TD 4 Energie mécanique

TD 4 Energie mécanique-correction
Exercice 1 : Travail d'une force de traction
Pour faire démarrer un train de masse
F
égale à
M = 200 tonnes, une locomotive exerce sur lui une traction constante
F = 60 103 N
a) Quelle sera la distance
ℓ
parcourue lorsque la vitesse aura atteint
υ = 57.6 km/h ?
(utiliser le théorème
de l'énergie cinétique)
υ = 57.6 km/h =⇒ υ =
57.6
= 16 m/s
3.6
La traction est constante, l'énergie cinétique est égale au travail
(théoreme de l'énergie cinétique)
Ec =
1
MV 2
200000 × (16)2
M υ 2 = F ℓ⇒ ℓ =
=
= 426.7 m
2
2F
2 × 60000
b) Combien de temps se sera écoulé depuis le départ ? (il faut d'abord calculer l'accélération
υ
en fonction du temps
t
et de
Pour répondre à la question il faut calculer l'accélération :
F
60
=
= 0, 3ms−2
M
200
a=
La traction est constante donc l'accélération est constante
υ = at
on cherche
t
a puis la vitesse
a.)
tel que la vitesse soit devenue 16 m/s
⇒t=
υ
16
=
≃ 53s
a
0.3
Exercice 2 : Energie cinétique d'un volant
m = 100 kg , assimilable à un cylindre homogène de rayon
ω = 600 tours/mn ?
1 2
Il s'agit de l'énergie cinétique de rotation uniquement : EC =
Jω
2
1
600 × 2π
Pour un cylindre homogène J =
mR2 et ω =
rad/s
2
60
1
1
EC = mR2 ω 2 = × 100 × (1)2 × (10 × 2π)2 = 98696 Joules
4
4
Quelle est l'énergie cinétique d'un volant de masse
R=1m
de rayon, quand il tourne à
Exercice 3 : Energie cinétique
Une bille aborde un plan incliné de
υ = 1 m/s.
distance ℓ qu'elle
θ = 30°
par rapport au plan horizontal avec une vitesse de son centre de
gravité égale à :
Calculer la
parcourt sur une ligne de plus grande pente du plan avant de s'arrêter..
On admettra qu'elle roule sans glisser et on négligera les forces de frottement. On va utiliser la conservation
de l'énergie mécanique entre le haut de la pente et le bas de la pente.
On donne : accélération de la pesanteur :
g = 9, 8m/s2
On écrit la conservation de l'énergie mécanique :
Em = EC + Ep
En bas de la pente la hauteur est nulle et la vitesse maximale
En haut la vitesse est nulle
1
⇒ mυ 2 = mgℓsinθ
2
Em = Ep = mgh
or
ℓ=
2
d'où
ℓ=
h
sinθ
avec
Em = EC =
1
mυ 2
2
θ = 30°
mυ
1
=
= 0.1 m
2mgsinθ
2 × 9.8 × 0.5
Exercice 4 : Rotation d'un volant
Un volant pèse
M = 1960 kg . On
R = 60 cm.
peut considérer sa masse comme répartie uniformément sur un cylindre
de révolution de rayon
a) Calculer son moment d'inertie par rapport à l'axe du cylindre.
J=
1
2
mR2 = 0.5 × 1960 × (0.6) = 352.8 kgm2
2
1
b) A partir du repos (en d'autres termes à
ω1 = 300 tours/minute.
angulaire
t = 0s la vitesse est nulle), on communique à ce volant une vitesse
Calculer le travail fourni. (il faut utiliser le théorème de l'énergie cinétique)
W = ECf −ECi ici il n'y a que l'énergie cinétique de rotation
1 2
300 × 2π 2
W1 = Jω1 = 0.5 × 352.8 × (
) = 1.74 105 J
2
60
c) Cette vitesse diminue jusqu'à ω2 = 297 tours/min. Calculer l'énergie restituée par le volant.
( )2 [
]
2π
1
2
× 352.8 ×
× (300) − (297)2 = 3.46 103 J
On passe de 300 à 297 tours/min W2 =
2
60
d) Ce ralentissement dure 4 secondes (△t = 4s). Calculer la puissance moyenne développée par le volant
On va utiliser le théorême de l'énergie cinétique
pendant ce temps.
⟨P ⟩ =
W2
= 866 W att
△t
Exercice 5 : Mise en rotation d'un volant de grande inertie
Le volant d'un gyroscope, stabilisateur antiroulis d'un navire, a la forme d'un disque de masse
et de rayon
M = 50tonnes
R = 3 m.
a) Déterminez le moment d'inertie du volant.
J=
1
1
2
M R2 =⇒ J = × 50 103 × (3) = 2.25 105 kgm2
2
2
ω = 900 tours/min.
900 × 2π
ω vitesse angulaire ω =
= 94rads−1
60
b) Calculez l'énergie cinétique emmagasinée à la vitesse angulaire
Il n'y a que l'énergie cinétique de rotation
On trouve
Ec,r = 109 J
Ec,r
1
= Jω 2
2
avec
P = 2 105 W atts
ω = 900 tours/min. En supposant le moment du couple exercé sur le volant comme
constant, et en négligeant les frottements, calculez ce moment du couple, par rapport à l'axe △ du volant.
2 105
= 2122 J où M∆ est le moment
Dans le cas d'un couple la puissance P s'écrit : P = M∆ ω d'où M∆ =
94
par rapport à l'axe ∆ du volant.
c) Le volant est mis en mouvement par un moteur. La puissance délivrée au volant atteint
quand la vitesse est portée à
d) Exprimez la loi de variation de la vitesse angulaire du volant en fonction du temps. Quel temps faut-il
pour amener la vitesse du volant de
α
0
à
900 tours/minute.
(il faudra d'abord calculer l'accélération angulaire
du volant puis utiliser la question c) et la relation fondamentale de la dynamique.
dω
=⇒ dω = αdt , l'accélération α (accelération angulaire) est constante , à t = 0, ω = 0 donc ω = αt
dt
il reste à trouver α. On s'aide de la question précédente. Pour un couple le moment s'écrit M∆ = 2F R de plus
la relation fondamentale de la dynamique nous dit que F = M γ (M est la masse)
F
M∆
2122
γ=
=
de plus γ = Rα d'où α =
= 2.36 10−3 rads−2 .
M
2RM
2 × 3 × 50000 × 3
α=
On peut maintenant calculer le temps qu'il faut pour passer de 0 à 900 tours par minutes, c'est à dire 94
radian par seconde :
t=
ω
= 40000s
α
soit un peu plus de 10h (l'accélération angulaire est faible et le volant
lourd et large)
2