correction - E

Correction Cercle d’Euler
Question 1.
Question 2.
Le quadrilatère A'B'C'H semble être un "trapèze isocèle".
Précisément, on va commencer par justifier que le parallélisme des bases (HA') et (B'C'). Puisque B' et C' sont les milieux de deux
côtés de ABC, alors (B'C') est parallèle au 3e côté BC ; or (BC) et (HA') confondues: donc (HA') // (B'C'). Ceci fait du quadrilatère
un trapèze.
Dans un second temps, on montre les égalités des obliques HC' et A'B'. D'abord, avec l'un des théorèmes des milieux, on a A'B' =
1/2 AB. Ensuite, le triangle ABH étant rectangle en H et C' étant le milieu de [AB], on sait que l'on a C'H = 1/2 AB : la médiane
issue de l'angle droit vaut la moitié de l'hypoténuse. Ainsi, on voit que HC' = A'B'. Ceci fait du quadrilatère un trapèze isocèle.
Remarque : On peut maintenant montrer aussi que les angles en B' et en C' sont égaux (ce n'est pas tout-à-fait une trivialité,
contrairement au cas des triangles isocèles).
On voit facilement avec le parallélogramme A'B'C'B que .
D'autre part, HC'A est isocèle en C' et on voit facilement que (B'C') est la hauteur issue de C', donc aussi la bissectrice de .
Donc , cette dernière égalité grâce aux angles correspondants.
Ainsi, le quadrilatère A'B'C'H est un trapèze dont les bases parallèles sont (A'H) et (B'C'), dont les côtés obliques sont égaux A'B' =
C'H, et dont les angles sur la plus grande base sont égaux .

Question 3.
Question 4.
On considère le milieu M de [B'C'] ainsi que la médiatrice de ce segment. J'ai aussi noté O le centre du cercle passant par A', B' et
C'. Bien entendu, O est sur ladite médiatrice. Puisque les angles en B' et en C' sont égaux, le triangle B'C'Z, obtenu en prolongeant
[B'A') et [C'H) jusqu'à leur intersection, est isocèle : le point d'intersection Z est donc sur (OM). Avec le parallélisme des bases et
les d'angles correspondants, on voit vite que
c'est donc un triangle isocèle à son tour, ce qui montre que (ZM) est médiatrice de [A'H]. En définitive, on a donc montré que (OM)
est un axe de symétrie du quadrilatère A'B'C'H. Alors, O étant sur la médiatrice de [A'H], on en déduit que OA' = OH : le point H
est donc sur le cercle de centre O passant par A.
En fait c'est une propriété tout-à-fait générale qui a été démontrée (un peu laborieusement) ci-dessus : dès qu'un trapèze a
- ses obliques égales
- ou ses angles relatifs à une base égaux
alors ses quatre sommets sont sur un même cercle.
Question 5.
De la même manière qu'à la question 2, on montrerait que les quadrilatères B'A'C'I et C'B'A'J sont des trapèzes isocèles ; on en
déduit que I et J sont sur le cercle passant par A', B' et C', comme H (cf question 4).
K

Question 6.
Il suffit de faire le bilan des questions précédentes : pour tout triangle, les trois milieux des côtés et les trois pieds des hauteurs
sont sur un même cercle.
Note : ce sont six points cocycliques, ce qui est assez remarquable, quand on songe qu'en général quatre points ne sont pas
cocycliques, alors que trois (non-alignés) le sont toujours... Mais ce n'est pas tout, comme on le verra aux questions 7 et 8.
Question 7.
D est donc l'orthocentre de ABC. On voit que (DH) est une hauteur de BDC : elle passe par le sommet D en étant perpendiculaire
au côté opposé (BC). De même, (CA) est la hauteur issue de C dans BDC et (BA) est celle issue de B (détails laissés au lecteur...).
Appelons Q le milieu de [BD] ; appliquons à BDC le théorème énoncé précédemment : les milieux des côtés et les pieds des
hauteurs de BDC sont sur un même cercle. Puisque H, I et J sont lesdits pieds de ces hauteurs, on voit donc que Q est
nécessairement sur le cercle qui les joint. Puisque le cercle de H, I et J passe aussi par A', B' et C', ceci fait du point Q un septième
point du cercle déjà considéré dans les questions précédentes.
Question 8.
Le même raisonnement peut être appliqué aux triangles ABD et ACD : on en trouve les hauteurs et on leur applique le théorème de
la question 6, pour en déduire d'une part que le milieu P de [AD] et d'autre part le milieu R de [CD] sont eux-aussi sur le cercle
passant par I, J et H.
Question 9.
Ce qui fait un total de 9 points "remarquables" situés sur ce fameux cercle...
Dans un triangle, les milieux des cotés, les pieds des hauteurs et les milieux des segments qui ont pour extrémités l’orthocentre et
les sommets sont sur un même cercle : le cercle d’Euler