Compléments Probabilités – Statistique MEEF 2

ComplémentsProbabilités–StatistiqueMEEF2
I. Vocabulaire‐Lienentrethéoriedesensemblesetprobabilités
OnnoteΩl’espacedesconfigurations(l’univers)associéàuneexpériencealéatoire.
ProbabilitésThéoriedesensembles
EvénementPartie,sous‐ensemble
…impossible∅
…certainΩ
…contrairecomplémentaire
→
̅
ImplicationInclusion⊂
etIntersection∩
ouUnion∪
Sans(sansque)Différence
∖ ∩
ouexclusif(oubien)différencesymétrique BA∪B∖A∩B
ÉvénementsincompatiblesSous‐ensemblesdisjoints
Systèmecompletd’événementsPartition
Danslasuite,onutiliseralesnotations:
 ⊔aulieude∪sietsontdeuxsous‐ensemblesdisjointsd’unensembleΩ;
 Ωpourl’ensembledespartiesdeΩ;Ωestl’ensembledespartiesàélémentsdeΩ;
 SiΩestinfini,Ω⋃Ω
∈ estlesousensembledespartiesfiniesdeΩ;
 Siestunensemblefini,#estsoncardinal;
 pourdeuxensembleset,∼signifiequ’ilssontenbijection(appliquéengénéralàdesensembles
finis:celarevientàdirequ’ilsontmêmecardinal).
 ,(ouencore)pourl’ensembledesfonctionsdedans;
o ,pourl’ensembledesinjectionsdedans(nécessairement,##;
o ,pourl’ensembledesbijectionsdesur(nécessairement,##;
o ,pourl’ensembledesbijectionsdesur(nécessairement,##;
o pourl’ensembledespermutations(bijections)de;
o 1,…,pourl’ensembledespermutationsde1,…,.

II. Définitiond’uneprobabilité
a) Casfini
Définition.SoitΩunensemblefini.Uneapplicationℙ∶Ω→0;1estuneprobabilitésurΩsi
a) ℙΩ1;
b) Si,∈Ωsontdeuxévénementsdisjoints(incompatibles),alorsℙ⊔0.
LetripletΩ,Ω,ℙestunespaceprobabilisé.
Exercice.
a) Conséquencesimmédiates:ℙ∅0,ℙ̅1ℙ,ℙ∪ℙ∩ℙℙ;
b) Pourdéfiniruneprobabilité,ilsuffitdesedonnerlavaleurℙ∈0;1,pourchaque∈Ω,
aveclacondition∑1
∈ .Cesdonnéesdéfinissentlaloideℙ;
c) SoitΩunensemblefini.Lafonctionℙ∶Ω→0;1définieparℙ#
#estuneprobabilité.Ondit
alorsqueΩestmunidel’équiprobabilité∀∈Ωℙ
#.
b) Casinfinidénombrable
Pourunensembleinfini,lesconditions1et2deladéfinitionducasfininesuffisentplus.Cependant,danslecas
dénombrable(i.e.enbijectionavec),onpeutétendreladéfinitiondeprobabilitédefaçonsuivante.
Définition.SoitΩunensemble(auplus)dénombrable.L’applicationℙ∶Ω→0;1estuneprobabilitési
a) ℙΩ1;
b) Si∈estunefamilleauplusdénombrabled’événementsdeuxàdeuxdisjoints(incompatibles),alors
ℙ
∈ ℙ
∈ ≔sup ℙ ∈ ∶∈Ω.
(SiΩestfini,onretrouveladéfinitionducasprécédent).
Exercice.
a) Vérifierquecommedanslecasfini,ℙestcomplètementdéfinieparladonnéedesℙ∈0;1,pour
chaque∈Ω,aveclaconditionsup 
∈ ∶∈Ω1
∈ 
b) Peut‐onavoiréquiprobabilitésurunensembleinfini?
c) Casinfininondénombrable
LorsqueΩestinfininondénombrable,ladéfinitiondeprobabilitéestanalogueàcelleducasdénombrableàceci
près–etc’estlàtouteladifficultédececontexte–quel’ondoitsouventrestreindreledomainededéfinitionde
laprobabilitéàunsousensembledeΩ,appelétribu(ou‐algèbre)vérifiant:
a) Ω∈;
b) ∈⟺,̅∈;
c) Si∈estunefamilleauplusdénombrablede,alors⋃∈ ∈.
Uneautredifficultérésidedanslefaitquelaprobabilitédechaquesingleton∈Ωestengénéralnulle.La
loideprobabiliténepeutdoncs’exprimerparladonnéedesvaleursℙ,ω∈Ω.

