Ultrabac Terminale S - Premier exercice Pondichéry avril 2010

Ultrabac Terminale S – Premier exercice du sujet Pondichéry avril 2010 Page 1 sur 4
Partie A - Restitution organisée des connaissances
Soient a et b deux réels tels que
a b
<
.
f et g sont deux fonctions continues sur l'intervalle
[
]
a; b
.
On suppose connus les résultats suivants :
1. Linéarité de l'intégrale :
( ) ( )
( )
( ) ( )
b b b
a a a
f t g t .dt f t .dt g t .dt
+ = +
∫ ∫ ∫
2. Positivité de l'intégrale : si pour tout
[
]
t a; b
∈ ,
(
)
f t 0
≥
alors
( )
b
a
f t .dt 0
≥
∫
En utilisant ces deux résultats, montrer que :
Si pour tout
[
]
t a; b
∈ , on a
(
)
(
)
f t g t
≤ alors
( ) ( )
b b
a a
f t .dt g t .dt
≤
∫ ∫
Soient f et g deux fonctions continues sur
[
]
a; b
telles que pour tout t de cet intervalle :
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
t
f t g t donc g t f t 0
ϕ
≤ − ≥
Ainsi, nous notons ϕ la fonction définie sur l'intervalle
[
]
a;b
par :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
g t t f
g t f t
t
t⇔ = ϕϕ+= −
ϕ est continue sur
[
]
a;b
car elle est la différence de deux fonctions continues sur
[
]
a;b
.
De plus, ϕ étant positive ou nulle sur l'intervalle
[
]
a;b
, la propriété 2 lui applicable.
Donc l'intégrale
( )
b
a
t .dt
ϕ
∫
est positive ou nulle. Or :
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
Pro
Quantité positive
o
priété : linéarité de l'intégrale
u null
b b b
e
b
a a a a
g t .dt t f t .dt t .dt f t .dt
= ϕ + = ϕ +
∫ ∫ ∫ ∫
1
Nous en déduisons :
( ) ( )
b b
a a
f t .dt g t .dt
≤
∫ ∫
Partie B - Etude d'une suite d'intégrales
Soit n un entier naturel non nul.
On appelle
f
n
la fonction définie sur
[
[
0;
+∞
par :
( )
(
)
f x ln 1 x
= +
n
n
On pose également :
( )
( )
1 1
0 0
ln 1 x .dx f x .dx
= + =
∫ ∫
n
n n
I
On note
C
n
la courbe représentative de
f
n
dans un repère orthonormal
(
)
O; ,
i j
.
1.a) Déterminer la limite de
1
f
en
+∞
.
La fonction
1
f
est définie sur l'intervalle
[
[
0;
+∞
par :
(
)
(
)
1
f x ln 1 x
= +
Quand x tend vers
+∞
,
( ) ( )
1
x 1 tend vers +
donc f x ln x 1 tend vers +
+ ∞
= + ∞
1.b) Etudier les variations de la fonction
1
f
sur
[
[
0;
+∞
.
Sur l'intervalle
[
[
0;
+∞
, la fonction
1
f
est la composée suivante :
[ [
(
)
[ [ ] [
( )
[ [
0; 1;
u t t 1 Ln
Strictement croissante Strictement croissante
sur sur 0;
0;
x x 1 ln 1 x
∈ +∞ ∈ +∞
= +
+∞
∈ +∞
→  
+
→+
Donc la fonction
1
f
est strictement croissante sur l'intervalle
[
[
0;
+∞
.
Une autre méthode en dérivant la fonction f
1
La fonction
1
f
est de la forme
(
)
ln u
où
(
)
( )
] [
u x 1 x
u x 1
Dérivable et positive sur 1;
′= +
=
− +∞
Donc la fonction
1
f
est dérivable sur
[
[
0;
+∞
et pour tout réel x de cet intervalle, on a :
( )
1
u 1
f x u x 1 =
′
′= = +
=
⊕
⊕
⊕
Comme sa dérivée est strictement positive sur
[
[
0;
+∞
, alors la fonction
1
f
est
croissante sur le dit intervalle.

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1.c) A l'aide d'une intégration par parties, calculer
1
I
.
