , rA et rP .
3 Déterminer rA et rP en fonction de p et e. En déduire une expression de rP en fonction de a et de e.
4 Rappeler l’expression générale de l’énergie mécanique Em du satellite de masse m en orbite elliptique en fonction
de G, m, MT , r et de sa vitesse v. En considérant l’expression de l’énergie mécanique en A et P , montrer que
Em = −G
MT m
2a
5 Le satellite a son périgée à une altitude hP = 600 km par rapport au sol terrestre et une période de révolution
T = 6700 s. Calculer le demi-grand axe a de sa trajectoire, son excentricité e et l’altitude hA de l’apogée par
rapport au sol.
1
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II - Changement d’orbite d’un satellite : demi-ellipse de transfert ⋆⋆
Le mouvement d’un satellite artificiel de la Terre est étudié dans le référentiel géocentrique RG supposé galiléen.
Ce référentiel a pour origine ce centre O de la Terre et ses axes sont orientés dans la direction de trois étoiles très
éloignées et fixes. La Terre tourne, dans ce référentiel, autour de son axe avec une période de révolution T = 86164 s
et une vitesse angulaire Ω. Le satellite subit la seule force de gravitation de la Terre considérée à symétrie sphérique,
sa masse m est négligeable devant celle de la Terre. On désignera par MT et RT = 6370 km respectivement la
masse et le rayon de la Terre. G est la constante de gravitation universelle et g0 = 9, 8 m.s−1 l’intensité du champ
de pesanteur terrestre au niveau du sol.
Le satellite M est en orbite circulaire (B) rasante de rayon RT
autour de la Terre, on veut le transférer sur l’orbite géostationnaire
(G) de rayon RG . Pour effectuer le transfert, une variation brusque
de vitesse est communiquée au satellite en P par éjection d’un gaz
pendant une durée très brève et dans le sens opposé de la vitesse
du satellite. Á son arrivée en A, on communique au satellite le
supplément de vitesse qui lui permet de se stabiliser sur l’orbite
géostationnaire.
P
O
A
(B)
(G)
1 Dans quel plan particulier se situent les trois orbites ?
2 Calculer la vitesse vB du satellite sur son orbite basse.
3 Calculer le rayon RG de la trajectoire du satellite en orbite géostationnaire et sa vitesse vG .
4 Exprimer l’énergie Em du satellite sur l’ellipse de transfert. Calculer sa valeur pour un satellite de masse
m = 1000 kg. En déduire le supplément de vitesse ∆vP qu’il faut fournir au satellite pour qu’il passe en P
sur l’ellipse de transfert et le supplément de vitesse ∆vA qu’il faut lui fournir en A pour qu’il se cale en orbite
géostationnaire. Quelle énergie faut-il fournir en P et A pour réaliser le transfert du satellite ?
5 Quelle est la durée de ce transfert ?
2
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III - Freinage d’un satellite en trajectoire circulaire ⋆ ⋆ ⋆
D’après MP Mines 2008
Le mouvement d’un satellite artificiel de la Terre est étudié dans le référentiel géocentrique RG supposé galiléen.
Ce référentiel a pour origine ce centre O de la Terre et ses axes sont orientés dans la direction de trois étoiles très
éloignées et fixes. Le satellite subit la seule force de gravitation de la Terre considérée à symétrie sphérique, sa
masse m est négligeable devant celle de la Terre. G est la constante de gravitation universelle. Le satellite M , en
orbite circulaire de rayon r autour de la Terre, subit des hautes couches d’air atmosphérique raréfié une force de
→
−
→
−
frottement de la forme f = −αmv −
v , où le coefficient α est positif et v est le module de la vitesse →
v du satellite
dans RG . La force de freinage étant très faible, la trajectoire du satellite reste quasi circulaire et, pendant une
révolution, la variation de la distance au centre ∆r reste très inférieure à r. La durée d’une révolution est notée
TS .
1 Dans le cas d’une trajectoire circulaire du satellite, alors que les frottements sont négligés, montrer que les
énergies mécanique, cinétique et potentielle du satellite vérifient Em = −EC = EPgrav /2. On suppose que ces
relations restent valables dans le cas de la trajectoire quasi circulaire.
2 Déterminer, pour une révolution, la variation ∆EPgrav de l’énergie potentielle de gravitation en fonction de G,
m, MT , r et ∆r. En déduire la perte d’énergie mécanique ∆Em sur une révolution.
3 Calculer, sur la même période, le travail Wf de la force de frottement en fonction de α, m, v et r. En déduire
que ∆r = −4παr2 . Quel est l’effet des forces de frottement de l’atmosphère sur le rayon de la trajectoire et sur la
vitesse du satellite ?
√
√
4 En supposant que dr/dt ≃ ∆r/T , montrer que r suit une loi de la forme r(t) = r0 + Kt, où K est une
constante à déterminer en fonction de α, G et MT .
3
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IV - Invariant de Runge-Lenz ⋆⋆
On veut étudier le mouvement d’une particule M de masse m en mouvement dans un référentiel galiléen, dû à
une force centrale newtonienne
−−→
→
−
K−
OM
→
−
→
F = − 2 er avec er =
r
OM
−
→
−
→
On introduit à cette fin le vecteur de Runge-Lenz A , utilisant le moment cinétique L 0 de la particule en O et
−
constant, et →
p son vecteur quantité de mouvement :
−
→
−
→
→
−
p ∧ L0
→
A =
− K−
er
m
1 Soit Em l’énergie mécanique de la particule. Montrer que ce vecteur est une constante, puis que
(
)
Em
A2 = K 2 1 + 2
L0 2
2
mK
−
→ −−→
2 Calculer A · OM et en déduire l’équation polaire de la trajectoire en définissant θ comme l’angle entre ces deux
vecteurs
p
r(θ) =
K/|K| + e cos θ
Exprimer p et e en fonction de m, K, L0 et EM . En déduire une borne inférieure de Em et la classification des
coniques en fonction du signe de l’énergie.
Application : On s’intéresse désormais à l’expérience dite de Rutherford. Une particule incidente α, de masse m
→
−
et de charge q = 2e est émise à l’infini avec une vitesse initiale −
v 0 = v0 →
ex et se dirige vers un noyau cible placé en
O, fixe dans le référentiel et de charge Q = Ze. Sous l’effet de la force coulombienne répulsive, la particule subit
→
une déviation d’angle D. La distance entre le support initial de −
v 0 et la droite passant par O parallèle à cette
−
→
même vitesse v 0 est appelé paramètre d’impact b.
−
→
ey
y
−
→
ex
u
−
→
ez
D
−
→
v0
H
M(α)
θ
r
O
b
x
3 En écrivant la conservation du vecteur de Runge-Lenz, loin avant et après la zone d’interaction, établir la
relation
Ze2
D
=
tan
2
2πε0 mbv0 2
Cette expérience, réalisée la première fois en 1911, a révélé la structure lacunaire de la matière. Rutherford interposa une feuille d’or entre une source radiocative émettant des particules α et un détecteur de
particules. Seules quelques particules furent déviées, et un certain nombre avaient traversées la feuille sans
déviation : ces particules étaient passsés dans les « trous » laissés par la matière.
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