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Table des matières
0. Introduction 299
0.1. — ⁇
topos
surtout comme un moyen technique pour construire les catégories de faisceaux
correspondantes, les « topos » correspondants.
⁇
300
2
′
′
0.2. —
0.3. —
301
topos étale
topos cristallin
0.4. — point de vue faisceau-
tique
(𝑖)
topos
0.5. —
302
(𝑖)
3
1. Définition et caractérisation des topos
Définition 1.1 On appelle -topos, ou simplement topos si aucune confusion n’est à
craindre, une catégorie telle qu’il existe un site tel que soit équivalente à la
catégorie des -faisceaux d’ensembles sur .
1.1.1. —
site
1.1.2. —
caractérisent 303
Théorème 1.2 Soit une -catégorie. Les propriétés suivantes sont équiva-
lentes :
est un -topos .
satisfait aux conditions et
Les -faisceaux sur pour la topologie canonique sont représentables, et possède une
petite famille génératrice (condition ).
Il existe une catégorie et un foncteur pleinement fidèle
(où
désigne
la catégorie des -préfaisceaux sur ) admeant un adjoint à gauche a qui est exact à
gauche.
′Il existe un site , tel que les limites projectives soient représentables dans et
que la topologie de soit moins fine que sa topologie canonique tel que soit
équivalent à la catégorie des -faisceaux d’ensembles sur .
Corollaire 1.2.1 Soit un -topos, une sous-catégorie pleine de , qu’on munit de la
topologie induite par celle de (1.1.1). Considérons le foncteur
qui associe à tout la restriction à du foncteur représenté par . Ce foncteur est
une équivalence de catégories si et seulement si est une famille génératrice de .
4
304
′ ′
1.2.3. — Démonstration de ′ 𝑖𝑖∈𝐼
𝑖
′
(𝑖) (𝑛+1) (𝑛)′ 𝑛(𝑛)
𝑖∈𝐼 𝑖
′
𝑖 ′
′
𝑖′ 𝑖
′ 𝑖
305
⁇
1.2.4. — Démonstration de
𝐸
1.2.4.1. — 𝑖𝑖
𝑖
𝑖𝐻𝑗
𝑖∈𝐼 𝑖
(𝑖,𝑗)∈𝐼×𝐼 𝑖𝐻𝑗
1.2.4.2. — 𝛼
𝛼∈𝐴 𝐸𝛼 𝛼
306
(𝑖) 𝐸
5
𝛼
𝛼𝐺𝛽 𝛼𝐻𝛽
𝛼
1.2.4.3. —
𝛼
𝛼𝐺𝛽
𝛼𝐻𝛽
1.2.4.4. —
𝛼𝐻𝛽
𝛼𝛽
Remarque 1.3 307
petit
petite
Proposition 1.4 Soient un -topos, ′une catégorie (pas nécessairement une
-catégorie), un préfaisceau sur à valeurs dans ′. Pour que soit un faisceau à
valeurs dans ′ il faut et il suffit que transforme -limites inductives dans en
limites projectives dans ′.
′
′′ ′ ′
′
𝑖 308
𝑖𝑋𝑗𝑖
𝑗
6
7
8
9
10
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