Algèbre linéaire I - David Baumgartner

Algèbre linéaire I
David Baumgartner 1
23 décembre 2016
1. Université de Fribourg

Table des matières
1 Systèmes d’équation linéaire 2
1.1 Qu’est-ce que l’algèbre linéaire ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Algèbrelinéaire............................ 3
1.2.1 Équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Systèmes d’équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.3 Casgénéral.......................... 4
2 Ensembles, groupes, corps 7
2.1 Ensembles et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Groupes................................ 9
2.3 Anneauxetcorps........................... 13
2.3.1 Anneau ............................ 13
2.3.2 Corps ............................. 16
3 Espaces vectoriels, applications linéaires 18
3.1 Espacevectoriel............................ 18
3.2 Application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Bases ................................. 25
3.4 Espaces vectoriels quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Systèmes d’équations linéaires, Matrices, Déterminants 41
4.1 Méthode d’élimination de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Applications linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3 Matrices élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.4 Existence du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5 Valeurs propres, matrices triangularisables, réduction de Jor-
dan 66
5.1 Valeur propre, matrice diagonalisable . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6 Annexe 73
6.1 Relations d’équivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.2 Nombrescomplexes.......................... 74
1

Chapitre 1
Systèmes d’équation linéaire
1.1 Qu’est-ce que l’algèbre linéaire ?
Algèbre ↔résolution d’égalités, plus précisément d’égalités polynomiales.
Exemple 1.1. x2+y2= 1 (dans R)
Exemple 1.2. xy = 0
Exemple 1.3. xy = 1
Exemple 1.4. xn+yn=z2(dans Z, avec n∈N)
— cas n= 2 :x2+y2=z2, il existe des solutions, ce sont les triplets
Pythagoriciens. Par exemple, 32+ 42= 52.
— cas n≥3: il n’y a pas de solutions (Fermat-Wiles)
2

Théorème 1.5 (Dernier théorème de Fermat).Pour tout n≥3, il n’existe
pas d’entiers x, y, z tels que xn+yn=zn(Wiles et Taylor, 1995)
1.2 Algèbre linéaire
Résolution des équations polynomiales dans lesquelles l’on n’a pas de produit
de variables (c-à-d, xy,x2, etc). On appelle ces équations équations linéaires.
1.2.1 Équations linéaires
Exemple 1.6. 2x+ 3y= 1,x−y= 2,a1x1+a2x2=b(pour certains a1, a2
réels).
Dans le cas a1x2+a2x2=b,x1et x2sont des variables,a1et a2des
paramètres. En général, Pn
k=0 ak
|{z}
paramètre
xk
|{z}
variable
=b.
Exemple 1.7.
2x+ 3y= 1 (1.1)
on a l’ensemble des solutions S:=
|{z}
déf {(x, y)∈R|2x+ 3y= 1 }.
On veut expliciter l’ensemble des solutions, sans perdre d’informations (équi-
valences).
Exemple 1.8.
2x+ 3y= 1 ⇐⇒ 3y= 1 −2x⇐⇒ y=1−2x
3⇐⇒ y=−2 3x+1 3(1.2)
Or l’ensemble des solutions de (1.1) est équivalent à celui de (1.2). On en
déduit que l’ensemble des solutions décrit une droite, ici, par le point (x, y) =
(0; 1
3)et de pente −2 3.
1.2.2 Systèmes d’équation
Soit S0l’ensemble des solutions de l’équation x−y= 2, c’est-à-dire
S0:= {(x, y)∈R|x−y= 2 }
On cherche l’intersection S∩S0={(x, y)∈R|2x+ 3y= 1 ∧x−y= 2},
sans perdre d’informations.
Procédons par la méthode “naïve”.
3

2x+ 3y= 1
x−y= 2
⇐⇒ 2x+ 3y= 1
y=x−2
⇐⇒ 2x+ 3(x−2) = 1
y=x−2
⇐⇒ 5x−6 = 1
y=x−2
⇐⇒ x=7
5
y=x−2
⇐⇒ x=7
5
y=−3
5
L’ensemble S∩S0=(7
5;−3 5), car on a montré l’équivalence.
1.2.3 Cas général
Soient (a, b)∈R2,(a, b)6= (0,0), et α∈Rdans l’équation linéaire ax +by =
α, ainsi que (c, d)∈R2,(c, d)6= (0,0), et β∈Rdans l’EL cx +dy =β. L’en-
semble de leurs solutions sont respectivement S:= (x, y)∈R2|ax +by =α
et S0:= (x, y)∈R2|cx +dy =β.
Notation 1.9 (déterminant).
a b
c d =ad −bc
À quoi ressemble S∩S0?Il y a trois cas. 1. Set S0se coupent en un point
P. 2. Set S0sont parallèles et ne s’interceptent pas. 3. Set S0sont égales.
On note
S∩S0=(x, y)∈R2|ax +by =α∧cx +dy =β
On prend le système suivant
ax +by =α
cx +dy =β
∗
=⇒acx +bcy =αc
acx +ady =aβ
=⇒(ad −bd)y=aβ −αc
not.
⇐⇒ a b
c d y=a α c β 
(1.3)
* : attention, ce ne sont pas des équivalences !
On élimine ensuite y.
4