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D´eveloppement : Th´eor`eme de Frobenius-Zolotarev
Alison BOCQUET, Elodie MAKOWSKI, Thibault GAUTHIER
Th´eor`eme de Frobenius-Zolotarev
Lecons Possibles :
– 152 : D´eterminant. Exemples et applications.
R´ef´erences :
– Objectif Agr´egation. p251.
– Perrin. p74/75.
– Oraux X-ENS Alg2. p165.
Th´eor`eme 1. Soit pun nombre premier ≥3, et Vun espace vectoriel de dimension finie nsur
Fp. Soit u∈GL(V), si (u)d´esigne la signature de uen tant qu’´el´ement de Spn, alors
(u) = det(u)
p
O`u a
pd´esigne le symbole de Legendre ´egal `a 1si aest un carr´e dans Fp,−1sinon.
D´emonstration. GL(V) peut ˆetre interpr´et´e comme un sous-groupe de Spn, la signature induit
un morphisme de groupes de GL(V) sur {−1,1}par restriction. Le groupe d´eriv´e D(GL(V)) de
GL(V) engendr´e par les commutateurs [u, v] = uvu−1v−1, est un sous groupe distingu´e (Lemme 4)
de GL(V) et v´erifie D(GL(V)) ⊆Ker(), donc par le th´eor`eme de factorisation, on a, en notant Π
la projection canonique de GL(V) sur GL(V).D(GL(V)) :
=◦Π
Avec
:GL(V).D(GL(V)) → {−1,1}
On commence par montrer que
D(GL(V)) = SL(V)
On a facilement l’inclusion D(GL(V)) ⊆SL(V), car le d´eterminant est un morphisme de groupe
sur GL(V).
On sait que SL(V) est engendr´e par les transvections (lemme 1), donc il suffit de montrer que toute
transvection est un commutateur. Soit u∈GL(V) une transvection :
u= Id + λEi,j
Avec i6=j, alors
u2= (Id + λEi,j )2= Id + 2λEi,j +λ2E2
i,j = Id + 2λEi,j
1 de 3

Comme p≥3, alors la caract´eristique de Fpest diff´erente de 2, donc u2est encore une transvection.
Or toutes les transvections de GL(V) sont conjugu´ees (lemme 2), donc il existe v∈GL(V), tel
que u2=vuv−1, soit encore u=vuv−1u−1, donc uest un commutateur. On a bien montr´e que
D(GL(V)) = SL(V).
Par ailleurs, le morphisme surjectif det : GL(V)→F∗
pa pour noyau SL(V) par d´efinition. Par
le th´eor`eme de factorisation, il existe det : GL(V) .SL(V)→F∗
p, isomorphisme tel que
det = det ◦Π
On obtient finalament un morphisme δ=◦det−1:F∗
p→ {−1,1}, tel que δ◦det = . Le but
est de montrer que δest le symbole de Legendre.
On note d’abord que
·
p:F∗
p→ {−1,1}
est un morphisme multiplicatif non trivial. C’est un morphisme (lemme 3) et il est non trivial car il
vaut −1 sur les g´en´erateurs de F∗
p(on sait que F∗ pest cyclique). En effet : si gest un g´en´erateur de
F∗
p,gest d’ordre p−1, et si g´etait un carr´e, on aurait une ´ecriture g=h2, donc gp−1
2=hp−1= 1,
ce qui contredirait le fait que l’ordre de gest p−1. Comme F∗
pest cyclique, tout morphisme de
groupes de F∗
psur {−1,1}est d´etermin´e par l’image d’un g´en´erateur : il n’y en a donc que deux,
qui sont le morphisme trivial et le symbole de Legendre.
Il reste `a montrer que δn’est pas le morphisme trivial. Comme Vest un Fpespace vectoriel de
dimension n, on a
V'Fn
p'Fpn=Fq
On prend gun g´en´erateur de F∗
q, et on consid`ere
φ:Fq→Fq
x7→ gx
φest Fp-lin´eaire bijective, donc φ∈GL(V), de plus φest ´egal en tant que permutation au cycle
(1, g, g2,· · · , gq−2) qui est de longueur paire q−1, donc (φ) = −1. Comme =δ◦det, on a
δ(det(φ)) = −1, et donc δn’est pas le morphisme trivial. Finalement δne peut ˆetre que le symbole
de Legendre, d’o`u le r´esultat.
