Correction DS No 7 1 ES2 Exercice 1 1. f 2. f Exercice 2 Exercice 3 1.

Correction DS N
o
7
1 ES2
Exercice 1
Soit f dénie sur [−5; 5] par f (x) = x3 + 3x2 − 9x + 2
1.
2.
f ′ (x) = 3x2 + 6x − 9
f ′ (x) est de la forme ax2 + bx + c avec a = 3, b = 6 et c = −9
√
∆ = b2 − 4ac = 62 − 4 × 3 × (−9) = 144 > 0 et 144 = 12
√
√
−b − ∆
−6 − 12
−b + ∆
−6 + 12
=
= −3 et x2 =
=
=1
On a donc deux racines x1 =
2a
2×3
2a
2×3
Comme a = 3 > 0 on a :
x
signe de f ′ (x)
−5
−3
+
0
1
0
−
5
+
29
var. de f
−3
3.
4.
157
@
@
R
@
−3
Le minimum de f sur [−5; 5] est −3 obtenu pour x = −5 et pour x = 1
et le maximum de f sur [−5; 5] est 157 obtenu pour x = 5.
Une équation de la tangente au point d'abscisse 0 est y = f ′ (0) × (x − 0) + f (0)
or f ′ (0) = −9 et f (0) = 2 donc
y = −9x + 2
5.
Une équation de la tangente au point d'abscisse −1 est y = f ′ (−1) × (x − (−1)) + f (−1)
or f ′ (−1) = −12 et f (−1) = 13 donc
y = −12(x + 1) + 13
y = −12x − 12 + 13
y = −12x + 1
Exercice 2
La variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres 10 et 0, 25.
1.
2.
3.
( )
10
p(X = 6) =
× 0, 256 × (1 − 0, 25)10−6 = 210 × 0, 256 × 0, 754
6
( )
( )
10
10
0
10−0
× 0, 251 × (1 − 0, 25)10−1
× 0, 25 × (1 − 0, 25)
+
p(X 6 1) = p(X = 0) + p(X = 1) =
1
0
p(X 6 1) = 0, 7510 + 10 × 0, 25 × 0, 759
E(X) = n × p = 10 × 0, 25 = 2, 5
Exercice 3
La variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres 35 et 0, 34.
2.
( )
( )
35
35
= 1 et
= 6724520
0
7
p(X = 5) ≈ 0, 00569
3.
p(X 6 7) ≈ 0, 05692
4.
p(X > 20) = 1 − p(X 6 19) ≈ 1 − 0, 99582612 ≈ 0, 00417
1.
Exercice 4
1.
On répète n = 20 fois de façon indépendante une épreuve de Bernoulli dont le succès est
S :"vivre en milieu urbain" de probabilité p = 0, 817. La variable aléatoire X qui compte le nombre
de succès suit donc une loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 0, 817.
(
20
k
)
× 0, 817k × 0, 18320−k pour 0 6 k 6 20
2.
p(X = k) =
3.
La probabilité(que exactement
10 personnes vivent en milieu urbain est
)
p(X = 10) =
4.
5.
20
10
× 0, 81710 × 0, 18310 = 184756 × 0, 8171 0 × 0, 18310 ≈ 0, 001.
La probabilité qu'au plus quatre personnes vivent en milieu urbain est p(X 6 4) ≈ 3, 6 × 10−9 ≈ 0
La probabilité que au moins 1 personne vive en milieu urbain est
(
)
p(X > 1) = 1 − p X > 1 = 1 − p(X < 1) = 1 − p(X = 0) car X ne prend que des valeurs entières.
(
)
20
or p(X = 0) =
× 0, 8170 × 0, 18320 = 0, 18320
0
donc p(X > 1) = 1 − 0, 18320 ≈ 1
Exercice 5
1.
2.
On répète n = 100 fois de façon indépendante une épreuve de Bernoulli dont le succès est
S :"le grille-pain est défectueux" de probabilité p = 0, 03. La variable aléatoire X qui compte le
nombre de succès suit une loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0, 03
La probabilité
( qu'il )y ait 2 grille-pains défectueux dans ce prélèvement est
p(X = 2) =
3.
× 0, 032 × 0, 9798 ≈ 0, 23
L'événement 96 grille-pain sont en bon état est l'événement 4 grille-pains sont défectueux donc la probabilité
qu'il y ait 96 grille-pain en bon état dans ce prélèvement est
)
(
p(X = 4) =
4.
100
2
100
4
× 0, 034 × 0, 9796 ≈ 0, 17
La probabilité de l'événement au moins 3 grille-pain sont défectueux est
(
)
p(X > 3) = 1 − p X > 3 = 1 − p(X < 3) = 1 − p(X 6 2) ≈ 1 − 0, 41977508 ≈ 0, 58
5. a.
b.
E(X) = n × p = 100 × 0, 03 = 3
Sur une très longue période de production, en moyenne on a 3 grille-pains défectueux sur 100
par jour.
P (X 6 3) ≈ 0, 65.
La probabilité qu'au plus 3 grille-pains soient défectueux est environ 0, 65
Exercice 6
On répète n = 15 fois de façon indépendante une épreuve de Bernoulli dont le succès est
S :"le passager oublie ses bagages" de probabilité p = 0, 004. La variable aléatoire X qui compte le nombre
de succès suit une loi binomiale de paramètres n = 15 et p = 0, 004
1. La probabilité que 2 passagers oublient leurs bagages est
(
)
p(X = 2) =
2.
15
2
× 0, 0042 × (1 − 0, 004)15−2 = 105 × 0, 0042 × 0, 99613 ≈ 0, 002
La probabilité qu'au moins 1 passager
oublie ses bagages est
(
)
p(X > 1) = 1 − p(X = 0) = 1 −
3.
15
0
× 0, 0040 × (1 − 0, 004)15−0 = 1 − 0, 99615 ≈ 0, 058
Le nombre moyen de passagers qui oublient ses bagages est E(X) = n × p = 15 × 0, 004 = 0, 06.