L’algèbre de Boole 1) Généralités : L’étude de la logique est due à Georges Boole (1815-1864) qui a crée une nouvelle sorte de logique, plus rigoureuse, dans laquelle on admet que les propositions ne peuvent être que vraies ou fausses. Dans notre environnement beaucoup de systèmes physiques peuvent être modélisés en considérant des variables binaires qui ne peuvent donc prendre que deux états. Ces états logiques sont 0 et 1. L’algèbre de Boole permet d’étudier ce type de système indépendamment de la technologie. Par exemple, un interrupteur (pneumatique, électrique, etc…) peut-être ouvert ou fermé. La variable représentant cet interrupteur prendra donc deux états : Ø Etat logique 1 lorsque l’interrupteur est fermé Ø Etat logique 0 lorsque que l’interrupteur est ouvert. Lorsque l’état d’une variable binaire varie en fonction du temps ses variations peuvent être représentées par un chronogramme : Etat de l’interrupteur 1 t1 : fermeture de l’interrupteur t2 : ouverture de l’interrupteur 0 t1 t t2 2) Opérations utilisées dans l’algèbre de Boole : Seules deux opérations sont utilisées : Ø Le OU logique noté : + Ø Le ET logique noté : • L’algèbre de Boole http://www.chez.com/ludovichi Ludovic Lambin Page 1 sur 3 [email protected] 2.1) Propriété de la fonction OU : Le OU logique est commutatif : X+Y = Y Le OU logique est associatif : (X+Y)+Z= X+(Y+Z) = Y+(X+Z) 2.2) Propriétés de la fonction ET : Le ET logique est commutatif : X • Y = Y • X Le ET logique est associatif : ( X • Y ) • Z = X • (Y • Z ) = Y • ( X • Z ) 2.3) Propriétés communes : Les deux opérations peuvent être distribuées l’une par rapport à l’autre. Ainsi : X • (Y + Z ) = X • Y + X • Z X + (Y • Z ) = ( X + Y ) • ( X + Z ) 3) Propriétés de l’algèbre de Boole : 3.1) Complémentation d’une variable binaire : Lorsqu’une variable binaire est complémentée cela indique que l’information significative est le 0 logique. Lorsqu’une variable binaire n’est pas complémentée cela indique que l’information significative est le 1 logique. Si X = 1 alors X = 0 3.2) L’involution : (X )= X 3.3) L’absorption : X + X •Y = X + Y X + X •Y = X •( X + Y ) = X L’algèbre de Boole http://www.chez.com/ludovichi Ludovic Lambin Page 2 sur 3 [email protected] 3.4) Identités remarquables : X +0= X X +1=1 X •0 =0 X •1= X X + X =1 X•X=0 4) Théorème de De Morgan : Le théorème de De Morgan permet de simplifier les expressions logiques comportant des sommes ou produits complémentés. Le complément d’un produit est égal à la somme des compléments : X + Y = X • Y Le complément d’une somme est égal au produit des compléments : X • Y = X + Y L’algèbre de Boole http://www.chez.com/ludovichi Ludovic Lambin Page 3 sur 3 [email protected]