synthése des connaissances de géométrie plane

L3 SHS – Pré-CRPE - Mathématiques
Géométrie : les principales propriétés à connaître
Notations
(AB) désigne une droite passant par les points A et B.
[O,x) désigne la demi-droite d’origine O. [AB) désigne la demi-droite d’origine A et passant par B.
On peut aussi désigner une droite par une cursive majuscule, par exemple D ou par une minuscule entre
parenthèses (d).
[AB] désigne le segment d’extrémités A et B.
AB désigne la longueur du segment [AB].
On désigne des points par des lettres majuscules.
Une croix symbolisant l’intersection de deux droites représente un point.
Médiatrice d’un segment
La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.
De cette définition découlent les propriétés suivantes :
Si un point est équidistant des extrémités d'un segment, alors il est sur la médiatrice de ce segment.
Si un point est sur la médiatrice d'un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment.
Si une droite contient deux points équidistants de A et B, alors c'est la médiatrice de [AB].
La médiatrice d’un segment est perpendiculaire à ce segment en son milieu.
De cette définition découlent les propriétés suivantes :
Si une droite est perpendiculaire à (AB) et passe par le milieu de [AB], alors c'est la médiatrice de [AB].
Si une droite est la médiatrice d'un segment [AB], alors elle est perpendiculaire à (AB) et passe par le milieu
de [AB].
Des deux définitions précédentes découle la propriété suivante :
Si une droite est perpendiculaire à (AB) et contient un point équidistant de A et B, alors c'est la médiatrice de
[AB].
En utilisant propriétés de la médiatrice d’un segment, on peut construire à la règle non graduée et au
compas :
• une droite perpendiculaire à une droite donnée passant par un point donné.
• Le milieu d’un segment.
Positions relatives de deux droites
Deux droites sont perpendiculaires si elles forment un angle droit.
Si deux droites sont perpendiculaires, elles déterminent 4 angles droits.
Il existe une seule droite perpendiculaire à une droite donnée passant par un point donné
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.
On peut donc construire une droite parallèle à une droite donnée
construisant une droite perpendiculaire
D1 à D
D
passant par un point donné A en
puis en traçant une droite
D2
perpendiculaire à
D1
passant par A.
Si deux droites sont parallèles et si une troisième droite est perpendiculaire à l'une d'elles, alors elle est
perpendiculaire à l'autre.
Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.
Si A, B et C sont trois points tels que (AB) et (AC) sont parallèles, alors A, B et C sont alignés.
Deux droites parallèles ont la même direction par rapport à une même droite :
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On peut donc tracer des droites parallèles en
reportant des gabarits d’angle.
On peut aussi tracer une droite parallèle à une droite donnée passant par un point donné en utilisant les
propriétés d’un parallélogramme :
Si D est la droite donnée et A le point donné, on place deux points B et C sur la droite D . En utilisant le
compas comme instrument de report des longueurs, on construit un quadrilatère dont un des côtés est [BC]
et dont un sommet est A qui possède des côtés opposés de même longueur. Ce quadrilatère est un
parallélogramme et on utilise le fait qu’un parallélogramme a ses côtés opposés parallèles.
Angle
On appelle secteur angulaire toute portion du plan limitée par deux demi-droites de même origine. Cette
origine est le sommet du secteur angulaire et les demi-droites en sont les côtés.
L’ensemble des secteurs angulaires superposables constitue un angle de secteur. Par abus de langage, on
assimile et secteur angulaire, angle de secteur.
Un angle possède une mesure que l’on obtient en utilisant un rapporteur.
Un angle est aigu s'il est plus petit qu'un angle droit.
Un angle est obtus s'il est compris entre un angle droit (90°) et un angle plat (180°)
Un angle est rentrant s'il est supérieur à un angle plat.
Un angle est saillant s'il est inférieur à un angle plat
Deux angles sont complémentaires si leur somme vaut 90°.
Deux angles sont supplémentaires si la somme vaut 180°.
Si deux angles sont opposés par le sommet, alors ils sont égaux.
Si deux angles sont alternes-internes formés à partir de droites parallèles, alors ils sont égaux.
Si deux angles sont correspondants formés à partir de droites parallèles, alors ils sont égaux.
Si A B C = 180°, alors A, B et C sont alignés et réciproquement.
Angles opposés par le sommet
angles correspondants
Angles alternes-internes
Bissectrice d’un angle
La bissectrice d’un angle est la droite qui partage l’angle en deux angles de même mesure.
C’est aussi l’ensemble des points équidistants des côtés de l’angle.
Cercle
Etant donné un nombre positif r et un point O, le cercle de centre O et de rayon r est l’ensemble des points
situés à la distance r de O.
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Le disque de centre O et de rayon r est l’ensemble des points situés à une distance de O inférieure à r.
On appelle corde tout segment dont les extrémités sont sur le cercle.
I
[IJ] est une corde du cercle.
On appelle diamètre toute corde qui passe par le centre du cercle.
J
Un diamètre est une corde de longueur maximale.
La portion de cercle limitée par les points I et J est un arc de cercle:
O
I et J délimitent deux arcs de cercle. IJ
Remarque : le rayon d'un cercle est soit une longueur (un cercle de rayon 2 cm), soit un segment (un cercle
de rayon [OA]).
La phrase « le cercle de rayon [OA] » signifie que le cercle a pour centre O et passe par A (ou l’inverse).
La phrase « le cercle de rayon OA » signifie que le cercle a pour rayon la longueur du segment [OA] sans
nécessairement avoir pour centre ni O ni A.
Il en est de même pour le diamètre.
