INTRODUCTION À LA LOGIQUE COMBINATOIRE LOGIQUE

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1ES102
INTRODUCTION À LA
LOGIQUE COMBINATOIRE
ES102 / CM2
2ES102
LOGIQUE COMBINATOIRE
• Seules les valeurs actuelles des entrées interviennent
pas de mémoire du passé (≠ logique séquentielle)
• yk = fk(x0, x1, ···, xn) où fk fonction booléenne sur Bn
• On exprime une fonction booléenne pour l’implanter :
Entrées Sorties
Circuit
combinatoire
x0
x1
···
xn
y0
y1
···
yp
fonction expression implantation
formules, graphes, …

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3ES102
PREOCCUPATIONS BOOLEENNES
– Comment exprime-t-on une fonction booléenne ?
– Comment transforme-t-on une expression en une autre ?
– Comment démontre-t-on l’équivalence entre 2 expressions
→ Algèbre de Boole
→ Représentations canoniques :
– Forme normale disjonctive
– Diagramme de décision binaire
expression /
implantation 1 équivalence ?
transformation
expression /
implantation 2
4ES102 ALGEBRE DE BOOLE :
DEFINITION
• La structure {B,+,·} est appelée algèbre de Boole ssi :
ü+ et · sont des lois internes, commutatives et associatives
üchaque loi possède un élément neutre : 0 pour +, 1 pour ·
üil y a DOUBLE distributivité :
∀a,b,c a·(b+c)=(a·b)+(a·c) et a+(b·c)=(a+b)·(a+c)
üil existe un complément unique : ∀a, ∃!a’, a+a’=1 et a·a’=0
üle cardinal de B est au moins 2 (0≠1)
•∃ redondance entre certaines propriétés ci-dessus
• B={0,1} muni de OU et ET est une algèbre de Boole
• Soit E ensemble fini et P(E) ensemble des parties de E :
P(E) muni de ∪ et ∩ est une algèbre de Boole

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5ES102 ALGEBRE DE BOOLE :
PRINCIPAUX THEOREMES
• Idempotence : ∀x, x·x=x et x+x=x (X X) = X = (X X)
⇒ donc pas de notion de puissance
• Absorption : ∀x,y, (y·x)+x=x (Y X) X = X
(y+x)·x=x (Y X) X = X
• Involution : ∀x, (x’)’=x
• Lois de De Morgan : ∀x,y, (x+y)’ = x’·y’ X∪Y=X∩Y
(x·y)’ = x’+y’ X∩Y=X∪Y
dualité : + et · échangent leur rôle à travers la complémentation
= =
Version
ensembliste
↓
6ES102 PRATIQUE DES
MANIPULATIONS ALGEBRIQUES
xy + xy’z + x’yz
xy + xyz + xy’z + x’yz
xy + x(y+y’)z + x’yz
xy + x1z + x’yz
xy + xz +x’yz
xy + xz + xyz + x’yz
xy + xz + (x+x’)yz
xy + xz + 1yz
xy + xz + yz
absorption ↓
distributivité ↓
complément ↓
élément neutre ↓
absorption ↓
distributivité ↓
complément ↓
élément neutre ↓
Un exemple
d’équivalence
démontrée
rigoureusement :
Commodités de notation : 1) Omission de ·
2) Précédence de · sur +

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7ES102 FORMES NORMALES
DISJONCTIVE ET CONJONCTIVE
• Soit n variables, x l’une d’elles, Y la liste des n-1 autres
• Soit f(x,Y) une fonction booléenne de ces n variables
• Formules d’expansion de Boole (souvent attribuées à Shannon) :
§ f(x,Y) = x’·f(0,Y) + x·f(1,Y) → formule disjonctive
§ f(x,Y) = [ x+f(0,Y) ] · [ x’+f(1,Y) ] → formule conjonctive
• f(0,Y) et f(1,Y) sont respectivement appelés cofacteurs
négatif et positif de f par rapport à la variable x
• Récursivité : les cofacteurs sont des fonctions booléennes de
n-1 variables, auxquelles l’expansion est de nouveau
applicable : il en découle les formes normales
respectivement disjonctive (∑∏) et conjonctive (∏∑).
8ES102 FORME NORMALE
DISJONCTIVE : Exemple
111110101100011010001000xyz
10101000f(x,y,z)
xyz
· 1
xyz’
· 0 +
xy’z
· 1 +
xy’z’
· 0 +
x’yz
· 1 +
x’yz’
· 0 +
x’y’z
· 0 +
x’y’z’
· 0 +
%z
xy · zxy’ · z +x’y · z +x’y’ · 0 +%y
x · z x’ · yz +%x
(x+y)z
f(x,y,z) = x’yz + xy’z + xyz
Expansion
de Boole
Table
de
vérité

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9ES102 FORME NORMALE
DISJONCTIVE : Précisions
• Monôme = produit des n variables, complémentées ou non
• A tout point de Bn correspond un unique monôme qui est
sa fonction caractéristique :
– ex. : à (x,y,z)=(0,0,1) correspond le monôme x’y’z
• Une fonction booléenne est égale à la somme des
monômes correspondant à chaque point de f-1({1})
• Il s’agit de la Forme Normale Disjonctive …
• … et elle est unique
• Une fonction booléenne s’exprime souvent plus compactement
comme somme de produits (∑∏) qui ne sont pas tous des monômes,
mais pas de manière unique. Ex. : Maj(a,b,c) = ab + ac + bc
10ES102
EXPANSION DIFFERENTIELLE
• dérivée binaire partielle de f par rapport à x :
f(0,Y)⊕f(1,Y)
• Formule de Taylor à l’ordre 1 :
f(x,Y) = f(0,Y) ⊕ [f(0,Y)⊕f(1,Y)] · x
• Application récursive :
→ « Ring Sum Expansion » (⊕ ∏)
→ vers la théorie spectrale des fonctions booléennes …
(B, ⊕, ·) a une structure d’anneau …