III. Combinatoire–équiprobabilitésurunensemblefini
Commeonl’avuprécédemment,danslecasd’équiprobabilitésurunensemblefini,onestramenéàdes
problèmesdedénombrement.
Remarques:
 SoientΩunensemblefinidecardinalet∈.AlorsΩ∼1,2,…,;Ω
o EneffetΦ∶1,2,…,;Ω→ΩdéfinieparΦ1,…,estunebijection(évident).
 SoitΩunensemblefini.OnremarquequeΩ∼Ω;0;1:
o à∈Ωonassocielafonctioncaractéristique(ouindicatrice)1∶Ω→0,1définiepar10si
∉et11si∈
o réciproquement,à∈Ω;0;1onassocie1.
Exercice:Exprimer1∩,1,1∪,1̅,1∖enfonctionde1et1.Retrouverlespropriétésd’associativité,commutativité,
distributivitésurlesopérationsensemblistes.
1. Quelquestechniquesdedénombrement.
Méthodededénombrementpar«projection»:si∶→estuneapplicationentredeuxensemblesfinisalors
#
∈ ## ∈ 
Souvent,estsurjective:danscecasonparleparfoisdeprojectionetestappeléfibreaudessus
de∈.Onremarquequedanscecas,∈estunepartitionde.
Encorollaire:principedesbergers.Siestunefibration(surjectionàfibredecardinalconstant)c’est‐à‐dire
∃∈∗∀∈#alors##.
Remarque:onutilisesouventdeuxprojectionspourétablircertainesrelations.
Dénombrementdesarrangements(oulistes)avecousansrépétition.
SoitΩunensembledecardinal.
o Unarrangement(delongueur)avecrépétitionsdeΩestunelisteordonnéededeélémentsdeΩ,c’est‐à‐
direunélémentdeΩ∼1,2,…,;Ω(cf.remarqueprécédente).Lenombred’arrangementsavec
répétitionsest #Ω#1,2,…,;Ωrécurrencesur
o Unarrangement(delongueur)sansrépétitiondeΩestunelisteordonnéededeélémentsdistincts
deΩ,c’est‐à‐direunélémentde1,2,…,;Ω.Lenombred’arrangementssansrépétitionsest
1⋯1#1,2,…,;Ωrécurrencesur
Remarquonsque:
Sialors1,2,…,;Ω1,2,…,;Ω~et
#!
Si0,
!
!etsi,alors
0.
Dénombrementdescombinaisonssansrépétition–triangledePascal,binômedeNewton.
SoitΩunensembledecardinal.
o UnecombinaisondeélémentsdeΩestunsous‐ensembleàélémentsdeΩc’est‐à‐direunélément
deΩ.Lenombredetellescombinaisonsest:
!
⋅1 1⋅⋯⋅1 1#Ωsi0,
0sinon.