Lemme 1. SL(V)est engendr´e par les transvections.
D´emonstration. Pour i6=j,λ∈F∗
p, on note Tij (λ) = Idn+λEij , une transvection.
Notons que les matrices de transvections sont toutes dans SL(V), le groupe qu’elles engendrent
est donc inclus dans SL(V), la multiplication `a gauche par une matrice de transvection revient
`a effectuer l’op´eration ´el´ementaire Li←Li+λLj, et la multiplication `a droite revient `a faire
Cj←Cj+λCi. Donc il est possible d’effectuer l’´echange de deux lignes, car la multiplication `a
gauche par Tij (1)Tji(−1)Tij (1) a pour effet de remplacer Lipar Lj, et Ljpar −Li.
Soit A∈GL(V), en appliquant l’algorithme de Gauss nous allons transformer Aen la matrice
identit´e, en utilisant uniquement des matrices de transvections. Comme Aest inversible sa premi`ere
2 de 3

colonne est non nulle. Si ai16= 0, l’op´eration L1←L1−a11 −1
ai1Lipermet de mettre un coefficient 1
en position (1,1). Si tous les coefficients ai1= 0, pour i≥2, alors on ´echange les lignes L1←L2,
L2← −L1, pour se ramener au cas pr´ec´edent. En utilisant le coefficient (1,1) comme pivot, une
succession d’op´erations sur les lignes et les colonnes permet d’annuler tous les autres coefficients de
la premi`ere ligne et de la premi`ere colonne, autrement dit, il existe des matrices de transvections
M1,· · · , Mp, et N1,· · · , Nq, telles que
Mp· · · M1AN1· · · Nq=1 0
0A1
O`u A1∈GLn−1(V).
On recommence le mˆeme algorithme sur la matrice A1et ainsi de suite. On aboutit `a la fin `a
la matrice diag(1,· · · ,1,det(A)) =, mais det(A) = 1, donc On vient de montrer qu’il existe des
matrices de transvections U1,· · · , Ur, et V1,· · · , Vstelles que
A=Ur· · · U1V1· · · Vs
Lemme 2. Les transvections de GL(V)sont conjugu´ees.
D´emonstration. Toutes transvections a pour polynˆome caract´eristique (X−1)n, elles ont donc pour
seule valeur propre 1 et leur polynˆome caract´eristique est scind´e, elles ont donc toutes mˆeme forme
r´eduite de Jordan J. Soit Met Ndeux matrices de transvections, il existe Pet Qdans GL(V),
telles que M=P JP −1, et N=QJQ−1, alors
M=P Q−1NQP −1
Lemme 3. Le symbole de Legendre est un morphisme.
D´emonstration.
On commence par remarquer (Perrin p74/75) que
F∗2
p=nx∈Fp|xp−1
2= 1o
Comme xp−1
22
=xp−1= 1, et que le polynˆome X2−1 admet deux racines qui sont 1 et −1,
alors pour tout x∈F∗
p, on a soit xq−1
2= 1, lorsque xest un carr´e, soit xq−1 2=−1 lorsque xn’est
pas un carr´e. Donc
x
p=xp−1
2
Ainsi il s’agit bien d’un morphisme :
ab
p= (ab)p−1
2=ap−1 2bp−1 2=a
pb p
Lemme 4. Soit Gun groupe, le groupe d´erivi´e D(G)est distingu´e dans G.
D´emonstration. Il s’agit de montrer que si g∈Get [x, y] = xyx−1y−1∈D(G) alors : g[x, y]g−1
appartient `a D(G), or on a :
g[x, y]g−1= (gxg−1)(gyg−1)(gx−1g−1)(gy−1g−1)=[gxg−1, gyg−1]
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