Exercices ccp (probabilités)

Exercices ccp (probabilités)
Exercices intéressants : 96, 97, 98, 99, 100, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 109,
111.
EXERCICE 96
Une urne contient deux boules blanches et huit boules noires.
1. Un joueur tire successivement, avec remise, cinq boules dans cette urne.
Pour chaque boule blanche tirée, il gagne 2 points et pour chaque boule
noire tirée, il perd 3 points.
On note Xla variable aléatoire représentant le nombre de boules blanches
tirées.
On note Yle nombre de points obtenus par le joueur sur une partie.
(a) Déterminer la loi de X, son espérance et sa variance.
(b) Déterminer la loi de Y, son espérance et sa variance.
2. Dans cette question, on suppose que les cinq tirages successifs se font sans
remise.
(a) Déterminer la loi de X.
(b) Déterminer la loi de Y.
Que des probas finies. Intéressant, pas si facile. Le début (tirage sans remise,
loi binomiale est simple. La suite (tirage sans remise, loi hypergéométrique)
est moins évident. Le corrigé « officiel » prend pour acquis le fait que le tirage
sans remise équivaut au tirage simultané. Dans certains livres (S. Méléard par
exemple) on pense qu’il faut le démontrer. Méfiance, donc !. Très bon exercice
sur les modéles d’urnes, donc.
1.a. Les tirages sont implicitement supposés indépendants. Définissons Zi= 1
si le joueur tire une boule blanche au i-ème tirage, Zi= 0 sinon. Chaque Zisuit
une loi de Bernoulli B(1/5) ; comme X=Z1+Z2+. . . +Z5,Xsuit une loi
binomiale B(5,1/5). Son espérance est égale à 1, sa variance à 4/5.
1.b. On a
Y= 2X−3(5 −X) = 5(X−3)
L’ensemble des valeurs prises par Yest {−15,−10,−5,0,5,10}et la loi de X
sur cet ensemble est définie par les probabilités élémentaires
P(Y= 5(k−3)) = 5
k4 55−k1 5k
(0 ≤k≤5)
1

formules bien sûr inutiles pour calculer l’espérance de Y(−10) et sa variance
(20).
2.a. Xpeut prendre les valeurs 0,1,2. On a
P(X= 0) = 8
10
7
9
6
8
5
7
4
6
(formule des probabilités composées)
P(X= 1) = 5 ×2
10
8
9
7
8
6
7
5
6
(même formule, on remarque facilement que la probabilité de tirer une boule
blanche une fois seulement, au i-ème tirage, ne dépend pas de i). Et donc, de
même,
P(X= 2) = 5
22 10
1
9
8
8
7
7
6
6
ce qui donne les trois probabilités respectives 2
9,5 9,2 9. On peut aussi remarquer
que
P(X=k) = 5
k
2!
(2 −k)!
8!
(8 −(5 −k))!
10!
(10 −5)!
Quant au corrigé officiel, il semble indiquer que l’on peut tenir pour évident le
fait que le tirage sans remise équivaut au tirage simultané. Ce qui est discutable,
mais serait sans doute accepté par l’examinateur, et donnerait
P(X=k) = 2
k 8 5−k
10
5
2.b. Avec les probabilités respectives 2
9,5 9,2 9,Yprend les valeurs −15,−10,−5.
EXERCICE 97
On admet, dans cet exercice, que : ∀q∈N∗,X
k>qk
qxk−qconverge et
∀x∈]−1,1[,
+∞
X
k=qk
qxk−q=1 (1 −x)q+1 .
Soit p∈]0,1[ et r∈N∗.
On dépose une bactérie dans une enceinte fermée à l’instant t= 0 (le temps est
exprimé en secondes).
On envoie un rayon laser par seconde dans cette enceinte.
Le premier rayon laser est envoyé à l’instant t= 1.
La bactérie a la probabilité pd’être touchée par le rayon laser.
Les tirs de laser sont indépendants.
La bactérie ne meurt que lorsqu’elle a été touchée rfois par le rayon laser.
Soit Xla variable aléatoire égale à la durée de vie de la bactérie.
1. Déterminer la loi de X.
2