Eneffet,supposons0.Soit:1,…,;Ω→ΩdéfinieparφIm1,…,.On
a:∀∈Ω∼1,2,…,;etdonc#
!
L’applicationestdoncunefibrationdefibredecardinal
!.Envertudulemmedesbergers:
#1,2,…,;Ω!#Ωd'où
!
⋅1 1⋅⋯⋅1 1.
Remarquonsquesi0alors
 !
!!etsi,
0.
o Lescoefficients
,,∈peuventêtrecalculésparrécurrenceaumoyendutriangledePascal:
∀∈
01
∀∈∗0
0
∀,∈
11
1      
10000…
11000…
12100…
13310…
1461…
⋮⋮⋮⋮⋮⋱
Depluscescoefficientsontlapropriétédesymétriesuivante:si0alors
.
o FormuledubinômedeNewton:les
sontlescoefficientsbinomiauxenraisondelarelation
∈ 
OnpeutremarquerquelaformuledubinômedeNewtonsegénéraliseaveclesdéveloppementsensériesentièresde
1pour∈et∈1;1etonpeutmêmecompléterletriangledePascalpourdes∈–ilapparaît
alors«unnouveautriangledePascal»tournéd’unquartdetouravecdessignealternés–:
…
…
   …
      …
0 1 0 0 0 0 …
1 1 1 0 0 0 …
121 0 0…
133 1 0…
4 1 4 6 4 1 …
⋮⋮⋮ ⋮ ⋮⋱
 11
∈ 1
∈
12
∈ 11
∈
Mêmepour∈ledéveloppementensériesentièresde1suitencorelaformuledubinômedeNewtonet
lescoefficientsvérifientencorelarelationdutriangledePascal  
11
1.Évidemment,ilfaut
utiliserlarelation
⋅ ⋅⋯⋅ pourdéfinirlescoefficientslorsque∉.Parexemple:
1
√11/1/2
∈ 1
2
⋅1
21
1⋅⋯⋅1
21
1
∈ 12!
4!
∈ 
Dénombrementdesrépartitions.
Onveutrépartirobjetsindiscernablesdansboîtesnumérotéesde1à.Chaquerépartitionpeutêtrevue
commeunélémentde 
,,…,∈∶⋯
Lenombredetellesrépartitionsest:1
1 1

Eneffet,sionremplitsuccessivementchaqueboiteenmettantlesobjetsunàun,onadeuxtypesd’actions:«mettre
unobjetdansuneboite»et«changerdeboite»cequifait1actions,parmilesquellesilya1
1 
façonsdepositionnerles1actions«changementdeboite»(remarquonsqueces1actionspeuventêtre
visualiséedanslaformule⋯commeétantlessignesdansladéfinitionde
).
Plusrigoureusement,maisdefaçonmoinsintuitive,onmontreque1,2,…,1estenbijection
avec
.Soit∈1,2,…,1.Ordonnonslesélémentsde:
,,…,où0⋯.
Onposealors0,puis1,pour1.
À,onassociedoncle‐uplet,,…,quiestbiendans
puisque
⋯.
Réciproquementà,,…,∈
,onassocielasuitedessommes
12…⋯11.
Onabien ,,…,∈1,2,…,1
2. Exercices.
 Quelleestlaprobabilitéquedeuxpersonnesaientlamêmedated’anniversairedansunesallede
personnes(pourlesannéesde365joursuniquementetévidemmentavec1365).
Réponse.Laprobabilitécherchéeest
1#1,2,…,;1,2,…,365
#1,2,…,;1,2,…,365 1
365
 Calculsdeprobabilitéderépartitionsdejeuxautarot(supposé«bienmélangé»:équiprobabilitédes
répartitions)probabilitéd’avoir1bout,deuxbouts,troisboutsdanslechien,danssamain…
Réponse.Nombrederépartitionsentreles4joueurs:
78!
6!18!78
672 1854
1836
1818 189,36082371817873.10
Probabilitédeboutsdanslechien:
∈0,1,2,3
Nombredebouts0123Total
Probabilité78,34% 20,16% 1,420% 0,026% 100%
Probabilitéd’avoirboutsdanssamain:
∈0,1,2,3
Nombredebouts0123Total
Probabilité44,98% 41,88% 12,07% 1,073% 100%
 ParadoxeduDucdeToscaneàGalilée.LeDucdeToscanedemandaàGalilée:«Pourquoi,lorsquel'onjette
3dés,obtient‐onleplussouventlasomme10quelasomme9bienquecesdeuxsommessoientobtenues
desixfaçonsdifférentes?».RetrouverlaréponsedeGalilée.
Réponse.Notons1,2,3,4,5,6.L’ensembledetousleslancersestΩ.
9
126obtenu6fois
135obtenu6fois
144obtenu3fois
225obtenu3fois
234obtenu6fois
333obtenu1fois
et10
136obtenu6fois
145obtenu6fois
226obtenu3fois
235obtenu6fois
244obtenu3fois
334obtenu3fois