SMP4-MQ-Semaine-23 Mars-2020-CHAPITRE III FORMALISME MATHEMATIQUE DE MECANIQUE

CHAPITRE III: FORMALISME MATHEMATIQUE DE
LA MECANIQUE QUANTIQUE
I-
Introduction
L’état quantique d’un corpuscule est caractérisé par une fonction d’onde ( ,t), qui contient
toutes les informations qu’il est possible d’obtenir sur le corpuscule. 
la probabilité de trouver à l’instant t la particule dans un volume
représente
autour de r .

L’ensembles des fonctions d’ondes est un sous ensemble de l’ensemble des fonctions de carré
sommable (noté L2 espace de Hilbert).

( ,t) est partout définie continue, et en général infiniment dérivable.

Il existe des systèmes physiques dont la description quantique ne peut pas se faire à
partir d’une fonction d’onde (par exemple si on tient compte du spin de la particule) d’où
l’introduction d’un vecteur d’état  l’espace des états E.
Dans le prochain paragraphe, nous allons développer le produit vectoriel dans l’espace E.
II-
II-Espace des états. Notations de Dirac
1-
Vecteurs ‘kets’ et vecteurs ‘bras’
Un élément de E noté ‘ >’ appelé vecteur ket.
Chaque fonction ( ,t)  >.
* > Er : l’espace des états d’une particule sous spin.

L’ensemble des fonctionnelles linéaires définies sur E constitue un espace vectoriel
appelé dual E noté E* ses éléments sont des bras notés ‘< ’.
1

A chaque ket  > on fait correspondre un bra < , la réciproque n’est pas toujours
vraie.

<> = <>*.

Si A est un opérateur linéaire :
’> = A >
< ’= < A+.
Où A+ étant l’opérateur adjoint (le conjugué hermitique).

<A>* = <A+>.
III- Représentation dans l’espace des états.
1-
Définition
Choisir une représentation
à choisir une base orthonormée (discrète ou continue).
2-
Relations de Fermeture et d’orthonormalisation

Relation d’orthonormalisation

:


:

Relation de Fermeture


3-


Représentation des kets et des bras
 ket




2
Avec : 



Discret
continue

Ci =

C( ) =
 bra

( 


4-

( 
Représentation d’opérateurs
Les éléments de matrice d’un opérateur A linéaire, dans une base 
soit donnés par :
 
 







 
Dans le cas d’une base continue :
5-
Changement de bases
Si on passe de la base 
à la base 
, cherchons les relations de passage entre les
éléments de matrices A, calculés dans chacune de ces deux bases.
 
Posons :


 

 



3
Et

Les coefficients du ket : ’> = A >
Si



 
 
Calculons Cj en fonction des dk tq : 




D’où :
IV- Equations aux valeurs propres. Observables
1-
Valeurs propres et vecteurs propres d’un opérateur
a-
Définition
On dit que le ket 
est un vecteur propre de A avec la valeur propre  si seulement si :


(*)
Où  est une quantité complexe quelconque.
bSoit 
Equation caractéristique
une base de l’espace des états
 
L’équation (*)
Si on suppose que 





det(A -  I) = 0 : est l’équation caractéristique de l’opérateur A.
Avec I : étant la matrice identité dont les éléments de la matrice
Soit 0 une solution de cette équation avec la multiplicité q.
4

.
Remarque: le degré de dégénérescence g0 de 0 est égal : (l’ordre de la matrice N) – (le
nombre d’équations linéairement indépendantes).
Qu’en général g0 ≤ q.
Dans le cas d’un operateur hermitique g0 = q.


Donc ’’A hermitique
A est diagonalisable’’
2-
Observables
a-
Propriétés des valeurs propres et vecteurs propres d’un opérateur hermitique

Si 

 
 
Et









(avec
)
donc  est réelle
Si 
Si 




et 

et
 
’

En effet:
 


  

 



(*= et
 
  
)

b-
Définition d’une observable
i-Si dimension E est finie
on peut construire une base orthonormée à partir des vecteurs
propres d’un opérateur hermitique. Si la dimension E est infinie, une telle construction n’est
pas toujours possible. C’est pour cela qu’on introduit la notion d’observable.
5
ii- Définition : soit A un opérateur hermitique de valeurs propres an associées aux vecteurs
propres 
gn est la dégénérescence de an.

si
constitue une base orthonormée de E
On dit que A est une observable. Et on a

 
.
iii- Remarques

Les gn vecteurs 
qui engendrent le sous espace En sont orthonormés
projecteur s’écrit ainsi :




 


 



Si le spectre est constitué d’une partie discrète et une partie continue
avec
3-



 
Exemples
L’espace des états E engendré par la base orthonormée 
Soit A un opérateur représenté matriciellement dans 
6

; dimension E=2.
par la matrice :
le
A est hermitique
toutes les valeurs propres sont réelles.
 Calculons; les valeurs propres de A :

det(A-I)=0



D’où: 
 Vecteurs propres de A :
Posons : 
et 
les vecteurs propres de A associés respectivement aux valeurs
propres  et  tels que : 







un facteur de phase près :


La même procédure pour le calcul de 
:



constitue, ainsi, une base orthonormée de E.
Relation de fermeture : 
En effet, soit 


On pourra vérifier que






quelconque.
7

Montrons que : 




D’où:





 


Or 










et 
 







8

