Table des mati`eres

Correction de l’examen d’Alg`ebre de base,
SYM0400, du 11 Mai 2005
Table des mati`eres
1 Exercice 1 2
1.1 Solution de la question 1, i) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Solution de la question 1, ii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Solution de la question 1, iii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Correction de l’exercice 2 3
2.1 Solution de la question 2, i) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Solution de la question 2, ii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Solution de la question 2, iii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 Solution de la question 2, iv) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.5 Solution de la question 2, v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.5.1 Premi`ere m´ethode avec la relation de Bezout . . . . . . 4
2.5.2 Deuxi`eme m´ethode : la multiplication dans Z/13Z.. . 4
2.6 Solution de la question 2, vi, a) . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.7 Solution de la question 2, vi, b) . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Correction de l’exercice 3 5
3.1 Solution de la question 3, i) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Solution de la question 3, ii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 Solution de la question 3, iii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4 Le sujet 7
1

1 Exercice 1
1.1 Solution de la question 1, i)
On fait la division successive par les nombres premiers 2,3,5, . . .
en r´ep´etant l’op´eration si c’est possible.
1872 2
936 2
468 2
234 2
117 3
39 3
13 13
1
2184 2
1092 2
546 2
273 3
91 7
13 13
1
On en d´eduit que
1872 = 24×32×13 et que 2184 = 23×3×7×13 .
1.2 Solution de la question 1, ii)
Le pgcd est donn´e par le produit des facteurs premiers communs aux deux
nombres, chaque facteur premier ´etant ´el´ev´e `a la puissance la plus petite :
pgcd(1872,2184) = pgcd(24×32×13,23×3×7×13) = 23×3×13 = 312 .
Le ppcm est donn´e par le produit de chacun des facteurs premiers des
deux nombres, chaque facteur ´etant ´el´ev´e `a la puissance la plus grande :
ppcm(1872,2184) = ppcm(24×32×13,23×3×7×13) = 24×32×7×13 = 13104 .
V´erification (et deuxi`eme m´ethode)
Calcul du pgcd par l’algorithme d’Euclide.
2184 = 1 ×1872 + 312 ⇒pgcd(2184,1872) = pgcd(1872,312)
1872 = 6 ×312 ⇒pgcd(1872,312) = 312 .
Au bout du compte, on trouve que
pgcd(2184,1872) = pgcd(1872,312) = 312 .
Calcul du ppcm connaissant le pgcd.
On utilise la formule m×n=pgcd(m, n)×ppcm(m, n),
pour deux entiers positifs met n .
On trouve alors que ppcm(1872,2184) = 1872 ×2184/312 = 13104 .
2

1.3 Solution de la question 1, iii)
Si pet qsont deux entiers positifs, pour qu’il existe un couple d’entiers
(i, j) tel que pgcd(i, j) = pet ppcm(i, j) = q ,
il faut et il suffit que pdivise q .
Dans notre cas p= 13 et q=78=6×13 :
la condition est bien satisfaite.
On d´ecompose les deux nombres en facteurs premiers,
13 = 13 78 = 2 ×3×13 .
De l`a, on trouve que les couples (i, j) d’entiers positifs v´erifiant
i≤j , pgcd(i, j) = 13 et ppcm(i, j) = 78
sont (i, j) = (13,2×3×13) = (13,78)
et (i, j) = (2 ×13,3×13) = (26,39) .
2 Correction de l’exercice 2
2.1 Solution de la question 2, i)
On applique le teste d’Euclide pour montrer que 139
est un nombre premier.
Th´eor`eme d’Euclide. Un entier positif nest premier si et seulement si
il n’est pas divisible par aucun nombre premier ptel que p2≤n .
On effectue les divisions successives de 139 par la suite croissante des
nombres premiers et on arrˆete d`es que le quotient est plus petit que le divi-
seur, (ou quand le reste est nul : dans ce cas le nombre n’est pas premier).
139 = 2 ×69 + 1 ,139 = 3 ×46 + 1 ,139 = 5 ×27 + 4 ,
139 = 7 ×19 + 6 ,139 = 11 ×12 + 7 ,139 = 13 ×10 + 9 .
On en d´eduit que 139 est un nombre premier, car les nombres premiers
≤√139 sont {2,3,5,7,11}et aucun d’eux ne divise 139 .
2.2 Solution de la question 2, ii)
On utilise la relation de Bezout :
Th´eor`eme de Bezout. Deux entiers met nsont premiers entre eux si
et seulement si ∃(x, y)∈Z2tel que mx +ny = 1 .
Ici m= 139 et n= 26 .Comme 139 est un nombre premier et
que 0 <26 <139 ,les nombres 139 et 26 sont premiers entre eux. La
relation de Bezout implique alors qu’il existe deux entiers relatifs xet y
tels que 139x+ 26y= 1 .
3

