Chapitre 1.5a – Le champ électrique généré par plusieurs particules

Chapitre 1.5a – Le champ électrique généré par
plusieurs particules
Le champ électrique généré par plusieurs charges fixes
Le module de champ électrique E d’une charge ponctuelle est radial, proportionnel à la
charge électrique Q et inversement proportionnel au carré de la distance r entre la charge
électrique et l’endroit P où l’on évalue le champ électrique. Lorsqu’il y a plusieurs charges
électriques dans l’espace, le champ électrique total à un endroit P de l’espace sera
l’addition vectorielle de chaque champ électrique généré par chaque charge électrique à ce
même point P.
Exemple :
Champ électrique total au point P provenant de
4 charges ponctuelles.
Q4
Q1
P
v
E3
Q3
Sommation graphique du champ
v
électrique total E tot au point P.
v
E1
v
E1
v
E2
v
E4
v
E2
P
Q2
v
E3
v
E4
v
Etot
Techniques pour évaluer le champ électrique de plusieurs charges
v
Pour évaluer le champ électrique E en un endroit de l’espace, nous pouvons avoir recours
au deux techniques :
La sommation discrète
La sommation discrète consiste à identifier
dans l’espace toutes les charges électriques
ponctuelles et toutes les sphères uniformément
chargées, d’évaluer individuellement le champ
électrique qu’elles génèrent à un endroit P de
l’espace et finalement additionner le champ
électrique total au point P.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Q4
Q1
P
v
E3
Q3
v
E1
v
E2
v
E4
Q2
v
E
Page 1
Mathématiquement, la sommation discrète du champ électrique peut être évaluée grâce à
l’équation suivante :
N
v N v
Q
E = ∑ Ei = ∑ k 2i rˆi
ri
i =1
i =1
où
v
E : Champ électrique total (N/C)
v
E i : Champ électrique produit par la charge électrique Qi (N/C)
v
Qi : Charge ponctuelle #i qui génère le champ électrique E i (C)
ri : Distance entre la charge Qi et le point P(m)
k : Constante de la loi de Coulomb ( 9,00 × 10 9 N ⋅ m 2 /C 2 )
r̂i : Vecteur unitaire orientation de Qi (source) vers le point P (cible)
N : Le nombre de charge ponctuelle
i : Indice de la charge ponctuelle ( i = 1..N )
Quand utiliser cette technique ?
Lorsque les charges sont ponctuelles.
Avantage de cette technique ?
v
Champ électrique individuel E i facile à évaluer.
Désavantage à cette technique ?
C’est long ! Il y a autant de terme à calculer ( r̂i , ri )
qu’il y a de charges électriques.
La sommation continue1
La sommation continue consiste à découper une distribution de charge quelconque en
regroupement de charge infinitésimale afin que chaque regroupement génère un champ
électrique comme une charge ponctuelle et d’additionner le champ électrique total.
Exemple : Une tige en forme de « L » chargée
positivement et uniformément que
l’on a découpée en cube infinitésimal.
Découpage
infinitésimal
dQ
1
v
E
v
dE
r
dQ > 0, ∀dQ
Cette technique sera présentée avec beaucoup plus de détail dans les sections 1.8 et 1.10.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 2
Situation 3 : Une superposition en deux dimensions. Dans un plan xy, on fixe une
particule A de 1 µC à l’origine, une particule B de 2 µC en (x = 4 m , y = 0) et une particule
C de -3 µC en (x = 4 m, y = 3 m). On désire calculer la force électrique qui agit sur une
particule D de -4 µC en (x = 0, y = 3 m).
v
Voici la représentation graphique du champ électrique E généré à la coordonnée P
(x = 0, y = 3 m ) où est située la particule D :
y (m) v
v
EC
EA
v
EC
v
EB
r̂C
P
r̂A
QA
v
EB
QC
r̂B
QB
v
EA
v
E
P
x (m)
Évaluons individuellement le champ électrique généré par nos trois particules A, B et C au
point P :
Particule A :
• Charge :
QA = 1 × 10 −6 C
(Voir énoncé)
• Distance :
• Orientation :
rA = 3 m
v
rˆA = j
(Mesure sur le schéma)
(Voir schéma)
Champ électrique de la particule A :
−6
v
v
v
QA
9 1 × 10
E A = k 2 r̂A
⇒
E A = 9 × 10
(
j)
(3)2
rA
v
v
E A = 1000 j N/C
⇒
v
(Évaluer E A )
Particule C :
• Charge :
QC = −3 × 10 −6 C
(Voir énoncé)
rC = 4 m
v
rˆC = −i
(Mesure sur le schéma)
(
• Distance :
• Orientation :
)(
)
(Remplacer valeurs num.)
(Voir schéma)
Champ électrique de la particule C :
v
v
v
Q
− 3 × 10 −6
E C = k C2 r̂C
⇒
E C = 9 × 10 9
(− i )
2
rC
(4)
v
v
E C = 1688 i N/C
⇒
(
)(
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
)
(Remplacer valeurs num.)
v
(Évaluer E C )
Page 3
Particule B :
• Charge :
QB = 2 × 10 −6 C
(Voir énoncé)
• Distance :
rB = 4 2 + 3 2 = 5 m
(Pythagore, voir schéma)
y (m)
v
EB
Angle d’orientation :
• tan (θ ) =
y
x
tan (θ ) =
⇒
3
4
P
3
θ = 36,87°
⇒
rB
θ
r̂B Q
B
x (m)
4
Orientation :
v
v
• rˆB = − cos(θ )i + sin (θ ) j
v
v
rˆB = − cos(36,87°)i + sin (36,87°) j
v
v
rˆB = −0,8 i + 0,6 j
⇒
⇒
Champ électrique de la particule B :
v
v
v
v
Q
2 × 10 −6
E B = k B2 r̂B
⇒
E B = 9 × 10 9
(− 0,8 i + 0,6 j )
2
rB
(5)
v
v
v
⇒
E B = 720(− 0,8 i + 0,6 j )
v
v
v
E B = (− 576 i + 432 j ) N/C
⇒
(
)(
)
Évaluons le champ électrique total :
v
v
v v
v
v
E = ∑ Ei
⇒
E = EA + EB + EC
v
v
v
v
v
⇒
E = (1000 j ) + (− 576 i + 432 j ) + (1688 i )
v
v
v
E = (1112 i + 1432 j ) N/C
⇒
(Remplacer valeurs num.)
(Évaluer r̂B )
(Remplacer valeurs num.)
(Évaluer E B = 720 N/C )
v
(Évaluer E B )
(Remplacer A,B et C)
(Remplacer valeurs num.)
v
(Évaluer E )
Évaluons la force appliquée sur la particule D située à la coordonnée P : ( q D = −4 × 10 −6 C )
v
v
F = qE
y (m) v
v
v
EA v
E
⇒
FD = q D E
v
v
QC
v
v
v
E
E
−6
C
B
⇒
FD = − 4 × 10 (1112 i + 1432 j )
QD
v
v
v
FD = (− 4,448 i − 5,728 j ) × 10 −4 N
⇒
v
FD
2
2
FD = (− 4,448) + (− 5,728) × 10 − 4
et
QA
x (m)
QB
= 7,252 × 10 − 4 N
(
)
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
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Page 4
Situation 4 : L’orientation du champ résultant. Sur chacun des
schémas qui suivent, on a indiqué la position de particules positives
(ronds pleins : ) et de particules négatives (ronds creux : ) Toutes
les particules ont la même charge en valeur absolue. Pour chaque
situation, on désire déterminer l’orientation du champ électrique
résultant au point P situé au centre de la grille. (On désire exprimer la
réponse à l’aide des orientations cardinales indiquées ci-contre.)
P
P
P
La charge 1 génère un champ orienté NE; la charge
2 génère un champ orienté N; la charge 3 génère un
champ orienté NO. Les composantes des champs 1
et 3 selon la direction est-ouest s’annulent. Par
conséquent, le champ résultant au point P est
orienté vers le nord : N.
2
1
3
(d)
2
3
1
SO
NE
E
SE
S
Les charges négatives 1 et 4 génèrent des champs
orientés vers elles; les charges positives 2 et 3
génèrent des champs qui s’éloignent » d’elles. Par
symétrie, le champ électrique au point P est nul :
4 ainsi, il ne possède pas d’orientation!
2
1
3
2 P 4
3
O
La charge de gauche génère un champ orienté vers
elle, donc vers l’ouest; la charge de droite génère un
champ orienté vers elle, donc vers l’est. Comme la
charge de droite est la plus rapprochée du point P, le
champ qu’elle génère est plus grand. Ainsi, le
champ résultant est orienté vers l’est : E.
(b)
1
N
Au point P, la charge négative (rond creux) génère
un champ orienté vers elle, donc vers l’est (E); la
charge positive (rond plein) génère un champ qui
s’éloigne d’elle, donc vers le nord (N). Par
conséquent, le champ résultant est orienté vers le
nord-est : NE.
(a)
(c)
NO
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
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Page 5
Exercice
Exercice A : Un dipôle électrique. Un dipôle
Q1
est un groupe de deux charges de même module
mais de signes contraires séparées par une petite
0,5 × 10 −9 m
P
2 × 10 −9 m
distance. Considérons un dipôle de charges
−19
−19
Q1 = 4,8 × 10 C
et
Q2 = −4,8 × 10 C
0,5 × 10 −9 m
séparées verticalement par une distance de
0,5 × 10 −9 m (voir schéma ci-dessous). On désire
Q2
(a) évaluer le champ résultant au point P, (b) la
force électrique sur un proton placé en P, (c) la force électrique sur un électron placé en P.
(d) Où doit-on placer une 3ième charge e pour annuler le champ au point P. (e) Reprenez
(c) avec une charge de –e.
Solution
Exercice A : Un dipôle électrique.
Représentons graphiquement les vecteurs à évaluer :
y (m )
Q1 = 4,8 × 10 −19 C
Q1
0,5 × 10 −9 m
Q2 = −4,8 × 10
P x(m )
θ
et
−19
C
v
E2
0,5 × 10 −9 m
Q2
2
v
E1
2 × 10 −9 m
2
Voici nos données et nos mesures : ( r 2 = r1 = r2 )
r 2 = x2 + y2
tan (θ ) =
y
x
(
2
−9 2
) + (2 × 10 )
⇒
r 2 = 0,5 × 10 −9
⇒
r 2 = 4,25 × 10 −18 m 2
⇒
tan (θ ) =
⇒
θ = 14,04°
(0,5 × 10 )
(2 × 10 )
−9
−9
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Page 6
Évaluons le module du champ électrique produit par chacune des charges :
E=k
Q
r2
⇒
E1 = k
Q1
r1
2
(
= 9 × 10 9
) ((4,8 × 10 ))
4,25 × 10
−19
(Remplacer val. num.)
−18
E1 = 1,02 × 10 9 N/C
⇒
E 2 = E1 = 1,02 × 10 9 N/C
et
(car r1 = r2 , Q1 = Q2 )
v
v
Reconstruisons nos vecteurs E1 et E 2 à l’aide du module et le l’angle θ = 14,04° :
v
v
v
v
v
v
E = E cos(θ ) i + E sin (θ ) j ⇒
E1 = E1 cos(θ )i − E1 sin(θ ) j
(Respect schéma)
v
v
v
E1 = 0,9895 × 10 9 i − 0,2475 × 10 9 j N/C (Remplacer et calcul)
⇒
(
)
v
v
v
E 2 = − E 2 cos(θ )i − E 2 sin(θ ) j
(Respect schéma)
v
v
v
E 2 = − 0,9895 × 10 9 i − 0,2475 × 10 9 j N/C (Remplacer et calcul)
et
(
⇒
)
Évaluons le champ électrique total :
v
v
v v
v
E = ∑ Ei
⇒
E = E1 + E 2
i
v
v
E = −0,495 × 10 9 j N/C
⇒
(a)
Un proton possède une charge de e = 1,6 × 10 −19 C . Voici la force appliquée sur celui-ci au
point P :
v
v
v
v
F = qE
⇒
F = 1,6 × 10 −19 − 0,495 × 10 9 j
v
v
F = −7,92 × 10 −11 j N
⇒
(b)
(
)(
)
Un électron possède une charge − e = −1,6 × 10 −19 C . Voici la force appliquée sur celui-ci
au point P :
v
v
v
v
F = qE
⇒
F = − 1,6 × 10 −19 − 0,495 × 10 9 j
v
v
F = 7,92 × 10 −11 j N
⇒
(c)
(
)(
)
Pour avoir un champ électrique nul au point P, il faut ajouter une charge Q3 qui produira
v
un champ électrique E 3 et satisfaire l’équation suivante :
v
v
v
v
v
E1 + E 2 + E 3 = 0
⇒
E résultant + E 3 = 0
v
v
v
E 3 = − E résultant = 0,495 × 10 9 j N/C
⇒
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Page 7
v
E 3 et calculons la position de la
Appliquons la loi de Coulomb au champ électrique
charge :
v
Q
E 3 = k 23 r̂3
r3
⇒
Nous remarquons que :
v
rˆ3 = ± j
⇒
k
Q3
r3
2
v
rˆ3 = 0,495 × 10 9 j
Q3 est sous le point P ou au-dessus du point P.
Évaluons la distance entre la charge Q3 et le point P sachant que la charge est égale à
Q3 = 1,6 × 10 −19 C . Utilisons le module du champ électrique E 3 :
E3 = k
(d)
Q3
r3
2
= 0,495 × 10 9
Q3
0,495 × 10 9
r3 = k
⇒
r3 = 9 × 10 9
⇒
r3 = 1,706 × 10 −9 m
2
(
6 × 10 )
) 0(1,,495
× 10
−19
9
Q3 = 1,6 × 10 −19 C
Puisque la charge est positive, le
champ électrique point vers
l’extérieur de la charge. Puisque le
champ électrique
v au point P9 vpoint
vers le haut ( E 3 = 0,5 × 10 j ), il
faut que la charge soit placée sous
le point P à une distance de
1,706 × 10 −9 m .
(e)
2
⇒
y (m )
Q1
v
E3
−9
0,5 × 10 m
P
θ
x(m )
v
E2
0,5 × 10 −9 m
Q2
2 × 10 −9 m
v
E1
1,706 × 10 −9 m
Q3
Q3 = −1,6 × 10 −19 C
Puisque la charge est négative, le
champ électrique point vers
l’intérieur de la charge. Puisque
le champ électrique au point P
point
versv
le
haut
v
9
( E 3 = 0,5 × 10 j ), il faut que la
charge soit placée au-dessus du
point P à une distance de
1,706 × 10 −9 m .
y (m )
Q3
Q1
v
E3
−9
0,5 × 10 m
P
θ
v
E2
0,5 × 10 −9 m
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Q2
1,706 × 10 −9 m
x(m )
v
E1
2 × 10 −9 m
Page 8