Pracovní postup

Název: Pravděpodobnost
Autor: Mgr. Jiří Bureš, Ph.D.
Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy
Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace
Ročník: 6. (4. ročník vyššího gymnázia, bilingvní sekce)
Tématický celek: pravděpodobnost
Stručná anotace: Výukový materiál je zaměřen na počítání pravděpodobnosti
v situacích, kdy dochází k různým typům losování. Obsahuje základní přehled
potřebné teorie a řešené příklady.
Tento výukový materiál byl vytvořen v rámci projektu Přírodní vědy prakticky
a v souvislostech ‒ inovace výuky přírodovědných předmětů na Gymnáziu Jana
Nerudy (číslo projektu CZ.2.17/3.1.00/36047) financovaného z Operačního programu
Praha – Adaptabilita.
Evropský sociální fond
Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti
A. Vocabulaire de base de la probabilité
Les exemples cités ci-dessous sont basés sur les situations suivantes :
Situation A: On lance un dé.
Situation B: On effectue un tirage d'un sac qui contient 3 jetons - un rouge et deux blancs.
Situation C: Dans un jeu de 32 cartes, on distribue 5 cartes à chaque joueur.
1) Épreuve ou expérience aléatoire
C'est une expérience qui peut être répétée dans des conditions identiques et dont l'issue n'est pas
prévisible à priori. Tout résultat possible de cette expérience s'appelle une éventualité.
A: On lance un dé et on note le nombre sur la face supérieure.
B: On tire un jeton d'un sac.
C: On obtient une main de 5 cartes.
2) Univers (U)
L'ensemble de tous les cas possibles d'une expérience aléatoire.
A: U={1,2,3,4,5,6 }
B: U={R , B }
C: U contient
3) Événement
L'événement est tout sous-ensemble de l'univers.
A : E={2,4,6 } - le résultat est pair
B : U={B }
()
32 =201 376 éléments.
5
C: E = {4 valets, roi de piques}
Si une éventualité appartient à un événement, on dit qu'elle réalise cet événement.
L'événement U est un événement particulier puisqu'il contient toute les éventualités d'une
même expérience aléatoire , il est donc toujours réalisé on l'appelle événement certain.
L'événement ∅ n'est jamais réalisé et appelé événement impossible.
A: U - On obtient un nombre naturel entre 1 et 6 compris.
∅ - On obtient 7.
B: U - On tire un jeton rouge ou blanc.
∅ : On tire un jeton bleu.
4) Opérations sur les événements
Si E et F sont deux événements d'un univers U :
Le complémentaire de E est appelé événement contraire de E (noté aussi ̄E ).
A: E - On obtient un nombre pair. E ' - On n'obtient pas de nombre pair.
Donc E={2,4 ,6} et E ' ={1,3,5}.
La réunion des événements E∪F
E - On obtient un nombre pair. F - On obtient un nombre supérieur à 4.
A: E={2,4,6} , F ={4,5,6} , E∪F - On obtient un nombre pair ou supérieur à 4.
E∪F ={2,4 ,5 ,6}
L'intersection des événements E∩F
E - On obtient un nombre pair. F - On obtient un nombre supérieur à 4.
Evropský sociální fond
Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti
E∩F - On obtient un nombre
A: E={2,4,6} , F ={4,5 ,6}
pair et supérieur à 4. E∪F = {4,6}
Note: Les événements E et F sont incompatibles ss'ils ne peuvent pas se réaliser en même
temps, c'est-à dire ssi E∩F =∅ .
B. Probabilité sur en ensemble fini
1) Définition d'une loi de probabilité
Soit U un univers qui comporte n éventualités U={e1, e 2, ... , en }. Définir une loi de
probabilité p sur U consiste à associer à chaque éventualité ei de U un nombre pi ,
compris entre 0 et 1, tel que p1 +p2 +...+pn =1.
1
Ex: On lance un dé. On définit p(1)=p( 2)=p (3)=p(4)=p(5)=p (6)= .
6
Note: C'est une situation d'équiprobabilité car toutes les éventualités ont la même probabilité.
Ex: On lance une pièce de monnaie. On définit
p(pile)=0,45, , p( face)=0,55.
2) Propriétés d'une probabilité
Soit U un univers et E et F deux événements de U :
• La probabilité d'un événement E est égale à la somme des probabilités des éventualités
qui constituent E .
• Si E et F sont les événements incompatibles de U alors p(E∪F)=p (E )+ p (F) .
•
p(U )=1
La probabilité d'un événement certain égale 1.
•
p(∅)=0
La probabilité d'un événement impossible égale 0.
•
p(E ')=1−p(E )
La probabilité de l'événement contraire de E.
•
p(E∪F)=p (E)+ p (F )−p (E∩F ) La probabilité de la réunion des événements .
3) L'équiprobabilité
Soit U un univers de n éventualités et une loi p d'équiprobabilité :
1
• La probabilité de chaque événement égale
.
n
• Si un événement E contient k éventualités alors
k nombre de cas favorables
p(E )= =
.
n nombre de cas possibles
Exemples de situations d'équiprobabilité : On lance un dé parfaitement équilibré. Le sac contient
10 jetons indiscernables au toucher.
Evropský sociální fond
Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti
Activité 1.