2.3 Solution de la question 2, iii)
On teste, dans la suite croissante des nombres premiers,
celui qui est ≤√1807 et qui divise 1807 .
Le premier nombre premier `a diviser 1807 est 13 :
1807 = 13 ×139 ,1807 n’est donc pas un nombre premier.
2.4 Solution de la question 2, iv)
La d´ecomposition en facteurs premiers de 1807 est
1807 = 13 ×139 et celle de 26 est 26 = 2 ×13 ,
par cons´equent pgcd(1807,26) = 13 :
les deux nombres 1807 et 26 ne sont pas premiers entre eux. Le th´eor`eme
de Bezout vu dans la question 2, ii) implique alors que l’´equation
1807x+ 26y= 1 n’a pas de solutions (x, y)∈Z2.
2.5 Solution de la question 2, v)
2.5.1 Premi`ere m´ethode avec la relation de Bezout
Comme 13 est un nombre premier et que 0 <6<13 ,les deux
nombres 6 et 13 sont premiers entre eux, la relation de Bezout utilis´ee dans
la question 2, ii) dit alors qu’il existe (a, b)∈Z2tel que 6a+ 13b= 1 .
On en d´eduit que, pour tout entier i , i =i(6a+ 13b),
ce qui signifie que i= 6x+ 13kavec x=ai et k=bi qui sont deux
entiers, et donc il existe bien x∈Ztel que 6x≡i(mod 13) .
Cherchons maintenant xquand i= 8 .
On peut chercher le couple de Bezout (a, b) en appliquant l’algorithme
d’Euclide pour v´erifier que 6 et 13 sont premiers entre eux :
13 = 2 ×6 + 1 ⇔ −2×6 + 13 = 1 ,
(le couple de Bezout associ´e `a (6,13) est (a, b) = (−2,1) ) .
De l`a on trouve que pour tout entier i , x =−2i∈Zv´erifie
6x≡i(mod 13) ,( 6x=i−13i).
Par cons´equent 6 ×(−16) ≡8 (mod 13) .
On peut ajouter `a −16 ,26 qui est un multiple de 13 ,et on a aussi
6×10 ≡8 (mod 13) .
2.5.2 Deuxi`eme m´ethode : la multiplication dans Z/13Z.
Pour tout entier jon note [j]13 sa classe d’´equivalence modulo 13 :
[j]13 =j+ 13Z.
D’apr`es le cours, comme 13 est un nombre premier,
pour tout [j]13 ∈Z/13Z,[j]13 6= [0]13 ,
il existe [kj]13 ∈Z/13Ztel que [j×kj]13 = [1]13 ,
4

on en d´eduit qu’il existe k6∈Ztel que 6k6≡1 (mod 13) ;
par cons´equent, pour tout i∈Z,
6x≡i(mod 13) avec x=i×k6∈Z.
Recherchons xquand i= 8 .
On effectue les multiplications par [6]13 dans Z/13Z:
6×2≡12 (mod 13) ,6×3≡5 (mod 13) ,
6×4≡11 (mod 13) ,6×5≡4 (mod 13) ,
comme 2 ×4 = 8 ,on en d´eduit que 6 ×(2 ×5) ≡8 (mod 13) :
6×10 ≡8 (mod 13) .
(Si on avait effectu´e la table de multiplication dans Z/13Z,on aurait trouv´e
que 6 ×11 ≡1 (mod 13) : [k6]13 = [11]13 ).
2.6 Solution de la question 2, vi, a)
Comme pest un nombre premier, 2 < p implique que pest impair :
p= 2k+ 1 avec k∈N.
Comme il existe i∈ {0,1,2,3}tel que i≡p(mod 4) ,
seul i∈ {1,3}peut convenir, car mpair et m≡n(mod 4) implique
que nest aussi pair.
On en d´eduit que p2≡i2,or i∈ {1,3},
comme 12= 1 et 32= 9 ≡1 (mod 4) ,
dans tous les cas de figure, on trouve que
p2≡i2≡1 (mod 4) .
2.7 Solution de la question 2, vi, b)
On a vu dans la question pr´ec´edente que pest impair. Or
∃!j∈ {0,1,2,3,4,5,6,7}tel que p≡j(mod 8) ,
cet entier jest forcement impair (car s’il ´etait pair, ple serait aussi, ce
qui n’est pas le cas) :
∃!j∈ {1,3,5,7}tel que p≡j(mod 8) .
On en d´eduit que p2≡j2(mod 8) avec j2∈ {1,9,25,49}.
Or 49 ≡25 ≡9≡1 (mod 8) ,d’o`u p2≡1 (mod 8) .
3 Correction de l’exercice 3
3.1 Solution de la question 3, i)
Un entier jest tel que jsoit inversible dans Z/14Zsi et seulement
si les deux entiers jet 14 sont premiers entre eux.
5