Trigonométrie dans un triangle rectangle
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Chapitre X Trigonométrie dans le triangle rectangle Activité : à l'aide du logiciel Geogebra.(enregistré dans le dossier travail) C Rappel : Dans un triangle rectangle, le côté en face de l'angle droit s'appelle l'hypoténuse Le côté BC est opposé à l'angle en A. Il est aussi adjacent à l'angle en C. B A Le côté BA est adjacent à l'angle en A Il est aussi opposé à l'angle en C Dans l'activité on a remarqué que pour un angle aigu donné dans un triangle rectangle, le rapport du côté adjacent à l'angle donné et de l'hypoténuse est constant. On a vu en 4ème que ce rapport constant ne dépend que de la valeur de l'angle et qu'on l'appelait le cosinus de l'angle. Maintenant on observe que le rapport du côté opposé à l'angle et de l'hypoténuse est lui aussi constant (on l'appellera le sinus de l'angle) Et enfin on observe aussi que le rapport du côté opposé et de du côté adjacent est lui aussi constant, il s'appellera la tangente de l'angle. I Lignes trigonométriques 3 formules s'annoncent grâce à l'activité ... écrivons les! longueur du côté ADJACENT à l ' angle  AB = longueur de l ' HYPOTENUSE AC longueur du côté OPPOSE à l ' angle  BC = sin  = longueur de l ' HYPOTENUSE AC longueur du côté OPPOSE à l ' angle  CB tan Â= = longueur du côté ADJACENT à l ' angle  AB cos Â= L'angle aigu s'exprime en degrés. Le cosinus d'un angle aigu est un nombre toujours compris entre 0 et 1. Le sinus d'un angle aigu est un nombre toujours compris entre 0 et 1. La tangente d'un angle aigu est un nombre positif. Attention on calcule le cosinus, ou le sinus ou la tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle nécessairement. Voici une astuce mnémotechnique pour retenir les 3 formules : SOH CAH TOA ou CAH SOH TOA S pour Sinus C pour Cosinus T pour Tangente O pour Opposé A pour Adjacent H pour Hypoténuse II Trigonométrie et calculatrices Attention, il faut toujours veiller à ce que la calculatrice soit en mode degré (et non en mode radian qui est une autre unité d'angle) 1) Pour trouver la valeur du cosinus d'un angle aigu (ou du sinus ou de la tangente) tan 30° ≈0,577 cos(60°)=0,5 sin 45 ° ≈0,707 attention aux signe environ égal si la valeur n'est pas exacte (dans ce cas on donne en général 3 décimales) 2) Pour trouver la mesure de l'angle en degré dont on connait le cosinus (ou le sinus ou la tangente) Trouver la mesure de l'angle aigu qui a pour cosinus 0,5, c'est 60° pour sinus 0,658 c'est environ 41° pour sinus 1,5 IMPOSSIBLE car supérieur à 1 pour tangente 1 on trouve 45° III Utilisation des lignes trigonométriques 1) Pour trouver la longueur d'un côté dans un triangle rectangle Les données : « 1 côté et 1 angle » permettent de trouver la mesure d'un autre côté Exemples : a) Dans le triangle ABC rectangle en B on sait que AB= 5 cm et l'angle de sommet C mesure 45 ° Trouver AC dessin à main levée codé (indiquer ce que l'on cherche en couleur) Puisque le triangle est rectangle en B, je peux utiliser la trigonométrie. AB sin C = AC Je remplace par les valeurs connues sin 45 °= ( 5 AC sin 45 ° 5 = ¿ ) 1 AC grâce à une 4ème proportionnelle on trouve AC = 1×5 ≈ 7,07 cm sin 45° b) Dans le triangle DEF rectangle en D, on sait que DF=4 cm et l'angle de sommet F mesure 30° Trouver DE (faire le dessin à main levée) Dans le triangle DEF rectangle en D, j'utilise la trigonométrie DE tan F = DF En remplaçant par les valeurs connues : tan 30 °= Donc DE = DE 4 4×tan 30 ° ≈ 2,31 cm 1 2) Pour trouver la mesure d'un angle aigu dans un triangle rectangle Les données : 2 côtés permettent de trouver la mesure d'un angle aigu Exemple1 : Dans le triangle BOY rectangle en Y, BO= 5 cm et OY= 4 cm, trouver la mesure de l'angle en ^B dessin à main levée au tableau derrière SOH CAH TOA (ici on cherche l'angle en B, on connaît le côté [BO] (Hyp) et le côté [YO] Opposé à l'angle en ^B , donc on utilise la formule SOH) Dans le triangle BOY est rectangle en Y, j'utilise la trigonométrie : YO sin B= (Opposé sur Hypoténuse) BO on remplace par les valeurs connues 4 =0,8 On a le sinus de l'angle ^B qui vaut 0,8, donc en sin B= 5 utilisant la touche sin1 de la calculatrice, on trouve ¿ B≈53° (arrondi au degré près ou à l'unité) Exemple 2 Dans le triangle IJK rectangle en K, on a IK=7 m et JK=6 m, trouver la mesure de l'angle en J ( on cherche ^J, on connaît IK Opposé, on connait KJ Adjacent on utilise TOA) Dans le triangle IJK rectangle en K, tan J = IK KJ 7 6 On remplace : tan J = ≈1,167 Remarque : si on trouve une valeur approchée 3 décimales sont nécessaires! En tapant à la calculatrice tan1 1,167 ; on trouve J ≈ 49,4 ° Remarque : Si on avait pris 1,2 pour tan^J, on trouve J environ 50° paragraphe IV Propriétés Activité sur le tableur Il semble d'après cette activité que , Formule 1: tan x = sin x cos x Attention il n'est pas possible de diviser par 0!!! La formule ne sera valable que pour les valeurs de x qui ne rendent pas nul cos(x) Formule 2 : 2 2 cos x sin x =1 En fait on écrit 2 2 cos xsin x =1 Démonstration : schéma au tableau à reproduire Je pars du membre de droite et je vais le transformer jusqu'à arriver au membre de gauche AC sin x CB AC CB AC = = × = =tan x cos x AB CB AB AB CB Qu'il Fallait Démontrer ) cqfd (Ce