Fiche de travail
Dans une urne, il y a 15 boules identiques numérotées de 1 à 15. On tire une boule au hasard.
Déterminer les probabilités des événements suivants :
A : Le numéro est divisible par 3.
P ( A)= ........
B : Le numéro est divisible par 5.
P (B) = ........
C : Le numéro est divisible par 7.
P (C )= ........
D : Le numéro est divisible par 17.
D est un événement impossible : P (D) = ........
E : Le numéro est divisible par 1.
E est un événement certain : P (E )= .......
F : Le numéro n’est pas divisible par 3.
F est l’événement contraire de A : P (F )= ........
G : Le numéro tiré est divisible par 3 ou par 7.
A et C sont deux événements incompatibles : P (G )= .................
H : Le numéro tiré est divisible par 3 ou par 5.
A et B sont deux événements compatibles : P (H )≠ .................
Activité 2. Un sac contient 20 jetons indiscernables au toucher.
Les 20 jetons sont de différentes couleurs : 8 jaunes, 6 rouges, 4 verts et 2 bleus.
1. On tire simultanément deux jetons du sac. Déterminer la probabilité des événements suivants :
A : « Les deux jetons sont rouges. »
B : « L’un des deux jetons est jaune et l’autre vert. »
C : « Les deux jetons sont de même couleur. »
D : « Les deux jetons sont de couleurs différentes. »
2. On tire successivement sans remise deux jetons du sac. Déterminer la probabilité des
événements suivants :
E : « Les deux jetons sont rouges. »
F : « Le premier jeton est vert et l’autre n’est pas rouge. »
G : « Les deux jetons sont de même couleur. »
H : « Les deux jetons sont de couleurs différentes. »
3. On tire successivement avec remise deux jetons du sac. Déterminer la probabilité des
événements suivants :
I : « Les deux jetons sont rouges. »
J : « Le premier jeton est vert et l’autre n’est pas rouge. »
K : « Les deux jetons sont de même couleur. »
L: « Les deux jetons sont de couleurs différentes. »
Evropský sociální fond
Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti
Elements de solutions :
Activité 1.
Fiche de travail
Dans une urne, il y a 15 boules identiques numérotées de 1 à 15. On tire une boule au hasard.
Déterminer les probabilités des événements suivants :
D : Le numéro est divisible par 17.
5 1
=
15 3
3 1
P (B)= =
5, 10, 15
15 5
2
P (C )=
7, 14
15
D est un événement impossible : P(D)=0
E : Le numéro est divisible par 1.
E est un événement certain : P (E )=1
A : Le numéro est divisible par 3.
B : Le numéro est divisible par 5.
C : Le numéro est divisible par 7.
3, 6, 9, 12, 15 :
P (A)=
F : Le numéro n’est pas divisible par 3.
1 2
F est l’événement contraire de A : P (F )=1−p (A)=1− =
3 3
G : Le numéro tiré est divisible par 3 ou par 7.
5 2
7
A et C sont deux événements incompatibles : P (G )=p( A)+p (C )= + =
15 15 15
H : Le numéro tiré est divisible par 3 ou par 5.
A et B sont deux événements compatibles : P (H )≠ p (A)+p(B)
Activité 2. Un sac contient 20 jetons indiscernables au toucher.
Les 20 jetons sont de différentes couleurs : 8 jaunes, 6 rouges, 4 verts et 2 bleus.
1. On tire simultanément deux jetons du sac. Déterminer la probabilité des événements suivants :
A : « Les deux jetons sont rouges. » p( A)=
()
( )
6
2
20
2
=
15
3
=
190 38
B : « L’un des deux jetons est jaune et l’autre vert. » p(B)=
C : « Les deux jetons sont de même couleur. »
8 + 6 + 4 + 2
2
2
2
2 28+15+12+1 56 28
p(C )=
=
=
=
190
190 95
20
2
()()()()
()
Evropský sociální fond
Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti
8.4
32 16
=
=
20 190 95
2
()
D : « Les deux jetons sont de couleurs différentes. »
28 67
p(D)=1−p(C )=1− =
95 95
2. On tire successivement sans remise deux jetons du sac. Déterminer la probabilité des
événements suivants :
6.5
3
=
E : « Les deux jetons sont rouges. » p(E )=
20.19 38
4.13 13
=
F : « Le premier jeton est vert et l’autre n’est pas rouge. » p(F )=
20.19 95
8.7+6.5+4.3+2.1 100
5
G : « Les deux jetons sont de même couleur. » p(G )=
=
=
20.19
20.19 19
5 14
H : « Les deux jetons sont de couleurs différentes. » p(H )=1−p (G)=1− =
19 19
3. On tire successivement avec remise deux jetons du sac. Déterminer la probabilité des
événements suivants :
2
2
6
3
9
=
I : « Les deux jetons sont rouges. » p(I )= 2 =
10
100
20
4.14 7
J : « Le premier jeton est vert et l’autre n’est pas rouge. » p( J)= 2 =
50
20
2.2 120 3
K : « Les deux jetons sont de même couleur. » p(K )=8.8+6.6 +4.4+ 2 =
=
20 400 10
3
7
L: « Les deux jetons sont de couleurs différentes. » p(L)=1−p (K )=1− =
10 10
( )
Evropský sociální fond
Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti