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Développement : Théorème de Frobenius-Zolotarev
Alison BOCQUET, Elodie MAKOWSKI, Thibault GAUTHIER
Théorème de Frobenius-Zolotarev
Lecons Possibles :
– 152 : Déterminant. Exemples et applications.
Références :
– Objectif Agrégation. p251.
– Perrin. p74/75.
– Oraux X-ENS Alg2. p165.
Théorème 1. Soit p un nombre premier ≥ 3, et V un espace vectoriel de dimension finie n sur
Fp . Soit u ∈ GL(V ), si (u) désigne la signature de u en tant qu’élément de Spn , alors
det(u)
(u) =
p
a
Où
désigne le symbole de Legendre égal à 1 si a est un carré dans Fp , −1 sinon.
p
Démonstration. GL(V ) peut être interprété comme un sous-groupe de Spn , la signature induit
un morphisme de groupes de GL(V ) sur {−1, 1} par restriction. Le groupe dérivé D(GL(V )) de
GL(V ) engendré par les commutateurs [u, v] = uvu−1 v −1 , est un sous groupe distingué (Lemme 4)
de GL(V ) et vérifie D(GL(V )) ⊆ Ker(), donc.par le théorème de factorisation, on a, en notant Π
la projection canonique de GL(V ) sur GL(V ) D(GL(V )) :
=◦Π
Avec
.
GL(V
)
:
D(GL(V )) → {−1, 1}
On commence par montrer que
D(GL(V )) = SL(V )
On a facilement l’inclusion D(GL(V )) ⊆ SL(V ), car le déterminant est un morphisme de groupe
sur GL(V ).
On sait que SL(V ) est engendré par les transvections (lemme 1), donc il suffit de montrer que toute
transvection est un commutateur. Soit u ∈ GL(V ) une transvection :
u = Id + λEi,j
Avec i 6= j, alors
2
u2 = (Id + λEi,j )2 = Id + 2λEi,j + λ2 Ei,j
= Id + 2λEi,j
1 de 3
Comme p ≥ 3, alors la caractéristique de Fp est différente de 2, donc u2 est encore une transvection.
Or toutes les transvections de GL(V ) sont conjuguées (lemme 2), donc il existe v ∈ GL(V ), tel
que u2 = vuv −1 , soit encore u = vuv −1 u−1 , donc u est un commutateur. On a bien montré que
D(GL(V )) = SL(V ).
Par ailleurs, le morphisme surjectif det : GL(V ) → F∗p a pour noyau SL(V ) par définition. Par
.
∗
GL(V)
le théorème de factorisation, il existe det :
SL(V ) → Fp , isomorphisme tel que
det = det ◦ Π
−1
On obtient finalament un morphisme δ = ◦ det
est de montrer que δ est le symbole de Legendre.
: F∗p → {−1, 1}, tel que δ ◦ det = . Le but
On note d’abord que
·
: F∗p → {−1, 1}
p
est un morphisme multiplicatif non trivial. C’est un morphisme (lemme 3) et il est non trivial car il
vaut −1 sur les générateurs de F∗p (on sait que F∗p est cyclique). En effet : si g est un générateur de
p−1
F∗p , g est d’ordre p − 1, et si g était un carré, on aurait une écriture g = h2 , donc g 2 = hp−1 = 1,
ce qui contredirait le fait que l’ordre de g est p − 1. Comme F∗p est cyclique, tout morphisme de
groupes de F∗p sur {−1, 1} est déterminé par l’image d’un générateur : il n’y en a donc que deux,
qui sont le morphisme trivial et le symbole de Legendre.
Il reste à montrer que δ n’est pas le morphisme trivial. Comme V est un Fp espace vectoriel de
dimension n, on a
V ' Fnp ' Fpn = Fq
On prend g un générateur de F∗q , et on considère
Fq → Fq
φ:
x 7→ gx
φ est Fp -linéaire bijective, donc φ ∈ GL(V ), de plus φ est égal en tant que permutation au cycle
(1, g, g 2 , · · · , g q−2 ) qui est de longueur paire q − 1, donc (φ) = −1. Comme = δ ◦ det, on a
δ(det(φ)) = −1, et donc δ n’est pas le morphisme trivial. Finalement δ ne peut être que le symbole
de Legendre, d’où le résultat.
Lemme 1. SL(V ) est engendré par les transvections.
Démonstration. Pour i 6= j, λ ∈ F∗p , on note Tij (λ) = Idn + λEij , une transvection.
Notons que les matrices de transvections sont toutes dans SL(V ), le groupe qu’elles engendrent
est donc inclus dans SL(V ), la multiplication à gauche par une matrice de transvection revient
à effectuer l’opération élémentaire Li ← Li + λLj , et la multiplication à droite revient à faire
Cj ← Cj + λCi . Donc il est possible d’effectuer l’échange de deux lignes, car la multiplication à
gauche par Tij (1)Tji (−1)Tij (1) a pour effet de remplacer Li par Lj , et Lj par −Li .
Soit A ∈ GL(V ), en appliquant l’algorithme de Gauss nous allons transformer A en la matrice
identité, en utilisant uniquement des matrices de transvections. Comme A est inversible sa première
2 de 3
colonne est non nulle. Si ai1 6= 0, l’opération L1 ← L1 − a11ai1−1 Li permet de mettre un coefficient 1
en position (1, 1). Si tous les coefficients ai1 = 0, pour i ≥ 2, alors on échange les lignes L1 ← L2 ,
L2 ← −L1 , pour se ramener au cas précédent. En utilisant le coefficient (1, 1) comme pivot, une
succession d’opérations sur les lignes et les colonnes permet d’annuler tous les autres coefficients de
la première ligne et de la première colonne, autrement dit, il existe des matrices de transvections
M1 , · · · , Mp , et N1 , · · · , Nq , telles que
1 0
Mp · · · M1 AN1 · · · Nq =
0 A1
Où A1 ∈ GLn−1 (V ).
On recommence le même algorithme sur la matrice A1 et ainsi de suite. On aboutit à la fin à
la matrice diag(1, · · · , 1, det(A)) =, mais det(A) = 1, donc On vient de montrer qu’il existe des
matrices de transvections U1 , · · · , Ur , et V1 , · · · , Vs telles que
A = Ur · · · U1 V1 · · · Vs
Lemme 2. Les transvections de GL(V ) sont conjuguées.
Démonstration. Toutes transvections a pour polynôme caractéristique (X −1)n , elles ont donc pour
seule valeur propre 1 et leur polynôme caractéristique est scindé, elles ont donc toutes même forme
réduite de Jordan J. Soit M et N deux matrices de transvections, il existe P et Q dans GL(V ),
telles que M = P JP −1 , et N = QJQ−1 , alors
M = P Q−1 N QP −1
Lemme 3. Le symbole de Legendre est un morphisme.
Démonstration.
On commence par remarquer (Perrin p74/75) que
o
n
p−1
2
=
1
F∗2
=
x
∈
F
|x
p
p
p−1 2
Comme x 2
= xp−1 = 1, et que le polynôme X 2 − 1 admet deux racines qui sont 1 et −1,
alors pour tout x ∈ F∗p , on a soit x
pas un carré. Donc
q−1
2
= 1, lorsque x est un carré, soit x
q−1
2
= −1 lorsque x n’est
p−1
x
=x 2
p
Ainsi il s’agit bien d’un morphisme :
p−1
p−1 p−1
ab
a
b
2
2
2
= (ab)
=a b
=
p
p p
Lemme 4. Soit G un groupe, le groupe dérivié D(G) est distingué dans G.
Démonstration. Il s’agit de montrer que si g ∈ G et [x, y] = xyx−1 y −1 ∈ D(G) alors : g[x, y]g −1
appartient à D(G), or on a :
g[x, y]g −1 = (gxg −1 )(gyg −1 )(gx−1 g −1 )(gy −1 g −1 ) = [gxg −1 , gyg −1 ]
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