Leçon d`oral du CAPES de Mathématiques

Leçon 17 :
Équations du second degré à coefficients réels ou complexes
Clément Boulonne (pour l’oral du CAPES)
27 juin 2012 - Jury L de 15h35
Table des matières
1 Premières définitions et mise sous forme canonique 2
1.1 Définition d’une équation du second degré ................................ 2
1.2 Mise sous forme canonique ......................................... 2
2 Résolution dans Cdes équations du second degré à coefficients réels 3
2.1 Discriminant ................................................ 3
2.2 Résolution .................................................. 3
2.3 Exemples de résolution ........................................... 4
3 Applications 5
3.1 Nombres consécutifs ............................................ 5
3.2 Périmètre et diagonale d’un rectangle .................................. 5
3.3 Problème d’optimisation : aire maximale d’un rectangle (non présenté) ................ 6
3.4 Nombre d’or ................................................. 6
3.5 Intersection d’une parabole et une droite ................................. 7
4 Résolution d’équations du second degré à coefficients complexes 7
4.1 Résolution .................................................. 7
4.2 Un exemple ................................................. 8
Niveau :
–Première S (mise sous forme canonique, coef réels, résolution dans R);
–Terminale S (coef réels, résolution dans C);
–BTS groupement A (coef complexes).
Pré-requis :
–Nombres complexes : définition et propriétés ;
–Polynôme, trinôme ;
–Résolution d’équations ;
–Fonctions du second degré.
1

1 Premières définitions et mise sous forme canonique
1.1 Définition d’une équation du second degré
Définition 1. On appelle équation du second degré à coefficients réels (resp. complexes), une équation du type
ax2+bx +c= 0 avec (a, b, c)∈R3(resp. C3), a6= 0 (E)
Exemple 1. 2x2−3x+ 1 = 0 est une équation du second degré à coefficients réels.
1.2 Mise sous forme canonique
Théorème 1. Pour tout trinôme f:ax2+bx +cavec a6= 0 et (a, b, c)∈R3, il existe deux nombres αet βtels
que :
f(x) = a[(x−α)2−β].
Cette écriture est appelée forme canonique.
Note : Pendant ma présentation du plan au Jury, j’ai mis que les coefficeints (a, b, c)appartiennent à R3. Le
théorème est même valable pour (a, b, c)∈C3(avec toujours a6= 0).
Démonstration. Comme a6= 0, on peut écrire
ax2+bx +c=ax2+b
ax+c a.
On reconnaît le début du développement de x+b
2a2avec x2+b ax. En effet
x+b
2a2
=x2+b
ax+b 2a2
,
d’où
x2+b
ax=x+b 2a2
−b
2a2
.
Ainsi :
ax2+bx +c=a"x+b
2a−b2 4a2+c a#=a"x+b 2a2
−b2−4ac
4a2#
=a[(x−α)2−β]avec α=−b
2aet β=b2−4ac 4a2
Exemple 2. Mettre sous forme canonique 2x2−6x−1.
Solution. On a :
2x2−6x−1=2x2−3x−1
2.
x2−3xest le début du développement de x−3
22.
x−3
22
=x2−3x+9
4
x2−3x=x−3
22
−9
4.
2

Ainsi :
2x2−3x−1
2= 2 "x−3 22
−9
4−1 2#
= 2 "x−3
22
−11
4#.
et on trouve : α=3
2et β=11 4.
2 Résolution dans Cdes équations du second degré à coefficients réels
2.1 Discriminant
Définition 2. On appelle discriminant de l’expression ax2+bx +c, avec a6= 0, le nombre ∆ = b2−4ac.
2.2 Résolution
Théorème 2. Soit l’équation ax2+bx +c= 0, avec a6= 0, de discriminant ∆.
Si ∆>0l’équation a deux sollutions réelles distincts x1et x2:
x1=−b−√∆
2aet x2=−b+√∆ a
On a : ax2+bx +c=a(x−x1)(x−x2).
Si ∆=0 l’équation admet une solution x0=−b
2a.
Si ∆<0alors l’équation admet deux solutions complexes conjuguées :
x1=−b−i√−∆
2ax2=−b+ i√−∆ 2a.
Démonstration. Soit l’équation ax2+bx +c= 0 (avec a6= 0 et (a, b, c)∈R3). L’équation s’écrit :
a"x+b
2a2
−b2−4ac
4a2#= 0.
On pose ∆ = b2−4ac, elle s’écrit donc
a"x+b
2a2
−∆
4a2#= 0,
soit à résoudre :
x+b
2a
2
−∆
4a2!= 0
car a6= 0.
Si ∆>0alors ∆est le carré de √∆:
x+b
2a2
− √∆
2a!2
= x+b
2a+√∆ 2a! x+b 2a−√∆ 2a!.
L’équation s’écrit :
x+b
2a+√∆ 2a! x+b 2a−√∆ 2a!= 0.
Donc soit x+b
2a+√∆ 2a= 0 ou soit x+b 2a−√∆ 2a= 0 et ainsi :
x=−b−√∆
2aou x=−b+√∆ 2a.
3