Pour ce calcul, on pourra utiliser le fait que pour tout
[
]
x 0;1
∈ , on a :
x 1
1
x 1 x 1
= −
+ +
D'après l'énoncé, l'intégrale
1
I
est donnée par :
( )
1
1
0
ln 1 x .dx
= +
∫
I
La formule sur laquelle repose la technique d'intégration par parties est :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1
0
0 0
u x v x .dx u x v x u x v x .dx
′ ′
× = × − ×
∫ ∫
où u et v sont deux fonctions dérivables sur l'intervalle
[
]
0;1
. Dans le cas présent :
(
)
( )
u x 1
u x x
Dérivable sur
′=
=
(
)
(
)
( ) ( )
] [
v x ln x 1
v x 1 / x 1
Dérivable sur 1;
= +
′= +
− +∞
Procédons à l'intégration par parties :
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1
1
10
0 0
1 1
0 0
1
1 ln x 1 .dx x ln x 1 x .dx
x 1
x x
1 ln 2 0 ln 1 .dx ln 2 .dx
x 1 x 1
= × + = × + − ×
  +
= × − × − = −
+ +
∫ ∫
∫ ∫
I
A présent, tout le problème est de calculer la valeur de l'intégrale
1
0
x
.dx
x 1+
∫
.
Une certaine fraction peut être décomposée. Pour tour réel
x 1
≠ −
, nous pouvons écrire :
x x 1 1 1
1
x 1 x 1 x 1 x 1
+ −
= + = −
+ + + +
Il vient alors :
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1 1
1
0
0 0
x 1
.dx 1 .dx x ln 1 x 1 ln 2 0 ln 1 1 ln 2
x 1 x 1
= − = − + = − − − = −
+ +
∫ ∫
Nous en concluons :
( ) ( ) ( )
( )
( )
1
1
0
x
ln 2 .dx ln 2 1 ln 2 2.ln 2 1
x 1
= − = − − = −
+
∫
I
2.a) Montrer que pour tout entier naturel non nul n, on a :
(
)
0 ln 2
≤ ≤
n
I
Commençons par encadrer
(
)
f x
n
sur l'intervalle
[
]
0;1
.
[
]
[ [
( )
( )
( )
] [
Puissance
1
La fonction puissance
-ième est croissante sur 0;
On a ajouté 1 à tout le monde
Ln est croissante sur 0
1
Ln
;
ln
x 0;1 0 x 1 0 x 1
0 x 1 1 1 x 2 0 ln 1 x ln 2
+∞
+
+∞
∈ ⇒ ≤ ≤ ≤ ≤
⇒ ≤
⇒
≤ ≤ + +⇒≤ ≤⇒≤
n
n n n
n n n
n
En application du théorème de l'inégalité de la moyenne appliqué sur l'intervalle
[
]
0;1
à
l'inégalité
(
)
( )
0 ln 1 x ln 2
≤ + ≤
n
, il vient alors :
( )
( )
( ) ( ) ( )
1
0
0 1 0 ln 1 x .dx ln 2 1 0 0 ln 2
× − ≤ + ≤ × − ⇔ ≤ ≤
∫
n
n
I
2.b) Etudier les variations de la suite
(
)
n
I
.
Soit n un entier naturel non nul quelconque.
Sur l'intervalle
[
]
0;1
, la différence
( )
ou
1
0
ou 0
x x x x 1
+
− = × −
n n n
⊕
⊖
est négative ou nulle.
Donc, pour tout réel
[
]
x 0;1
∈ , nous avons :
] [
(
)
(
)
Ces deux quantités
sont supérieures
1 Ln
Croissante
s
à 1
1 1
ur 0
n 1
;
x x 1 x 1 x ln 1 x ln 1 x
+
∞
+
+
++
≥ + ≥→ + +→≥ +
n n n n n
En intégrant cette dernière inégalité sur l'intervalle
[
]
0;1
, il vient alors :
( ) ( )
1 1
1
1
0 0
ln 1 x .dx ln 1 x .dx
+
+
+ ≥ + ⇔ ≥
∫ ∫
n n
n n
I I
Conclusion : la suite
(
)
n
I
est décroissante...strictement.
Et même
strictement
croissante

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2.c) En déduire que la suite
(
)
n
I
est convergente.
Comme la suite
(
)
n
I
est strictement décroissante et est minorée par 0, alors elle
converge vers une limite finie.
3. Soit g la fonction définie sur l'intervalle
[
[
0;
+∞
par :
(
)
(
)
g x ln 1 x x
= + −
3.a) Etudier le sens de variation de g sur
[
[
0;
+∞
.