Propriétés:
La médiatrice d'une corde passe par le centre du cercle.
Soit Pet Q deux points diamétralement opposés sur un cercle. Pour tout autre point M du cercle, l'angle
PMQ est droit.
Tangente à un cercle
La tangente à un cercle de centre O en un point M situé sur le cercle est la droite passant par M et
perpendiculaire au rayon [OM] .Cette droite n’a qu’un seul point commun avec le cercle.
Angles et cercle
On appelle angle au centre dans un cercle tout angle dont le sommet est le centre du cercle:
est un angle au centre. On dit qu'il intercepte l'arc PQ
On appelle angle inscrit dans un cercle, tout angle dont le sommet est un point du cercle et dont les côtés
coupent le cercle.
est un angle inscrit. On dit qu'il intercepte l'arc PQ.
P
M
O
Q
Si un angle inscrit
= 1/2
intercepte le même arc qu'un angle au centre
alors
.
Si deux angles inscrits interceptent le même arc, ils sont égaux.
Triangles
Droites particulières d’un triangle ABC
Hauteur issue de A
Médiatrice de [AB]
C’est la droite passant
C’est la droite passant
par A et perpendiculaire par le milieu de [AB] et
au côté opposé à A.
perpendiculaire à [AB]
Les 3 hauteurs se
coupent en un même
Les 3 médiatrices se
coupent en un même
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Bissectrice d’un
angle
C’est la droite
coupant l’angle en
deux angles de
mesures égales.
Les 3 bissectrices se
coupent en un même
Médiane issue de A
C’est la droite passant par
A et le milieu du côté
opposé à A.
Les 3 médianes se
coupent en un même
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point : l’orthocentre
point : le centre du
cercle circonscrit au
triangle.
point : le centre du
point : le centre de
cercle inscrit dans le gravité qui est situé au
triangle.
deux tiers de la médiane
à partir d’un des
sommets.
Triangles particuliers
Un triangle isocèle a deux côtés égaux.
Dans un triangle isocèle ABC tel que AC=AB, la hauteur issue de A, la médiane issue de A, la hauteur issue
de A et la médiatrice de [BC] sont confondues.
Un triangle équilatéral a trois côtés égaux.
Dans un triangle équilatéral, les médianes et les hauteurs issues de chaque sommet ainsi que les
médiatrices de chaque côté sont confondues. Le centre du cercle circonscrit au triangle est donc confondu
avec l’orthocentre et le centre de gravité du triangle.
Un triangle rectangle a un angle droit. Ses deux autres angles sont complémentaires. Son plus grand côté
est appelé son hypoténuse.
Triangle rectangle et cercle
Un triangle rectangle est inscrit dans un cercle dont le diamètre est l’hypoténuse du triangle.
Réciproquement : Si un triangle a un côté qui est le diamètre de son cercle circonscrit alors il est rectangle.
Ainsi, si C est sur le cercle de diamètre [AB] alors le triangle ABC est rectangle en C.
Inégalité triangulaire
Pour tout points A, B et C du plan : AB + BC ≥ AC
Remarque : AB + BC = AC si et seulement si A, B et C sont alignés dans cet ordre.
Quadrilatères
•
Si un quadrilatère a l’une des propriétés suivantes alors c’est un parallélogramme.
–
Ses côtés opposés parallèles.
–
Non croisé et ses côtés opposés égaux.
–
Non croisé et deux de ses côtés parallèles et de même longueur
–
Ses diagonales se coupent en leur milieu
–
– Il a un centre de symétrie.
–
Ses angles opposés égaux
Ce sont des conditions suffisantes.
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors il vérifie toutes les propriétés précédentes.
Ce sont des conditions nécessaires.
Un parallélogramme (qui n’est ni un losange, ni un rectangle, ni un carré) a un centre de symétrie qui est le
point d’intersection de ses diagonales. Il n’a pas d’axes de symétrie
•
Si un quadrilatère a l’une des propriétés suivantes alors c’est un rectangle.
– Il a trois angles droits.
– Ses diagonales se coupent en leur milieu et ont même longueur
– C’est un parallélogramme ayant un angle droit.
– C’est un parallélogramme dont les diagonales sont de même longueur.
Ce sont des conditions suffisantes.
Si un quadrilatère est un rectangle alors il vérifie toutes les propriétés précédentes.
Ce sont des conditions nécessaires.
Un rectangle a deux axes de symétrie qui sont ses médianes (droites joignant les milieux des côtés
opposés).
Les diagonales du rectangle ne sont pas des axes de symétrie pour cette figure.
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•
Si un quadrilatère a l’une des propriétés suivantes alors c’est un losange.
– Ses quatre côtés sont de même longueur.
– Ses diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.
– C’est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur.
– C’est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires.
Ce sont des conditions suffisantes.
Si un quadrilatère est un losange alors il vérifie toutes les propriétés précédentes.
Ce sont des conditions nécessaires.
Les diagonales du losange sont des axes de symétrie pour cette figure.
•
Si un quadrilatère a l’une des propriétés suivantes alors c’est un carré.
– Ses quatre côtés sont de même longueur et il a trois angles droits (rectangle et losange).
– C’est un rectangle ayant deux côtés consécutifs de même longueur.
– C’est un losange ayant un angle droit.
- Ses diagonales se coupent perpendiculairement en leur milieu et sont de même longueur.
- C’est un losange et un carré
Ce sont des conditions suffisantes
Si un quadrilatère est un carré alors il vérifie toutes les propriétés précédentes.
Ce sont des conditions nécessaires.
Les médianes et les diagonales du carré sont des axes de symétrie pour cette figure.
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