(A,+) un groupe commutatif dont on note 0 le

Introduction aux espaces vectoriels de dimension
finie sur un corps commutatif
Alain Wazner. Pour H´el`ene, L´eo et Corentin
Anneaux : d´efinition, quelques exemples, car-
act´eristique d’un anneau. Corps : d´efinition
D´efinition
Soit (A, +) un groupe commutatif dont on
note 0 le neutre, si sur Aest d´efinie une op´eration
×, alors (A, +,×) est un anneau si et seulement si
–×est distributive par rapport + c’est `a dire
∀x, y, z ∈A x ×(y+z) = x×y+x×z
∀x, y, z ∈A(y+z)×x=y×x+z×x
–×a un neutre not´e 1 c’est `a dire
∀x∈A1×x=x×1 = x
(A, +,×) est dit un anneau commutatif si et seule-
ment si ×est une loi d’op´eration commutative.
Nota :
– Pour un ensemble A, la notion d’anneau est
d´ependante des op´erations qu’on y d´efinit, par
commodit´e on ´ecrit ≪Aest un anneau≫une
fois que ses deux op´erations sont clairement
d´efinies.
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– Comme ∀x, y ∈A
x×y=x×(y+ 0) = x×y+x×0
nous d´eduisons que x×y=x×y+x×0 puis
que x×0 = 0,∀x∈A. De
y×x= (y+ 0) ×x=y×x+ 0 ×x
nous d´eduisons que 0 ×x= 0,∀x∈A. Fi-
nalement
∀x∈A, 0×x=x×0 = 0
On dit que 0 est un ´el´ement absorbant
pour la multiplication.
– Si 1 = 0 alors (∀x∈A)x= 1.x = 0.x = 0 ⇒
A={0}: (A, +,×) est l’anneau trivial
({0},+,×) avec les ≪tables de loi≫0 + 0 = 0
et 0×0 = 0. Dans la suite nous ne consid´erons
que des anneaux non triviaux, c’est `a dire des
anneaux sur lesquels 1 6= 0.
– Un ´el´ement x∈Aest dit inversible s’il ex-
iste y∈Atel que x×y=y×x= 1. On
appelle UAl’ensemble des ´el´ements inversibles
de A. (UA,×) est un groupe ≪multiplicatif≫.
Comme 0 est absorbant si (A, +,×)n’est
pas trivial alors 0 /∈ UA.
Quelques exemples
Z, l’ensemble des entiers relatifs, muni des
op´erations d’addition et de multiplication est un
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anneau commutatif.
On appelle Bl’ensemble `a deux ´el´ements
B={0,1}sur lequel on d´efinit les op´erations +
et ×par
– 0 + 0 = 0
– 1 + 1 = 1
– 1 + 0 = 0 + 1 = 1
et par
– 0 ×0 = 0
– 1 ×1 = 1
– 1 ×0 = 0 ×1 = 0
Best un anneau commutatif appel´e anneau de
Boole.
Si Aest un anneau commutatif on appelle en-
semble des matrices d’ordre 2 `a coefficients sur A
l’ensemble des tableaux d’´el´ements de A:a c
b d .
On note M2(A) cet ensemble.
On d´efinit une addition + sur M2(A) par
a c
b d +a′c′
b′d′=a+a′c+c′
b+b′d+d′alors
(M2(A),+) est un groupe commutatif de neutre
0 0
0 0 .
On d´efinit une multiplication sur Apar
a c
b d ×a′c′
b′d′=a×a+c×b′a×c′+c×d′
b×a′+d×b′b×c′+d×d′
(A, +,×) est un anneau non commutatif dont le
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neutre pour ×est I2=1 0
0 1 .
Caract´eristique d’un anneau
Si (A, +,×) est un anneau dont 1 est le neutre
pour ×et −1 est l’oppos´e de 1 pour +. Si n∈Z
on pose : si n≥0 alors n.1 = 1 + ···+ 1
|{z }
n fois
, si n < 0
alors n.1 = (−1) + ···+ (−1)
|{z }
−n fois
alors l’application
φ:(Z,+) →(A, +)
n7→ n.1est un morphisme de
groupe dont le noyau est un sous-groupe de Zsoit
cZavec c∈N.cest la caract´eristique de A:
c= 0 si et seulement si φest un isomorphisme, si
c > 0 alors cest le plus petit entier ntel que
n.1 = 0.
D´efinition d’un corps
D´efinition Soit (K, +,×) un anneau alors
(K, +,×) est un corps si seulement si (K, +,×)
est l’anneau trivial ou K=UK∪ {0}.
Dans la suite nous ne consid´erons que des corps
(K, +,×)non triviaux (c’est `a dire dont l’an-
neau (K, +,×) appel´e anneau sous-jacent est
non trivial).
D´efinition La caract´eristique du corps (K, +,×)
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est celle de l’anneau sous-jacent (K, +,×), c’est un
nombre premier.
Preuve : Sur l’anneau non trivial (K, +,×) on
a : ∀p, q ∈N(p.1) ×(q.1) = (pq).1 puisque
(p.1) ×(q.1) = 1 + ···+ 1
|{z }
p!× 1 + ···+ 1
|{z }
q!
= 1 + ···+ 1
|{z }
q!+···+ 1 + ···+ 1
|{z }
q!
|{z }
p
= 1 + ···+ 1
|{z }
p×q!
= (pq).1
Si la caract´eristique de cde l’anneau (K, +,×) est
le produit de c=p×qavec 1 < p < c et 1 < q < c
(c’est `a dire que cn’est pas un nombre premier)
alors 0 = c.1 = p.1×q.1 : le produit p.1×q.1 est
nul, p.1 et q.1 ne sont pas nuls (puisque q < c et
p < c et que cla caract´eristique de Kest le plus
petit entier ktel que k.1 = 0). Mais Kest un corps
et donc p.16= 0 a un inverse que nous notons iet
p.1×q.1 = 0 ⇒i×p.1×q.1 = i×0 = 0 ⇒q.1 = 0
ce qui contredit q.16= 0.
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