L`algèbre de Boole

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http://www.chez.com/ludovichi Ludovic Lambin [email protected]
L’algèbre de Boole
1) Généralités :
L’étude de la logique est due à Georges Boole (1815-1864) qui a crée une nouvelle
sorte de logique, plus rigoureuse, dans laquelle on admet que les propositions ne
peuvent être que vraies ou fausses.
Dans notre environnement beaucoup de systèmes physiques peuvent être modélisés
en considérant des variables binaires qui ne peuvent donc prendre que deux états.
Ces états logiques sont 0 et 1.
L’algèbre de Boole permet d’étudier ce type de système indépendamment de la
technologie.
Par exemple, un interrupteur (pneumatique, électrique, etc…) peut-être ouvert ou
fermé. La variable représentant cet interrupteur prendra donc deux états :
Ø Etat logique 1 lorsque l’interrupteur est fermé
Ø Etat logique 0 lorsque que l’interrupteur est ouvert.
Lorsque l’état d’une variable binaire varie en fonction du temps ses variations
peuvent être représentées par un chronogramme :
2) Opérations utilisées dans l’algèbre de Boole :
Seules deux opérations sont utilisées :
Ø Le OU logique noté : +
Ø Le ET logique noté :
•
t
t2 t1
0
t1 : fermeture de l’interrupteur
t2 : ouverture de l’interrupteur
1
Etat de
l’interrupteur

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2.1) Propriété de la fonction OU :
Le OU logique est commutatif : X+Y = Y
Le OU logique est associatif : (X+Y)+Z= X+(Y+Z) = Y+(X+Z)
2.2) Propriétés de la fonction ET :
Le ET logique est commutatif :
X
Y
Y
X
•
=
•
Le ET logique est associatif :
)
(
)
(
)
(
Z
X
Y
Z
Y
X
Z
Y
X
•
•
=
•
•
=
•
•
2.3) Propriétés communes :
Les deux opérations peuvent être distribuées l’une par rapport à l’autre. Ainsi :
)()()( )( ZXYXZYX
Z
X
Y
X
Z
Y
X
+•+=•+
•
+
•
=
+
•
3) Propriétés de l’algèbre de Boole :
3.1) Complémentation d’une variable binaire :
Lorsqu’une variable binaire est complémentée cela indique que l’information
significative est le 0 logique.
Lorsqu’une variable binaire n’est pas complémentée cela indique que l’information
significative est le 1 logique. Si X = 1 alors X = 0
3.2) L’involution :
)(X= X
3.3) L’absorption :
YXYXX
+
=
•
+
X
Y
X
X
Y
X
X
=
+
•
=
•
+
)
(

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3.4) Identités remarquables :
1
11
0
=+ =+
=
+
XX
X
X
X
0 100
=•=•
=
•
XX XX
X
4) Théorème de De Morgan :
Le théorème de De Morgan permet de simplifier les expressions logiques comportant
des sommes ou produits complémentés.
Le complément d’un produit est égal à la somme des compléments : YXYX
•
=
+
Le complément d’une somme est égal au produit des compléments : YXYX
+
=
•