Sur l'intervalle
[
[
0;
+∞
, la fonction g peut s'écrire comme étant la différence :
(
)
(
)
(
)
1
g x ln 1 x x f x x
= + − = −
Comme les fonctions
1
f
et x sont dérivables sur
[
[
0;
+∞
, alors il en va de même pour
leur différence g. Et pour tout réel positif ou nul x, nous avons :
( ) ( )
1
1 x 1 x
g x f x 1
x 1 x 1 x 1
+ −
′
′= − = − =
+ + +
Une autre méthode pour déterminer la limite non demandée de g en +∞
∞∞
∞
Pour tout réel positif x, nous pouvons écrire :
( ) ( ) ( )
( )
x
x x x
1 x 1 x
g x ln 1 x x ln 1 x ln e ln ln
e e e
+
= + − = + − = = +
Quand x tend vers
+∞
,
x
x
x x
e
e et s'envolent vers + ,
x
1 x 1
donc leurs inverses et tendent vers
0
e e
+
∞
=
+∞
( )
x x x
1 x 1 x
Le quotient tend vers 0 0 0
e e e
Donc le logarithme g x tend vers
+ + +
+= + + =
− ∞
3.b) En déduire le signe de
(
)
g x
sur
[
[
0;
+∞
.
Montrer que pour tout entier naturel non nul n, et pour tout réel x positif, on a :
(
)
ln 1 x x
+ ≤
n n
Comme la fonction g est strictement décroissante sur l'intervalle
[
[
0;
+∞
et qu'elle est
nulle en 0, alors son tableau de signe est :
Il vient alors que pour tout réel
[
[
t 0;
∈ +∞
, nous avons :
(
)
(
)
(
)
g t 0 ln 1 t t 0 ln 1 t t
≤ ⇔ + − ≤ ⇔ + ≤
 La puissance n-ième de tout réel positif ou nul est elle-même positive ou nulle.
Autrement dit, si le réel x appartient à l'intervalle
[
[
0;
+∞
, alors il en va de même pour
sa puissance
t x
=
n
.
Par conséquent, si
[
[
x 0;
∈ ∞
alors l'inégalité précédente est applicable au réel
t x
=
n
.
Il vient alors :
( )
ln 1 t t ln 1 x x
+ ≤ ⇔ + ≤
n n
3.c) En déduire la limite de la suite
(
)
n
I
.
La question précédente nous a appris que pour tout réel
[
[
x 0;
∈ +∞
, nous avions :
(
)
ln 1 x x
+ ≤
n n
Intégrons cette inégalité sur l'intervalle
[
]
0;1
. Il vient alors :
( )
1 1
0 0
ln 1 x .dx x .dx
+ ≤
∫ ∫
n n
Calculons l'intégrale constituant le membre de droite.
Une primitive sur  de
x
n
est la fonction
1
x
1
+
+
n
n
.
x 0 +∞
x
−
–
x 1
+
+
(
)
g x
′
–
0
Le tableau de variation de la fonction g est celui
ci-contre 
(
)
(
)
g 0 ln 1 0 0 0 0 0
= + − = − =
( ) ( )
( )
( )
( )
x x
1
ln 1
ln x x
lim g x lim x 1
x x
0
0 1
0 0 1
→+∞ →+∞
+
+
+ +
+
= × + −
= +∞ × + −
+∞
= +∞ × + − = −∞
g
−∞
x 0 +∞
(
)
g x
0 –
t ou x : le nom
de la variable
importe peu

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Ainsi :
11
1
0
0
1 1 1 1
x .dx x 1 0
1 1 1 1
+
= × = × − × =
+ + + +
∫
n n
n n n n
Nous en déduisons que pour tout entier naturel non nul n, nous avons :
1
0
1
≤ ≤
+
n
n
I
Finalement, comme
1
lim 0
1
+
→+∞
=
+
n
n
, alors en application du théorème des gendarmes,
nous en concluons :
lim 0
+
→+∞
=
n
n
I
Sur la figure ci-dessous, on a tracé les courbes
1 2 3 7 12 50
C , C , C , C , C et C
représentant
respectivement les fonctions
1 2 3 7 12 50
f , f , f , f , f et f
dans un repère orthonormé où une
unité graphique vaut dix centimètres.
Plus n devient grand, plus la surface comprise entre la courbe
C
n
et l'axe des abscisses est
réduite. Normal, car la suite d'intégrales
(
)
n
I
converge vers 0.
x
y
0
0,5
1
0
0,5
1
f
1
f
2
f
3
f
7
f
12
f
50
ln(2)
La partie gauche est une
réminiscence de la question 2.a