Question 1 - Moodle Poly Mtl

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Question 1
Stratégie: Problème de cinématique dans le plan. Utilisation de la méthode du point de
contact (E). Calcul de la vitesse et de l’accélération relative du point C dans un repère
tournant (on attache un repère tournant sur la pièce AOD).
D
2ω
E
aC
30º
C
vE
ωX
ωX
r
ωX
)
E/O
(
r E/O
30º
=
r E/O
=
vrel
vC
225 mm
C
=
C
αX
30º
a rel
el
O
Xv r
C
30º
F
Figure 1: cinématique – diagrammes de vitesse et d’accélération
Cinématique des vitesses:
Calcul de la vitesse du point de contact vE :
p7qp0.225q
vE “ ωAOD rOE “
“ 1.8187 m{s Œ
cos 30˝
Calcul de la vitesse relative vrel :
vE
vE sin 30˝ “ vrel cos 30˝ ñ vrel “ ? “ 1.05 m{s Ö
3
Calcul de la vitesse vC du piston CF .
vC “ vE cos 30˝ ` vrel sin 30˝ “ p1.8q cos 30˝ ` p1.0392q sin 30˝ “ 2.1 m{s Ó
Cinématique des accélérations:
Composantes de l’accélération de C dans le repère tournant:
´
¯
Accélération angulaire de AOD: |α ˆ r E{O | “ p28q 0.225˝ “ 7.2746 m{s2 Œ
cos 30
2
Accélération de Coriolis de C: |2ω ˆ v rel | “ 2p7qp1.05q “ 14.7
´ m{s˝ ¯ Ô
2
30
Accélération centripète de C: |ω ˆpω ˆr E{O q| “ p1.8187q2 cos
0.225 “ 12.731 m{s Ö
Calcul de l’accélération aC du piston CF . On prends la projection des accélérations sur
un axe perpendiculaire à OED:
aC cos 30˝ “ |2ω ˆ v rel | ´ |α ˆ r E{O |
2
aC “ p14.7 ´ 7.2746q ? “ 8.5741 m{s2 Ò
3
Calcul de l’accélération relative arel (grandeur et direction) de la goupille C par rapport
la rainure. On prends la projection des accélérations sur l’axe OED:
aC sin 30˝ “ arel ´ |ω ˆ pω ˆ rE{O q|
arel “ p8.5741qp0.5q ` p12.731q “ 17.018 m{s2 Õ
2
Question 2
Stratégie: Problème de cinétique d’un mécanisme dans le plan vertical. Démembement
du système en 2 pièces et utilisation du principe d’équilibre dynamique (DCL=DCE).
Le centre de masse de la roue est situe au point A. Ce point suit un mouvement circulaire
autour du point O (rayon ℓ).
DCL1
DCE1
HO=IO αOA
n
O
FO
DCE2
ΟΑ 2
θ
DCL2
O
mrOGαΟΑ
G
mrOGωΟΑ2
A
θ
FAt
FAn
G
A
mg
FZt
Z
Ml
ω
t
FAn
FAt
θ
Mg
M
HA=IA αA l α
ΟΑ
Z
A
FZn
Figure 2: DCL et DCE
(a) Cinétique du lien rigide OA, Relations d’équilibre sur DCL1=DCE1:
ÿ
MO “ IO αOA : ´FAt ℓ ` mgr̄OG cos θ “ IO αOA
(b) Cinétique de la roue A, Relations d’équilibre sur DCL2=DCE2:
I¯A “ MR2
ÿ
MZ “ I¯A αA : ´FAt R ´ MgR cos θ “ ´I¯A αA ´ MRℓαOA “ ´MR pRαA ` ℓαOA q
(c) Contrainte de vitesse et accélération angulaire au point A:
vA “ ωOA ℓ “ ωA R et paA qt “ αOA ℓ “ αA R
En combinant les relations (a), (b) et (c) de façon à éliminer les variables FAt et αA , on
`
˘
trouve:
pmr̄OG ` Mℓq g cos θ “ IO ` 2Mℓ2 αOA
On utilise la relation de dérivation en chaine
ωOA dωOA “ αOA dθOA
et on intègre de 0 à π{2:
ż
ż π{2
`
˘ ωOA 1
2
1
IO ` 2Mℓ
ωOA dωOA “ pmr̄OG ` Mℓq g
dθOA cos θOA
0
0
ˇ
ˇπ{2
`
˘ 12 ˇωOA
ˇ
2 ωOA ˇ
“ pmr̄OG ` Mℓq g sin θOA ˇ
IO ` 2Mℓ
ˇ
0
2 0
3
La vitesse angulaire finale en position θOA “ π{2 est donc:
d
2 pmr̄OG ` Mℓq g
ωOA “
IO ` 2Mℓ2
Application numérique:
ωOA “
d
IO “ p3qp0.35q2 “ 0.3675 kg ¨ m2
2 rp3qp0.3q ` p4qp0.5qs p9.81q
“ 4.9023 rad{s
p0.3675q ` p2qp4qp0.5q2
vA “ ωOA ℓ “ p4.9023qp0.5q “ 2.4512 m{s
4
Question 3
Stratégie: Conservation de l’énergie mécanique entre la position 1 et la position 2.
20
0m
m
100 mm
l
O
30º
2 kg
plan de référence
6 kg
Figure 3: Position 1 du solide rigide
Calcul de la longueur de la barre (ℓ):
ℓ “ 2p0.2q cos 30˝ “ 0.3464 m
Calcul du moment d’inertie massique de l’assemblage par rapport l’articulation (O):
`
˘
IO “ I¯disk ` I¯bar ` md2
avec
Donc:
1
1
2
I¯disk “ Mrdisk
et I¯bar “ mℓ2
2
12
˙
ˆ
1
1
2
2
2
IO “ p6qp0.2q `
p2qp0.3464q ` p2qp0.1q “ 0.16 kg ¨ m2
2
12
Conservation de l’énergie mécanique:
Vg1 “ Vg2 ` T2
1
p2qp9.81qp0.1q “ ´p2qp9.81qp0.1q ` p0.16q ω22
2
ñ
ω2 “ 7.004 rad{s