SMP4-MQ-Semaine-23 Mars-2020-CHAPITRE III FORMALISME MATHEMATIQUE DE MECANIQUE

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CHAPITRE III: FORMALISME MATHEMATIQUE DE
LA MECANIQUE QUANTIQUE
I- Introduction
L’état quantique d’un corpuscule est caractérisé par une fonction d’onde (,t), qui contient
toutes les informations qu’il est possible d’obtenir sur le corpuscule.  représente
la probabilité de trouver à l’instant t la particule dans un volume  autour de r .
L’ensembles des fonctions d’ondes est un sous ensemble de l’ensemble des fonctions de carré
sommable (noté L2 espace de Hilbert).
 (,t) est partout définie continue, et en général infiniment dérivable.
 Il existe des systèmes physiques dont la description quantique ne peut pas se faire à
partir d’une fonction d’onde (par exemple si on tient compte du spin de la particule) d’où
l’introduction d’un vecteur d’état  l’espace des états E.
Dans le prochain paragraphe, nous allons développer le produit vectoriel dans l’espace E.
II- II-Espace des états. Notations de Dirac
1- Vecteurs ‘kets’ et vecteurs ‘bras’
Un élément de E noté ‘ >’ appelé vecteur ket.
Chaque fonction (,t)  >.
* > Er : l’espace des états d’une particule sous spin.
 L’ensemble des fonctionnelles linéaires définies sur E constitue un espace vectoriel
appelé dual E noté E* ses éléments sont des bras notés ‘< ’.

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 A chaque ket  > on fait correspondre un bra < , la réciproque n’est pas toujours
vraie.
 <> = <>*.
 Si A est un opérateur linéaire :
’> = A > < ’= < A+.
Où A+ étant l’opérateur adjoint (le conjugué hermitique).
 <A>* = <A+>.
III- Représentation dans l’espace des états.
1- Définition
Choisir une représentation à choisir une base orthonormée (discrète ou continue).
2- Relations de Fermeture et d’orthonormalisation
 Relation d’orthonormalisation
 : 
 : 
 Relation de Fermeture
3- Représentation des kets et des bras
 ket

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Avec :   
Discret continue
Ci =   C() =  
 bra
 (
 (
4- Représentation d’opérateurs
Les éléments de matrice d’un opérateur A linéaire, dans une base  soit donnés par :
Dans le cas d’une base continue :
5- Changement de bases
Si on passe de la base  à la base , cherchons les relations de passage entre les
éléments de matrices A, calculés dans chacune de ces deux bases.
Posons :  

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Et  
 Les coefficients du ket : ’> = A >
Si 
Calculons Cj en fonction des dk tq :  
D’où :  
IV- Equations aux valeurs propres. Observables
1- Valeurs propres et vecteurs propres d’un opérateur
a- Définition
On dit que le ket   est un vecteur propre de A avec la valeur propre  si seulement si :
   (*)
Où  est une quantité complexe quelconque.
b- Equation caractéristique
Soit  une base de l’espace des états
L’équation (*)   
Si on suppose que  
det(A -  I) = 0 : est l’équation caractéristique de l’opérateur A.
Avec I : étant la matrice identité dont les éléments de la matrice .
Soit 0 une solution de cette équation avec la multiplicité q.

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Remarque: le degré de dégénérescence g0 de 0 est égal : (l’ordre de la matrice N) – (le
nombre d’équations linéairement indépendantes).
Qu’en général g0 ≤ q.
Dans le cas d’un operateur hermitique g0 = q.
Donc ’’A hermitique A est diagonalisable’’
2- Observables
a- Propriétés des valeurs propres et vecteurs propres d’un opérateur hermitique
 Si      
Et   
  (avec  )
 donc  est réelle
 Si    et 
Si   et   ’
En effet:
 (*= et  )
b- Définition d’une observable
i-Si dimension E est finie on peut construire une base orthonormée à partir des vecteurs
propres d’un opérateur hermitique. Si la dimension E est infinie, une telle construction n’est
pas toujours possible. C’est pour cela qu’on introduit la notion d’observable.