Si ∆=0 alors x+b
2a2−∆
4a2= 0 s’écrit x+b
2a2= 0. Ce carré est nul si et seulement si, x+b 2a= 0, soit
x=−b
2a.
Si ∆<0pas de solutions réels mais en passnat par les complexes, ∆
4a2est le carré de i√−∆
2aet l’on revient au cas
∆>0.
2.3 Exemples de résolution
Exemples 3. 1. Résoudre 2x2−5x−4=0.
2. Résoudre, dans C,2z2+ 10z+ 25 = 0.
Solution. 1. Soit à résoudre 2x2−5x−4=0. Le discriminant de l’expression 2x2−5x−4est ∆ = 25+4×4×2 =
25 + 32 = 57 >0. Donc l’équation 2x2−5x−4=0admet deux solutions :
x1=5 + √57
4et x2=5−√57 4.
2. Soit à résoudre 2z2+ 10z+ 25 = 0. Le discriminant de l’expression 2z2+ 10z+ 25 est ∆ = 102−4×25 ×2 =
−100 <0. Il y a donc deux racines complexes :
z1=−10 + 10i
2×2=−5 2+5 2i = 5 2(−1 + i)
z2=−10 + 10i
2×2=−5 2−5 2i.
Ne nous arrêtons pas en si bon chemin. Calculons la forme exponentielle de z1et z2. Tout d’abord, on calcul
le module de z1et z2:
|z1|=|z2|=5
2q12+ (−1)2=5√2 2.
On calcule maintenant l’argument θ1de z1:
z1
|z1|= cos θ1+ i sin θ1= eiθ1=
5
2(−1 + i)
5
2√2=−√2
2+√2 2
donc :
cos θ1=−√2
2
sin θ1=√2
2)⇒θ1=3π
4(mod 2π).
Donc :
z1=5√2
2e3iπ/4.
Pour z2, son argument θ2est tel que :
z2
|z2|= cos θ2+ i sin θ2= eiθ2=
5
2(−1−i)
5
2√2=√2
2−√2 2i
donc
cos θ2=−√2
2
sin θ2=−√2
2)⇒θ2=−3π
4(mod 2π)
et ainsi,
z2=5√2
2e−3iπ/4.
4

3 Applications
3.1 Nombres consécutifs
Déterminer deux nomrbes entiers relatifs consécutifs dont la somme des carrés est 221.
Solution. On forme l’équation :
n2+ (n+ 1)2= 221 ⇔n2+n2+ 2n+ 1 = 221 ⇔2n2+ 2n+ 1 = 221
⇔2n2+ 2n−220 = 0 ⇔n2+n+ 110 = 0
Le discriminant de l’expression n2+n+ 110 est ∆ = 1 + 4 ×110 + 441 >0, d’où √∆ = √441 = 21 et il y a deux
solutions pour l’équation n2+n+ 110 = 0 :
n1=1 + 21
2= 11 et n2=1−21 2=−10.
3.2 Périmètre et diagonale d’un rectangle
Soit ABCD un rectangle dont la diagonale [BD]mesure 15 cm et le périmètre Pdu rectangle vaut 42 cm.
Quels sont les dimensions du rectangle ABCD ?
15 cm
PABCD = 45 cm
A B
CD
Solution. Soit Lla longueur du rectangle (ce qui correspond à la mesure du côté [AB]) et `la largueur du rectangle
(ce qui correspond à la mesure du côté [AD]). `et Lvérifient le système d’équations suivant :
2(`+L) = 42
`2+L2= 152(d’après le thm. de Pythagore)
(`, L ≥0, ` < L)⇔(`+L= 21
`2+L2= 152⇔(L= 21 −` `2+ (21 −`)2= 225 (2)
On résoud l’équation (2) :
(2) ⇔`2+ (21 −`)2= 225 ⇔`2+`2−42`+ 441 −225 = 0
⇔2`2−42`+ 216 = 0 ⇔`2−21`+ 108 = 0.
Le discriminant de l’expression `2−21`+ 108 est ∆ = 441 −432 = 9 >0donc √∆ = 3 et l’équation (2) admet
deux solutions :
(`1=21+3
2=24 2= 12
L1= 21 −12 = 9 et (`2=21−3
2=18 2= 9
L2= 21 −9 = 12.
Or L > `, donc les dimensions du rectangle ABCD sont `= 9 cm et L= 12 cm.
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