Pracovní postup

Název: Pravděpodobnost
Autor: Mgr. Jiří Bureš, Ph.D.
Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy
Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace
Ročník: 6. (4. ročník vyššího gymnázia, bilingvní sekce)
Tématický celek: pravděpodobnost
Stručná anotace: Výukový materiál je zaměřen na počítání pravděpodobnosti
v situacích, kdy dochází k různým typům losování. Obsahuje základní přehled
potřebné teorie a řešené příklady.
Tento výukový materiál byl vytvořen v rámci projektu Přírodní vědy prakticky
a v souvislostech ‒ inovace výuky přírodovědných předmětů na Gymnáziu Jana
Nerudy (číslo projektu CZ.2.17/3.1.00/36047) financovaného z Operačního programu
Praha – Adaptabilita.
Evropský sociální fond
Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti

A. Vocabulaire de base de la probabilité
Les exemples cités ci-dessous sont basés sur les situations suivantes :
Situation A: On lance un dé.
Situation B: On effectue un tirage d'un sac qui contient 3 jetons - un rouge et deux blancs.
Situation C: Dans un jeu de 32 cartes, on distribue 5 cartes à chaque joueur.
1) Épreuve ou expérience aléatoire
C'est une expérience qui peut être répétée dans des conditions identiques et dont l'issue n'est pas
prévisible à priori. Tout résultat possible de cette expérience s'appelle une éventualité.
A: On lance un dé et on note le nombre sur la face supérieure.
B: On tire un jeton d'un sac. C: On obtient une main de 5 cartes.
2) Univers (U)
L'ensemble de tous les cas possibles d'une expérience aléatoire.
A:
U=
{
1,2,3,4,5,6
}
B:
U=
{
R , B
}
C:
U
contient
(
32
5
)
=201 376
éléments.
3) Événement
L'événement est tout sous-ensemble de l'univers.
A :
E=
{
2,4,6
}
- le résultat est pair B :
U=
{
B
}
C: E = {4 valets, roi de piques}
Si une éventualité appartient à un événement, on dit qu'elle réalise cet événement.
L'événement
U
est un événement particulier puisqu'il contient toute les éventualités d'une
même expérience aléatoire , il est donc toujours réalisé on l'appelle événement certain.
L'événement
∅
n'est jamais réalisé et appelé événement impossible.
A:
U
- On obtient un nombre naturel entre 1 et 6 compris.
∅
- On obtient 7.
B:
U
- On tire un jeton rouge ou blanc.
∅
: On tire un jeton bleu.
4) Opérations sur les événements
Si
E
et
F
sont deux événements d'un univers
U
:
Le complémentaire de
E
est appelé événement contraire de
E
(noté aussi
̄
E
).
A:
E
- On obtient un nombre pair.
E '
- On n'obtient pas de nombre pair.
Donc
E={2,4 ,6}
et
E '={1,3,5}.
La réunion des événements
E∪F
E
- On obtient un nombre pair.
F
- On obtient un nombre supérieur à 4.
A:
E={2,4,6}
,
F={4,5,6}
,
E∪F
- On obtient un nombre pair ou supérieur à 4.
E∪F={2,4 ,5 ,6}
L'intersection des événements
E∩F
E
- On obtient un nombre pair.
F
- On obtient un nombre supérieur à 4.
Evropský sociální fond
Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti

A:
E={2,4,6},
F={4,5 ,6}
E∩F
- On obtient un nombre
pair et supérieur à 4.
E∪F
= {4,6}
Note: Les événements
E
et
F
sont incompatibles ss'ils ne peuvent pas se réaliser en même
temps, c'est-à dire ssi
E∩F=∅
.
B. Probabilité sur en ensemble fini
1) Définition d'une loi de probabilité
Soit
U
un univers qui comporte
n
éventualités
U={e1, e2, ... , en}.
Définir une loi de
probabilité
p
sur
U
consiste à associer à chaque éventualité
ei
de
U
un nombre
pi,
compris entre 0 et 1, tel que
p1+p2+...+pn=1.
Ex: On lance un dé. On définit
p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=1
6.
Note: C'est une situation d'équiprobabilité car toutes les éventualités ont la même probabilité.
Ex: On lance une pièce de monnaie. On définit
p(pile)=0,45,
,
p(face)=0,55.
2) Propriétés d'une probabilité
Soit
U
un univers et
E
et
F
deux événements de
U
:
•La probabilité d'un événement
E
est égale à la somme des probabilités des éventualités
qui constituent
E
.
•Si
E
et
F
sont les événements incompatibles de
U
alors
p(E∪F)=p(E)+p(F).
•
p(U)=1
La probabilité d'un événement certain égale 1.
•
p(∅)=0
La probabilité d'un événement impossible égale 0.
•
p(E ')=1−p(E)
La probabilité de l'événement contraire de E.
•
p(E∪F)=p(E)+p(F)−p(E∩F)
La probabilité de la réunion des événements .
3) L'équiprobabilité
Soit
U
un univers de
n
éventualités et une loi
p
d'équiprobabilité :
•La probabilité de chaque événement égale
1
n
.
•Si un événement
E
contient
k
éventualités alors
p(E)= k
n=nombre de cas favorables nombre de cas possibles
.
Exemples de situations d'équiprobabilité : On lance un dé parfaitement équilibré. Le sac contient
10 jetons indiscernables au toucher.
Evropský sociální fond
Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti

Activité 1. Fiche de travail
Dans une urne, il y a 15 boules identiques numérotées de 1 à 15. On tire une boule au hasard.
Déterminer les probabilités des événements suivants :
A:
Le numéro est divisible par 3.
P(A)=
........
B:
Le numéro est divisible par 5.
P(B)=
........
C:
Le numéro est divisible par 7.
P(C)=
........
D:
Le numéro est divisible par 17.
D
est un événement impossible :
P(D)=
........
E:
Le numéro est divisible par 1.
E
est un événement certain :
P(E)=
.......
F:
Le numéro n’est pas divisible par 3.
F
est l’événement contraire de
A
:
P(F)=
........
G:
Le numéro tiré est divisible par 3 ou par 7.
A
et
C
sont deux événements incompatibles :
P(G)=
.................
H:
Le numéro tiré est divisible par 3 ou par 5.
A
et
B
sont deux événements compatibles :
P(H)≠
.................
Activité 2. Un sac contient 20 jetons indiscernables au toucher.
Les 20 jetons sont de différentes couleurs : 8 jaunes, 6 rouges, 4 verts et 2 bleus.
1. On tire simultanément deux jetons du sac. Déterminer la probabilité des événements suivants :
A:
« Les deux jetons sont rouges. »
B:
« L’un des deux jetons est jaune et l’autre vert. »
C:
« Les deux jetons sont de même couleur. »
D:
« Les deux jetons sont de couleurs différentes. »
2. On tire successivement sans remise deux jetons du sac. Déterminer la probabilité des
événements suivants :
E:
« Les deux jetons sont rouges. »
F:
« Le premier jeton est vert et l’autre n’est pas rouge. »
G:
« Les deux jetons sont de même couleur. »
H:
« Les deux jetons sont de couleurs différentes. »
3. On tire successivement avec remise deux jetons du sac. Déterminer la probabilité des
événements suivants :
I:
« Les deux jetons sont rouges. »
J:
« Le premier jeton est vert et l’autre n’est pas rouge. »
K:
« Les deux jetons sont de même couleur. »
L:
« Les deux jetons sont de couleurs différentes. »
Evropský sociální fond
Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti

Elements de solutions :
Activité 1. Fiche de travail
Dans une urne, il y a 15 boules identiques numérotées de 1 à 15. On tire une boule au hasard.
Déterminer les probabilités des événements suivants :
A:
Le numéro est divisible par 3. 3, 6, 9, 12, 15 :
P(A)= 5
15 =1 3
B:
Le numéro est divisible par 5. 5, 10, 15
P(B)= 3
15 =1 5
C:
Le numéro est divisible par 7. 7, 14
P(C)= 2
15
D:
Le numéro est divisible par 17.
D
est un événement impossible :
P(D)=0
E:
Le numéro est divisible par 1.
E
est un événement certain :
P(E)=1
F:
Le numéro n’est pas divisible par 3.
F
est l’événement contraire de
A
:
P(F)=1−p(A)=1−1
3=2 3
G:
Le numéro tiré est divisible par 3 ou par 7.
A
et
C
sont deux événements incompatibles :
P(G)=p(A)+p(C)= 5
15 +2 15 =7 15
H:
Le numéro tiré est divisible par 3 ou par 5.
A
et
B
sont deux événements compatibles :
P(H)≠ p (A)+p(B)
Activité 2. Un sac contient 20 jetons indiscernables au toucher.
Les 20 jetons sont de différentes couleurs : 8 jaunes, 6 rouges, 4 verts et 2 bleus.
1. On tire simultanément deux jetons du sac. Déterminer la probabilité des événements suivants :
A:
« Les deux jetons sont rouges. »
p(A)=
(
6
2
)
(
20
2
)
=15
190 =3 38
B:
« L’un des deux jetons est jaune et l’autre vert. »
p(B)= 8.4
(
20
2
)
=32
190 =16 95
C:
« Les deux jetons sont de même couleur. »
p(C)=
(
8
2
)
+
(
6
2
)
+
(
4
2
)
+
(
2
2
)
(
20
2
)
=28+15+12+1
190 =56 190 =28 95
Evropský sociální fond
Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti