TD3 - Anneaux - Algèbre de Boole

Licence Informatique 2e année
Informatique théorique 2
TD3 : Anneaux - Algèbre de Boole
1 Produit d’anneaux
Soient (A, +A,×A)et (B, +B,×B)deux anneaux. On définit sur A×Bles
lois (x,y) + (x′,y′) = (x+Ax′,y +By′)et (x,y)×(x′,y′) = (x×Ax′,y ×By′).
a. Montrer que A×Best un anneau pour les lois +et ×.
b. Si Aet Bsont des corps, en est-il de même pour A×B?
2 Anneau sur R
On définit sur Rles opérations ⊕et ⊗par x⊕y=x+y−1et x⊗y=
x+y−x.y. Montrer que (R,⊕,⊗)est un anneau. Est-ce un corps?
3 Idéal
Soit (A, +,.)un anneau commutatif et Iun idéal de A. On appelle radical
de Il’ensemble √I={x∈A|∃n∈N,xn∈I}.
a. Montrer que √Iest un idéal de Acontenant I. Etudier le cas A=Z.
b. Montrer que si Iet Jsont deux idéaux de Atels que I⊆J,√I⊆√J. En
déduire que p√I=√I.
4 Théorème des restes chinois
Une bande de 17 pirates s’est emparée d’un butin composé de pièces d’or
d’égale valeur. Ils décident de se les partager également et de donner le reste
au cuisinier chinois. Celui-ci recevrait trois pièces. Mais les pirates se querellent
et six d’entre eux sont tués. Le cuisinier recevrait alors 4 pièces. Survient alors
un naufrage et seuls 6 pirates, le cuisinier et le trésor sont sauvés et le partage
laisserait 5 pièces d’or à ce dernier. Quelle est alors la fortune minimale que
peut espérer ce dernier s’il décide d’empoisonner le reste des pirates?
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5 Algèbre de Boole
a. Montrer que Z/2Z est une algèbre de Boole.
b. Démontrer, dans une algèbre de Boole, la formule de Poretsky : x=a.x +
b.¯x⇔b≤x≤a.
c. Démontrer, dans une algèbre de Boole, la formule de Schröder : a.x +b.¯x=
0⇔b≤x≤¯a.
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