2. Prouver que Xadmet une espérance et la calculer.
Exercice intéressant sur la loi géométrique. Demandera une bonne pédagogie
pour expliquer à l’examinateur que la technique suggérée par l’énoncé pour le
calcul de l’espérance est un peu compliquée.
1. Lorsque r= 1, on reconnaît une loi géométrique, il est donc bien de com-
mencer l’oral en rappelant cette loi, son espérance.
Première solution : Les hypothèses de l’énoncé font que, pour tout n≥1,
la variable aléatoire égale au nombre de tirs « réussis » entre l’instant t= 1 et
l’instant t=nsuit une loi binomiale B(n, p). Or on a X=nsi et seulement si
la bactérie a été touchée r−1fois entre l’instant t= 1 et l’instant t=n−1et
touchée à l’instant t=n. Par indépendance, on a donc :
P(X=n) = n−1
r−1pr−1(1 −p)n−r×p
Deuxième solution : La loi du temps du premier tir réussi est une loi G(p).
Par indépendance, on a donc X=Z1+. . . +Zroù les Zisont indépendantes
de même loi G(p)(Ziest le temps entre les i−1ème et ième tirs réussis). La
fonction génératrice d’une loi géométrique est
s7→ ps
1−(1 −p)s
(définie sur ]−1
1−p,1 1−p[). Donc la fonction génératrice de Xest, sur le même
intervalle,
s7→ ps
1−(1 −p)sr
On peut alors faire un produit de Cauchy, ou mieux une dérivation pour obtenir
le développement en série entière de
s7→ 1
1−(1 −p)sr
puis mulitplier par prsrmais c’est plus long que la première méthode.
2. Là, c’est la deuxième méthode qui l’emporte de loin pour la simplicité des
calculs. En effet, somme de rvariables aléatoires qui ont une espérance, Xen a
une, et
E(X) = r
p
L’énoncé suggère une autre méthode (celle que les examinateurs connaîtront, or
3

certains n’auront jamais fait de probabilités. . .)
E(X) =
+∞
X
n=r
nn−1
r−1pr(1 −p)n−r
=rpr
+∞
X
n=rn
r(1 −p)n−r
=rpr1
(1 −(1 −p))r+1
=r
p
EXERCICE 98
Soit a∈]0,+∞[.
Soit (X, Y )un couple de variables aléatoires à valeurs dans N2dont la loi est
donnée par :
∀(j, k)∈N2,P(X=j, Y =k) =
(j+k)1
2j+k
ej!k!.
1. Déterminer les lois marginales de Xet de Y.
Les variables Xet Ysont-elles indépendantes ?
2. Prouver que E2X+Yexiste et la calculer.
Définition de l’espérance, des lois marginales, de l’indépendance, formule de
transfert, bon exercice sur la sommabilité, bon exercice ccp à 8 pts ! Calculs pas
trop redoutables si on s’y prend correctement.
On pourrait commencer par montrer que la famille proposée est sommable de
somme 1. On va faire confiance à l’énoncé, et calculer, si j∈N:
P(X=j) = 1
2j1 e j!
+∞
X
k=0
j+k
k!1 2k
=1
2j1 e j!j√e+√e 2
=1
√e1
2jj+1
2
j!
On vérifie bien que
+∞
X
j=0
P(X=j) = 1, d’où la sommabilité et la « bonne
somme » de la famille. Par symétrie, P(Y=j) = P(X=j). Comme (j+
1
2)(k+1 2)6=j+ken général, il n’y a pas indépendance.
4

2. On calcule donc à l’aide du théorème de transfert :
E2X+Y=1
eX
(j,k)∈N2
j+k
j!k!
=2
eX
(j,k)∈N2
j
j!k!
= 2e
<+∞
EXERCICE 99
Une secrétaire effectue nappels téléphoniques vers ncorrespondants distincts.
On admet que les nappels constituent nexpériences indépendantes et que pour
chaque appel, la probabilité d’obtenir le correspondant demandé est p(p∈]0,1[).
Soit Xla variable aléatoire représentant le nombre de correspondants obtenus.
1. Donner la loi de X. Justifier.
2. La secrétaire rappelle une seconde fois, dans les mêmes conditions, chacun
des n−Xcorrespondants qu’elle n’a pas pu joindre au cours de la première
série d’appels. On note Yla variable aléatoire représentant le nombre de
personnes jointes au cours de la seconde série d’appels.
(a) Soit i∈J0, nK. Déterminer, pour k∈N, P (Y=k|X=i).
(b) Prouver que Z=X+Ysuit une loi binomiale dont on déterminera
le paramètre.
(c) Déterminer l’espérance et la variance de Z.
Bon exercice sur Bernoulli, avec un calcul de somme pas complètement évident.
Que des probas finies.
1. Soit Xila variable aléatoire qui vaut 1 si le ième appel aboutit, n−isinon.
Les hypothèses du modèle font des Xi(1≤i≤n) des variables de Bernoulli de
paramètre p, dont Xest la somme, ce qui fait que Xsuit une loi B(n, p).
2. (a) La loi de Ysachant (X=i)est, pour la même raison, une loi B(n−i, p).
Donc
P(Y=k|X=i) = n−i
kpk(1 −p)n−i−k
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